含不同深度球形缺陷鋼管應(yīng)力集中系數(shù)的有限元分析

楊專釗，劉道新，張曉化

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安710072）

0 引 言

油氣輸送鋼管在其制造和運(yùn)輸過程中不可避免地會存在各種類型的缺欠或者缺陷，當(dāng)鋼管在特定應(yīng)力狀態(tài)和腐蝕環(huán)境下使用時，此類缺欠或者缺陷會進(jìn)一步擴(kuò)展形成更為危險的腐蝕缺陷［1－2］，輕則影響所鋪設(shè)管線的工程質(zhì)量、輸送壓力、輸送量和使用壽命等，重則直接危及財產(chǎn)和生命安全。此類缺欠或者缺陷處的應(yīng)力集中對產(chǎn)生的腐蝕有重要影響，因而對此類缺欠或者缺陷（重點(diǎn)針對不同深度的球形缺陷）的研究和應(yīng)力集中系數(shù)的準(zhǔn)確計算對其腐蝕缺陷的研究意義重大。

一般構(gòu)件缺口處的理論應(yīng)力集中系數(shù)Kt定義為最大局部彈性應(yīng)力σmax與 名義應(yīng)力σ0的比值。名義應(yīng)力σ0有兩種定義：一是凈面積應(yīng)力，為缺口處凈截面上的名義應(yīng)力；二是毛面積應(yīng)力，為構(gòu)件無缺口時截面上的名義應(yīng)力。計算時選取哪個應(yīng)力將對Kt的大小產(chǎn)生影響，通常用凈面積應(yīng)力計算的結(jié)果偏小，毛面積應(yīng)力計算的結(jié)果偏大，比較保守。

對于一般構(gòu)件理論應(yīng)力集中系數(shù)，通常采用電測試驗方法、工程圖表法和經(jīng)驗公式法求解。電測試驗方法可適用于分析各類結(jié)構(gòu)，但是成本高，周期長；而工程圖表法和經(jīng)驗公式法都只適用于平板含孔構(gòu)件。對于含局部缺陷或者不規(guī)則結(jié)構(gòu)的構(gòu)件，無法用經(jīng)驗公式算出，一般只能通過電測試驗得到。而有限元方法求解應(yīng)力集中系數(shù)，就是通過對局部不連續(xù)結(jié)構(gòu)及其平均應(yīng)力的求解，作比即可求得結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中系數(shù)。相比上述方法，有限元方法不僅成本低，效率高，而且更為準(zhǔn)確、方便，也適用于復(fù)雜構(gòu)件的求解。

文獻(xiàn)［3，4］提出了坑點(diǎn)蝕殼體單元模型理論，并采用有限元求解了含點(diǎn)蝕球殼強(qiáng)度及其穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［5］采用有限元法對含不同形貌、不同位置腐蝕坑的試驗件進(jìn)行應(yīng)力集中系數(shù)分析，結(jié)果顯示隨著腐蝕坑長軸短軸比的增大，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸變小，而隨深度和短軸比的增大，應(yīng)力集中系數(shù)逐漸變大。文獻(xiàn)［6］把平鋼板的表面點(diǎn)蝕形貌簡化為半橢圓形微缺口，采用有限元法對不同表面粗糙度下的應(yīng)力場進(jìn)行分析，得到不同表面粗糙度Ra時平板的表面應(yīng)力集中系數(shù)。

綜上，目前對鋼管表面球形點(diǎn)蝕缺陷應(yīng)力集中系數(shù)求解的相關(guān)研究不多。為準(zhǔn)確評估含腐蝕缺陷管道的剩余強(qiáng)度或剩余壽命，需要精確求解含球型缺陷鋼管的應(yīng)力集中系數(shù)，因此作者采用ANSYS有限元軟件，以X70管線鋼為研究對象，首先求解了含不同深度球形缺陷鋼管的應(yīng)力應(yīng)變分布狀態(tài)，并進(jìn)一步求解出了球形缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)，為工程實際提供參考依據(jù)。

1 有限元模型的建立

1.1 問題的簡化

油氣輸送管道為有限長度的柱狀體，在柱狀體上作用的面力和體力方向平行于管道軸向（長度方向），而且不沿管道長度方向變化，所以近似認(rèn)為這種問題屬于平面應(yīng)變問題。

1.2 材料參數(shù)的確定

鋼管材料為X70（API SPEC 5L）管線鋼，假設(shè)材料為各向同性，其密度為7.85×106kg·m－3，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3，線膨脹系數(shù)為12×10－6℃－1。 鋼 管 外 徑 為 762mm，壁 厚 為32mm。定義一種理想標(biāo)準(zhǔn)材料模型，即，材料應(yīng)變達(dá)到0.5%時，材料開始屈服，屈服強(qiáng)度為485MPa（即X70管線鋼屈服強(qiáng)度的最小要求），繼續(xù)變形至應(yīng)力為570MPa發(fā)生斷裂（即X70管線鋼抗拉強(qiáng)度最小要求）。

1.3 含缺陷有限元模型的建立

鋼管為直縫埋弧焊接鋼管，長度模擬為無限長。模擬球型缺陷的半徑r為4，8，16mm，相應(yīng)的深度d分別為t／8，t／4，t／2，t為鋼管公稱壁厚。建模時載荷只考慮內(nèi)壓，不考慮外載荷、彎矩等。每種模型的內(nèi)壓力分別有25，20，15，10，5MPa共5種應(yīng)力水平，共建模模擬計算15次，求解最大等效應(yīng)力（記為Svm）及其等效應(yīng)變，來計算應(yīng)力集中系數(shù)。

采用ANSYS 11.0軟件建立有限元模型，為減少計算工作量，根據(jù)管道結(jié)構(gòu)的對稱性取1／4截面建立模型進(jìn)行計算，所建有限元模型如圖1所示。按照上述參數(shù)設(shè)定，設(shè)定單元類型為PLANE 42，劃分單元網(wǎng)格，并在缺陷局部進(jìn)行細(xì)化處理。在模型水平線和豎直線上分別施加位移約束，Uy＝0和Ux＝0，即模型水平線段的y向位移為零，左側(cè)的豎直線段x向位移為零。

2 有限元分析結(jié)果

由圖2可知，同一缺陷深度條件下，隨內(nèi)壓力的增大，鋼管缺陷部位的最大等效應(yīng)力先迅速增大，隨后趨于平緩；相同內(nèi)壓力下，隨缺陷深度增加，缺陷部位的最大等效應(yīng)力也隨之增加，但當(dāng)內(nèi)壓力超過20MPa時，最大等效應(yīng)力接近屈服強(qiáng)度或者已經(jīng)屈服，最大等效應(yīng)力沒有太大的差別。由圖3可知，隨內(nèi)壓力的增加，深度為t／8和t／4的最大等效應(yīng)變增加緩慢，深度為t／2的最大等效應(yīng)變極速增加；而且在同一內(nèi)壓力條件下，隨缺陷深度增加，最大等效應(yīng)變在缺陷深度達(dá)到t／2時迅速增加，到25MPa時候，缺陷部位最大等效應(yīng)變達(dá)到20%，接近材料模型的斷裂應(yīng)變狀態(tài)。

由圖4可見，隨內(nèi)壓力的增加，同一深度缺陷處的整體最大等效應(yīng)力水平增加，局部單元內(nèi)達(dá)到最大等效應(yīng)力的面積擴(kuò)大，而且沿與壁厚方向成135°的夾角方向不斷向壁厚內(nèi)部擴(kuò)展；同一內(nèi)壓力水平下，隨缺陷深度增加，缺陷底部最大等效應(yīng)力水平均相應(yīng)增加，而且達(dá)到屈服極限狀態(tài)的單元面積迅速增大。在20MPa下，缺陷深度為t／8的最大等效應(yīng)力達(dá)到極限狀態(tài)下單元厚度約為0.5mm，缺陷深度為t／4的最大等效應(yīng)力極限狀態(tài)下單元厚度約為2mm，而當(dāng)缺陷深度為t／2時，其最大等效應(yīng)力極限狀態(tài)下單元已經(jīng)穿透了剩余壁厚，即從缺陷底部一直延伸到內(nèi)表面，厚度約為16mm。

由圖5可見，同一深度缺陷處的最大等效應(yīng)變也隨內(nèi)壓力的增加而增大，局部單元內(nèi)達(dá)到最大等效應(yīng)變的面積擴(kuò)大，而且沿與壁厚方向成135°夾角的方向不斷向壁厚內(nèi)部擴(kuò)展。同一內(nèi)壓力水平下，隨缺陷深度的增加，缺陷底部最大等效應(yīng)變相應(yīng)增加。

3 應(yīng)力集中系數(shù)的求解

一般應(yīng)力集中系數(shù)定義為

式中：σmax為界面內(nèi)最大應(yīng)力；σ0為界面內(nèi)名義應(yīng)力。

定義基于有限元應(yīng)力法求解結(jié)果的應(yīng)力集中系數(shù)求解公式為

式中：Svm為通過有限元方法求解的缺陷不連續(xù)區(qū)域內(nèi)最大等效應(yīng)力；S為無缺陷的連續(xù)截面內(nèi)平均應(yīng)力，MPa；p為施加內(nèi)壓力，MPa；D為鋼管公稱外徑，mm；t為鋼管公稱壁厚，mm。

同理，定義基于有限元應(yīng)變法求解結(jié)果的應(yīng)力集中系數(shù)Kt′求解公式為

式中：εvm為通過有限元方法求解的缺陷不連續(xù)區(qū)域內(nèi)最大等效應(yīng)變；ε為無缺陷的連續(xù)截面內(nèi)平均應(yīng)變；σ為無缺陷的連續(xù)截面內(nèi)平均應(yīng)力，σ＝S；E為彈性模量，206GPa。

依據(jù)上述公式，以及球形缺陷區(qū)域最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變有限元求解結(jié)果，進(jìn)一步求解出深度為t／8，半徑為4mm的球形缺陷處的應(yīng)力集中系數(shù)，見圖6。由圖6可見，在同一深度缺陷下，隨著內(nèi)壓力的增大，缺陷部位最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變基本上都呈增大的趨勢；壓力在15MPa以下時，應(yīng)力和應(yīng)變基本都隨內(nèi)壓力呈線性增加；而進(jìn)入近屈服階段后，變化規(guī)律略有變化。這也與材料應(yīng)力、應(yīng)變行為相一致。由圖6還可知，基于有限元應(yīng)變法和應(yīng)力法求解的應(yīng)力集中系數(shù)，兩者在內(nèi)壓力在15MPa以內(nèi)時，變化并不明顯，呈水平直線；當(dāng)內(nèi)壓力超過15MPa后，基于應(yīng)變法求解的應(yīng)力集中系數(shù)急劇增大，而基于應(yīng)力法求解的應(yīng)力集中系數(shù)急劇減小。這是由于內(nèi)壓力小于15MPa時材料處于線彈性階段，均未發(fā)生屈服應(yīng)變；而當(dāng)內(nèi)壓力超過15MPa時，材料開始進(jìn)入屈服階段，應(yīng)力緩慢增加，而應(yīng)變迅速增加，因而導(dǎo)致基于應(yīng)力和應(yīng)變求得的應(yīng)力集中系數(shù)變化趨勢發(fā)生方向變化。對于具有一定尺寸缺陷的材料，其應(yīng)力集中系數(shù)應(yīng)該是恒定的，屬于材料結(jié)構(gòu)的固有系數(shù)。由此可見，其水平階段內(nèi)的應(yīng)力集中系數(shù)當(dāng)屬材料結(jié)構(gòu)的真實系數(shù)。所以，在彈性階段內(nèi)，基于有限元應(yīng)力法求解結(jié)果的應(yīng)力集中系數(shù)均值為2.49，基于有限元應(yīng)變法求解結(jié)果的應(yīng)力集中系數(shù)均值為2.55，對于深度為t／8，半徑為4mm球形缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)取二者均值，即為2.52。

同理，對深度為t／4，半徑為8mm的球形缺陷，其最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變有限元求解結(jié)果及應(yīng)力集中系數(shù)求解結(jié)果如圖7所示?？梢?，在同一深度缺陷下，不同內(nèi)壓力下，缺陷部位最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變分布都隨內(nèi)壓力增加而增加，內(nèi)壓力在10MPa以下時，應(yīng)力和應(yīng)變基本都隨內(nèi)壓力呈線性增加趨勢，隨后進(jìn)入近屈服階段?；谟邢拊獞?yīng)力法和有限元應(yīng)變法求解的應(yīng)力集中系數(shù)，兩者在10MPa以內(nèi)，呈現(xiàn)水平狀態(tài)，當(dāng)壓力超過10MPa后，都發(fā)生急劇變化，變化原因與深度為t／8的應(yīng)力集中系數(shù)變化原因一致?；谟邢拊獞?yīng)力法求解的應(yīng)力集中系數(shù)均值為3.38，基于有限元應(yīng)變法求解的應(yīng)力集中系數(shù)均值為3.48，因此對于深度為t／4，半徑為8mm球形缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)取二者均值，即為3.43。

最后，對深度為t／2，半徑為16mm的球形缺陷，其最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變有限元求解結(jié)果及應(yīng)力集中系數(shù)求解結(jié)果，如圖8所示?？梢姡谕簧疃热毕菹?，不同內(nèi)壓力下，缺陷部位最大等效應(yīng)力和最大等效應(yīng)變分布都隨內(nèi)壓力增加而增加，內(nèi)壓力在5MPa及其以內(nèi)時，最大等效應(yīng)力和應(yīng)變都隨內(nèi)壓力呈線性增加，當(dāng)壓力超過5MPa后近屈服階段?；谟邢拊獞?yīng)力法和基于有限元應(yīng)變法求解的應(yīng)力集中系數(shù)在1～5MPa內(nèi)壓力范圍以內(nèi)，呈現(xiàn)水平狀態(tài)，當(dāng)內(nèi)壓力超過5MPa后，都發(fā)生明顯變化，變化原因與深度為t／8的應(yīng)力集中系數(shù)分析結(jié)果一致?；谟邢拊獞?yīng)力法求解的應(yīng)力集中系數(shù)均值為7.05，基于有限元應(yīng)變法求解結(jié)果的應(yīng)力集中系數(shù)均值為7.26，因此對于深度為t／2，半徑為16mm球形缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)取二者均值，即為7.16。

將基于有限元法求解的3種深度球形缺陷應(yīng)力集中系數(shù)匯總并作圖，如圖9所示。由以上分析可見，缺陷深度為t／8的應(yīng)力集中系數(shù)最小，為2.52；缺陷尺寸為t／4的應(yīng)力集中系數(shù)居中，為3.43；缺陷尺寸為t／2的應(yīng)力集中系數(shù)最大，為7.16。將三者結(jié)果進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖11所示，擬合公式如下：

由此可見，應(yīng)力集中系數(shù)隨缺陷深度增加而增加，呈現(xiàn)非常好的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.993 83。

文獻(xiàn)［5］模擬分析了半橢球形腐蝕坑缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)，結(jié)果顯示，半橢球形的三維尺寸分別記為半寬度c，半長度b，最大深度a，當(dāng)a＝b＝c，即為半球形缺陷，結(jié)果求得應(yīng)力集中系數(shù)為2.722，與作者的有限元分析結(jié)果相差7%。而文獻(xiàn)［7］研究分析了φ1 016mm×21mm API SPEC 5LX70含缺陷鋼管應(yīng)力集中系數(shù)、剩余強(qiáng)度，并用試驗方法進(jìn)行驗證，結(jié)果表明當(dāng)缺陷深度d＝0.125t時，求解的缺陷應(yīng)力集中系數(shù)為2.60，與作者的結(jié)果也非常接近，誤差為3.08%。而文獻(xiàn)［8］利用 ANSYS5.7軟件對半無限大板多重邊缺口和半無限大體多重面缺口的應(yīng)力集中系數(shù)進(jìn)行了計算，并將所得數(shù)據(jù)與試驗結(jié)果作了對比，兩者吻合較為一致，說明利用該軟件分析多重應(yīng)力集中問題有效可行。

綜上所述，采用有限元方法求解球形缺陷的應(yīng)力集中系數(shù)方法可行，結(jié)果可靠。

4 結(jié) 論

（1）當(dāng)球形缺陷尺寸為d＝r＝t／8時，其應(yīng)力集中系數(shù)為2.52；當(dāng)缺陷尺寸為d＝r＝t／4時，應(yīng)力集中系數(shù)為3.43；當(dāng)缺陷尺寸為d＝r＝t／2時，應(yīng)力集中系數(shù)為7.16；得到的應(yīng)力集中系數(shù)與缺陷深度關(guān)系的擬合公式，其相關(guān)性為0.993 83。

（2）采用有限元方法求解含球形缺陷管道應(yīng)力集中系數(shù)與同類缺陷文獻(xiàn)試驗結(jié)果一致，證明了有限元方法的正確性。

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