需求均勻分布條件下基于期權(quán)交易的零售商訂貨模型

馬 勇，汪傳旭

（上海海事大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，上海 200135）

供應(yīng)鏈是由直接或間接地履行顧客需求的各方組成.由于供應(yīng)鏈涉及多個利益主體，并且因為市場需求的不確定性，供應(yīng)鏈決策的難度大大增加［1］.在供應(yīng)鏈各環(huán)節(jié)的企業(yè)合作中，訂貨提前期、訂貨批量等通常是企業(yè)的決策變量.企業(yè)在采購時面臨著風(fēng)險，在銷售產(chǎn)品或服務(wù)時同樣面臨著風(fēng)險，例如需求量波動、價格波動、供應(yīng)中斷以及存貨風(fēng)險等等.對于這些風(fēng)險的管理可以從企業(yè)運營的角度考慮，也可以利用金融工具如期權(quán)等衍生品工具.

國外已經(jīng)有學(xué)者就期權(quán)在供應(yīng)鏈中的運用開展了相應(yīng)研究.Barnes－Schuster等（2002）［2］分析了需求相關(guān)的兩階段模型并探討多種協(xié)調(diào)機制的影響，針對正態(tài)分布的市場需求，構(gòu)建了供應(yīng)鏈期權(quán)契約的基礎(chǔ)模型，為研究供應(yīng)鏈中期權(quán)合約的協(xié)調(diào)模型奠定了基礎(chǔ).Stefan等（2003）［3］為物流配送過程設(shè)計了期權(quán)契約，以實現(xiàn)交易方之間的風(fēng)險共擔(dān).Wang等（2008）［4］通過一個期權(quán)合約模型來分析零售商主導(dǎo)供應(yīng)鏈下的協(xié)調(diào)和風(fēng)險共擔(dān)問題，零售商通過期權(quán)價格主動協(xié)調(diào)制造商的生產(chǎn)數(shù)量.Zhao等（2009）［5］采用合作博弈的方法，通過期權(quán)合約來考慮制造商 零售商供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題，并將批發(fā)價格作為比較基準來說明期權(quán)合約可以協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈.并通過Nash討價還價模型分析供應(yīng)鏈成員不同風(fēng)險偏好對于期權(quán)合約參數(shù)選取的影響，還通過Eliashberg模型說明供應(yīng)鏈成員談判能力對期權(quán)合約參數(shù)選取的影響.

近年來，國內(nèi)學(xué)者在該方面也開展了相應(yīng)研究.馬士華等（2004）［6］建立了基于期權(quán)的供應(yīng)商能力預(yù)訂模型，實現(xiàn)了從通常供應(yīng)鏈中制造商單方?jīng)Q策到供方和需方聯(lián)合決策的轉(zhuǎn)變.雖然也考慮了期權(quán)執(zhí)行價格與時間的變化關(guān)系，但在模型建立時仍假定執(zhí)行價格不變.郭瓊等（2005）［7］通過期權(quán)機制建立了供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)過程中各決策主體的決策模型，并發(fā)現(xiàn)在期權(quán)機制下，供應(yīng)鏈及其成員的收益要優(yōu)于報童模型.陳旭（2006）［8］考慮兩個面臨相互獨立的隨機需求的零售商通過期權(quán)合同從供應(yīng)商訂貨，討論了期權(quán)交易對零售商最優(yōu)訂貨量和最大利潤的影響.此文針對的是單向期權(quán)，考慮到了期權(quán)交易價格的變化，但仍認為期權(quán)執(zhí)行價格是不變的.寧鐘等（2007）［9］分別探討了在多供應(yīng)商多分銷商的供應(yīng)鏈模型下的獨立式期權(quán)機制，以及單供應(yīng)商多分銷商的供應(yīng)鏈模型下的嵌入式期權(quán)機制，分析期權(quán)對供應(yīng)鏈績效的影響，提出了分銷商如何預(yù)訂上游供應(yīng)商生產(chǎn)能力的數(shù)學(xué)模型.同時，分析了供應(yīng)商如何通過期權(quán)降低經(jīng)營風(fēng)險，調(diào)整自身收益，影響分銷商的決策，從而改善供應(yīng)鏈的效益.但在模型中沒有考慮期權(quán)價格的可變性和執(zhí)行價格的可變性.胡本勇等（2007）［10］在隨機市場需求環(huán)境下，針對易逝品供應(yīng)鏈合作契約的數(shù)量柔性問題，建立了兩種不同期權(quán)模式的柔性契約模型，得出了銷售商在雙向期權(quán)契約下比在單向看漲期權(quán)契約下的期權(quán)購買量要小，初始訂貨量要大，但總的預(yù)期訂貨量要小.雖然考慮了雙向期權(quán)，也考慮到了期權(quán)執(zhí)行價格的變化，但未能指出期權(quán)執(zhí)行價格變化的具體特征.趙金實等（2008）［11］將市場利率、現(xiàn)貨價格波動率和期權(quán)期限3個主要市場因素引入到供應(yīng)鏈期權(quán)契約模型.通過模型分析供應(yīng)商主導(dǎo)型供應(yīng)鏈期權(quán)契約的決策機制，計算出使供應(yīng)鏈整體利潤優(yōu)化的供應(yīng)商和零售商最優(yōu)定價策略和最優(yōu)采購決策，采用靈敏度分析的方法研究市場環(huán)境因素對供應(yīng)鏈期權(quán)契約決策機制的影響.

本文通過期權(quán)的交易性質(zhì)來構(gòu)建在需求均勻分布條件下零售商的訂貨模型，以此來研究供應(yīng)商發(fā)布的初始期權(quán)價格信息如何影響零售商的決策以及期權(quán)市場的交易性質(zhì)對零售商決策的影響.與現(xiàn)有的研究文獻相比，本文的創(chuàng)新之處在于：

第一，在期權(quán)研究的基礎(chǔ)上考慮退貨合約，同時零售商只有在執(zhí)行退貨合約時才需要支付一定的費用，這樣的退貨合約就具有了看跌期權(quán)的性質(zhì)，同時可以進一步降低零售商成本，并且對供應(yīng)商的決策也有參考價值；

第二，考慮看漲期權(quán)價格和執(zhí)行價格的可變性，體現(xiàn)出期權(quán)的交易性質(zhì)，同時看漲期權(quán)的執(zhí)行價格在期權(quán)交易時也是可變的，體現(xiàn)出訂貨決策和期權(quán)的時間價值；

第三，對于期權(quán)價格的可變性，考慮的是離散變化，而現(xiàn)有研究如趙金實等（2008）［11］是通過現(xiàn)有的Black－Scholes定價公式來考慮這一變化性質(zhì)的.

1 問題概述

供應(yīng)商發(fā)布產(chǎn)品批發(fā)價（即零售商的初始訂貨價格）的同時發(fā)布期權(quán)的初始價格信息，這個期權(quán)允許零售商在一定時刻按照預(yù)先規(guī)定的價格（期權(quán)的執(zhí)行價格）增加或減少一定數(shù)量的產(chǎn)品.看漲期權(quán)賦予了零售商在一定時刻增加其訂貨量的權(quán)利.

零售商獲取看漲期權(quán)需要支付期權(quán)費.在初始訂貨合約中嵌入了一個退貨條款（作為退貨合約而存在），零售商只有在需要執(zhí)行退貨合約的時候才需要支付費用；如果不執(zhí)行，則不需要支付.零售商根據(jù)供應(yīng)商發(fā)布的產(chǎn)品批發(fā)價和期權(quán)的價格信息以及預(yù)期市場的需求函數(shù)來決定自身的初始訂貨批量和初始看漲期權(quán)購買量.

期權(quán)的價格雖然由供應(yīng)商提出，但供應(yīng)商在提出的同時需要考慮到零售商提出的初始期權(quán)數(shù)量、對市場需求的預(yù)測以及自身的生產(chǎn)能力等諸多因素.而根據(jù)看漲期權(quán)的一般原理［12］，本文假定看漲期權(quán)的價格隨著時間的推移而逐漸減少，到交割期降至0.

看漲期權(quán)的執(zhí)行價格是指零售商到一定時刻增加訂貨時購買產(chǎn)品的成本；退貨合約的退貨價格是指零售商選擇退貨時從供應(yīng)商處獲得的退貨價格.退貨合約的退貨價格相對穩(wěn)定，假定不變.這是因為零售商一旦確定初始訂貨量和初始期權(quán)數(shù)量后，供應(yīng)商就會據(jù)此來調(diào)整自身的生產(chǎn)能力以適應(yīng)訂貨需求.只要供應(yīng)商完成生產(chǎn)準備，零售商減少訂貨對供應(yīng)商造成的單位損失是一定的.

2 模型構(gòu)建

2.1 變量描述

D：零售商面對的市場需求，為服從均勻分布的連續(xù)隨機變量，且概率密度函數(shù)為f（D），分布函數(shù)為F（D）；

P：零售商初始訂貨價格；

Q：零售商初始訂貨數(shù)量；

q：零售商初始看漲期權(quán)的購買數(shù)量；

S：缺貨成本；

t0：零售商進行初始訂貨和初始期權(quán)決策的時刻；

t1：零售商交易初始期權(quán)的時刻；

t2：看漲期權(quán)的交割時刻（假設(shè)為歐式期權(quán)，只在到期日交割）；

C1：t0時刻看漲期權(quán)的價格（每一份期權(quán)對應(yīng)一份產(chǎn)品）；

C2：t0時刻執(zhí)行退貨合約時需支付的費用；

X1：t0時刻看漲期權(quán)的執(zhí)行價格；

X2：t0時刻退貨合約的退貨價格；

C1′：t1時刻看漲期權(quán)價格；

X1′：t1時刻看漲期權(quán)的執(zhí)行價格.

在對上述變量定義之后，本文主要建立需求均勻分布條件下基于期權(quán)交易的零售商訂貨模型，并在滿足市場需求的前提下，以總成本最小為目標求出零售商的初始訂貨數(shù)量和看漲期權(quán)初始購買數(shù)量.

2.2 模型假設(shè)

零售商訂貨模型包括以下假設(shè).

（1）市場需求滿足均勻分布.

（2）經(jīng)過一次看漲期權(quán)數(shù)量的調(diào)整，市場需求得到滿足.

（3）初始訂貨價格已知，看漲期權(quán)初始價格和初始執(zhí)行價格已知，執(zhí)行退貨合約時需支付的費用和退貨合約的退貨價格已知.

（4）P＜C1＋X1＜C1′＋X1′.因為如果P＞C1＋X1，那么零售商將會只購買看漲期權(quán)，這將大大增加零售商滿足市場需求能力的波動性；同時C1＋X1＜C1′＋X1′，說明零售商為了獲得新增訂貨量的權(quán)利需要支付比初始時刻更多的成本，否則零售商在初始時刻不會購買看漲期權(quán)；同時由于看漲期權(quán)價格隨著時間的推移而下降（即C1′＜C1），可推出X1′＞X1.所以在本文的條件限定下，隨著時間的推移，看漲期權(quán)的價格是下降的趨勢，而看漲期權(quán)的執(zhí)行價格則是上漲的趨勢.

（5）X2＜P，表明零售商執(zhí)行退貨合約時的退貨價格要小于初始訂貨價格，否則零售商退貨會收到額外的利潤，那么他可能會不考慮市場需求而任意訂貨.

（6）S＞C1＋X1＞P.因為如果S＜C1＋X1，那么零售商會選擇主動缺貨，而不去滿足顧客需求.（7）與國外已有的一些文獻類似，論文假設(shè)供應(yīng)商生產(chǎn)能力無限.

2.3 模型建立

在多零售商（零售商的數(shù)量一定）的產(chǎn)品市場上，某一零售商在期初以P價格購入數(shù)量Q的產(chǎn)品，以C1的價格購入數(shù)量為q的看漲期權(quán)（此處為歐式期權(quán)，只在到期日交割，但可在到期日之前交易）.考察時刻為t0到t2，零售商之間的期權(quán)交易只能在中間時刻t1（t0＜t1＜t2）進行.

零售商的決策過程如圖1所示.

圖1 零售商的決策過程Fig.1 The decision－making process of the retailer

零售商的決策可分為：

① 執(zhí)行部分初始看漲期權(quán)，同時賣出剩余看漲期權(quán)給其他零售商的概率

② 執(zhí)行全部初始看漲期權(quán)，同時又從其他零售商買進看漲期權(quán)的概率因此，某一零售商的總成本TC（Q，q）為：

其中：第一項是初始訂貨成本和看漲期權(quán)初始購買成本；第二項是D＜Q時，零售商執(zhí)行（Q－D）數(shù)量的退貨合約，同時將q數(shù)量的看漲期權(quán)通過交易全部轉(zhuǎn)讓給其他零售商；第三項是Q≤D＜Q＋q時，零售商執(zhí)行部分看漲期權(quán)（D－Q），同時將（Q＋q－D）數(shù)量的剩余看漲期權(quán)通過交易轉(zhuǎn)讓給其他零售商；第四項是D≥Q＋q時，為滿足需求，除了執(zhí)行已購買的q數(shù)量的初始看漲期權(quán)外，零售商必須從其他零售商處再買進（D－Q－q）數(shù)量的看漲期權(quán).

2.4 模型求解

（1）對Q求偏導(dǎo)（需求均勻分布條件下，f（Q＋q）＝f（Q）），整理后得

將（2）式對Q再求偏導(dǎo)，整理得

將（1）式對q求偏導(dǎo)，得

將（4）式對q再求偏導(dǎo)，整理得

因此，TC（Q，q）存在最小值，當(dāng)且僅當(dāng)（2）式和（4）式都取0時，整理得

解得：

作為對比，考慮零售商在看漲期權(quán)不進行交易時的決策情況.在看漲期權(quán)不交易的情況下，由于需求的不確定性，缺貨的情況很容易出現(xiàn).此時零售商的總成本TC′（Q，q）為

將（10）式分別對Q，q求偏導(dǎo)和二次偏導(dǎo)，結(jié)果如下：

所以TC′（Q，q）存在最小值，當(dāng)且僅當(dāng)（11）式和（13）式都取0時，整理得

解得：

根據(jù)上述結(jié)果，可得到如下結(jié)論.

（1）在期權(quán)交易的情況下，初始訂貨批量Q的決策與初始訂貨價格P、看漲期權(quán)的初始價格C1和初始執(zhí)行價格X1、執(zhí)行退貨合約時需支付的費用C2和退貨合約的退貨價格X2、看漲期權(quán)的交易價格C1′等6個參數(shù)有關(guān).

（2）在看漲期權(quán)可交易的情況下，零售商的初始訂貨批量小于看漲期權(quán)不可交易情況下零售商的初始訂貨批量.

（3）看漲期權(quán)的初始價格C1越高，初始訂貨量越高；退貨合約時需支付的費用C2越高，初始訂貨批量越??；退貨合約的退貨價格X2越高，零售商初始訂貨批量也越高.

（4）無論期權(quán)可交易還是不可交易時，初始訂貨價格P越高，初始訂貨批量越少.

3 算例分析

假設(shè)

（1）市場需求D滿足［0，6000］的均勻分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

（2）在t0時刻，供應(yīng)商發(fā)布A產(chǎn)品的初始訂貨價格P＝1000元／噸，看漲期權(quán)的價格C1＝100元／百份（每百份期權(quán)對應(yīng)1噸A產(chǎn)品），看漲期權(quán)執(zhí)行價格X1＝1000元／噸，執(zhí)行退貨合約時需要支付的費用C2＝80元／百份，退貨合約的退貨價格X2＝800元／噸；

（3）在t1時刻，看漲期權(quán)的價格C1′＝50元／百份，看漲期權(quán)執(zhí)行價格X1′＝1100元／噸；

（4）零售商的缺貨成本S＝1200元／噸.

將上述參數(shù)代入（9）式和（18）式，可得：

Q＊＝1818.18噸，q＊＝1181.82百份，Q′＊＝2142.86噸，q′＊＝857.14百份，零售商成本分別為TC＝3225000元，TC′＝3893620.41元，TC′－TC＝668620.41元.

從上可得出：在看漲期權(quán)可交易的情況下，零售商的成本會大大節(jié)約.這是因為如果看漲期權(quán)可交易，那么零售商就可以購買更多的看漲期權(quán)而相應(yīng)減少產(chǎn)品的實物購買，并且通過看漲期權(quán)的交易來避免缺貨的出現(xiàn).

由于產(chǎn)品初始價格P、看漲期權(quán)的初始價格C1、執(zhí)行退貨合約時需要支付的費用C2、退貨合約的退貨價格X2等因素與初始訂貨批量的關(guān)系已在前文得到分析.此處僅通過算例分析看漲期權(quán)的初始執(zhí)行價格X1與初始訂貨批量Q以及零售商成本TC的關(guān)系（產(chǎn)品初始價P、缺貨成本S均保持不變），計算結(jié)果如表1所示.

表1 看漲期權(quán)的初始執(zhí)行價格X1與初始訂貨批量Q以及零售商成本TC的關(guān)系Tab.1 The relationships among the initial execution price of call option X1，the initial order lot－size Qand the retailer's cost TC

從表1可以看出：隨著看漲期權(quán)初始執(zhí)行價格X1的增加，無論期權(quán)交易與否，零售商的初始訂貨批量（Q，Q′）都在增加，初始看漲期權(quán)購買量（q，q′）都在減少.初始訂貨批量的增加導(dǎo)致零售商成本的增加，初始看漲期權(quán)購買量的減少會帶來零售商成本的減少.

在看漲期權(quán)可交易時，由于看漲期權(quán)可以在零售商之間進行分配，為零售商提供了二次選擇的機會，所以，雖然看漲期權(quán)初始執(zhí)行價格上漲相同的絕對量，零售商在期權(quán)可交易時的初始訂貨量比不可交易時增長得更快，同時初始看漲期權(quán)購買量比不可交易時減少得更慢.

4 結(jié) 語

在供應(yīng)鏈中，為了實現(xiàn)風(fēng)險共擔(dān)、利益共享的目標，供應(yīng)鏈的供需雙方需要在訂貨數(shù)量、銷售價格、交貨期等方面達成共識，以減少不確定性.期權(quán)為零售商獲取產(chǎn)品提供了一種可選擇的機制.在本文構(gòu)建的模型中，引入了可交易的看漲期權(quán)，使得零售商可以更好地控制初始的資金投入.雖然初始訂貨量由零售商決定，但零售商為了使總成本最小，必須考慮到供應(yīng)商發(fā)布的期權(quán)價格信息，從而在一定程度上實現(xiàn)了風(fēng)險共擔(dān)和利益共享.

本文假定零售商的期權(quán)數(shù)量經(jīng)過一次調(diào)整就可以滿足顧客需求，但在實際過程中會更為復(fù)雜.因此，本文以后的研究方向有以下兩點：

（1）考慮零售商和供應(yīng)商的成本約束，例如資金約束和生產(chǎn)能力約束；

（2）進一步考慮期權(quán)的交易機制，如在信息不對稱條件下的期權(quán)價格決定和交易過程.

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