最小不確定度估計(jì)及其在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

陳 偉，張 踐

（1.武漢科技大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院，湖北武漢 430074；2.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢 430072；3.武漢蒼穹數(shù)碼儀器有限公司，湖北武漢 430065）

一、引 言

筆者在文獻(xiàn)［1］中提出了最小不確定度估計(jì)理論。該估計(jì)理論是以模糊數(shù)理論為其理論基礎(chǔ)，將觀測值看做模糊數(shù)，以模糊數(shù)為研究對象，并結(jié)合計(jì)量部門采用測量不確定度評定測量結(jié)果的做法，用模糊幅度代替A類評定或B類評定來衡量不確定度，進(jìn)而用不確定度作為評定觀測結(jié)果的質(zhì)量指標(biāo)，即從與傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)思路完全不同的角度去研究測量數(shù)據(jù)處理的理論與方法。

二、模糊數(shù)與不確定度

不確定度是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，用于表征合理地賦予被測量值的分散性，即不確定度是一個表示測量結(jié)果中用于說明測得值所處范圍的參數(shù)。模糊幅度就是描述測得值所處范圍的一個數(shù)，模糊幅度和不確定度不同于測量誤差，沒有正負(fù)之分。因此，用模糊幅度去衡量測量結(jié)果的不確定度是合理的。

三、最小不確定度估計(jì)模型的建立

當(dāng)函數(shù)模型是非線性模型時(shí)，用數(shù)學(xué)公式表示為

式中，F(xiàn)（X）=［f1（X）f2（X） …fn（X）］T，為未知參數(shù)向量X的函數(shù)。

當(dāng)函數(shù)模型是線性模型時(shí)，用數(shù)學(xué)公式表示為

綜上所述，可得最小不確定度估計(jì)的參數(shù)估計(jì)模型為

對于不同的參照函數(shù)，觀測值的隸屬函數(shù)（yi）是不同的。針對幾種常見的參照函數(shù)，將其對應(yīng)的隸屬函數(shù)代入最小不確定度估計(jì)的參數(shù)估計(jì)模型中可分別得到基于三角模糊數(shù)、余弦模糊數(shù)、拋物線模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型。

1）基于三角模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型為

2）基于余弦模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型為

3）基于拋物線模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型為

分別解算以上3種不同的估計(jì)模型，則可得到分別對應(yīng)三角模糊數(shù)、余弦模糊數(shù)和拋物線模糊數(shù)的未知參數(shù)X的估值和觀測值的不確定度。

四、最小不確定度估計(jì)在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

本例取自文獻(xiàn)［2］第107頁例［5-8］，今有測邊網(wǎng)如圖1 所示。網(wǎng)中A、B、C、D為已知點(diǎn)，P1、P2、P3、P4為待定點(diǎn)，同精度觀測了13條邊長。已知點(diǎn)坐標(biāo)和待定點(diǎn)近似坐標(biāo)見表1，觀測邊長見表2，求待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值。

圖1

表1 已知點(diǎn)坐標(biāo)和待定點(diǎn)近似坐標(biāo)

表2 邊長觀測值 m

測邊網(wǎng)的觀測方程為

所以可得

將上式代入式（1）～式（3）中可分別得到基于三角模糊數(shù)、余弦模糊數(shù)和拋物線模糊數(shù)的最小不確定度估計(jì)模型。其中，待定點(diǎn)的坐標(biāo)和邊長觀測值的不確定度均為未知參數(shù)，參數(shù)個數(shù)為21個。對于3種不同的模糊數(shù)，給定相同的初始條件，用遺傳算法求解非線性規(guī)劃問題即可得待定點(diǎn)坐標(biāo)和觀測值的不確定度。計(jì)算結(jié)果見表3～表6，表中還將最小不確定度估計(jì)結(jié)果（MU）與最小二乘估計(jì)結(jié)果（LSE）進(jìn)行了比較。

表3 不同模糊數(shù)對應(yīng)的參數(shù)估值

表4 不同模糊數(shù)對應(yīng)的觀測值估值

表5 參數(shù)估值與最小二乘估值的較差表 mm

表6 觀測值估值與最小二乘估值的較差表 mm

續(xù)表6 mm

計(jì)算結(jié)果表明，用三角模糊數(shù)、余弦模糊數(shù)和拋物線模糊數(shù)3種不同的模糊數(shù)計(jì)算出來的待定點(diǎn)坐標(biāo)是大致相同的，且與最小二乘估計(jì)的結(jié)果很接近。

五、結(jié)束語

本文提出的最小不確定度估計(jì)打破了傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法處理隨機(jī)變量的局限，將觀測值看作是以其真值為對稱中心的對稱模糊數(shù)，從而避免了將觀測值的不確定性看作隨機(jī)變量帶來的問題，直接處理測量數(shù)據(jù)的不確定性。通過對算例的結(jié)果進(jìn)行分析，并與最小二乘估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行對比，表明最小不確定度估計(jì)用于測量數(shù)據(jù)處理是合理可行的。如何將其廣泛地應(yīng)用于測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域?qū)⑹枪P者接下來要進(jìn)一步研究的工作。

［1］ 陳偉，王新洲.最小不確定度估計(jì)原理及其病態(tài)問題解法研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2008，33（7）:752-754.

［2］ 武漢測繪科技大學(xué)測量平差教研室.測量平差基礎(chǔ)［M］.3版.武漢:武漢測繪科技大學(xué)出版社，1999.

［3］ 王新洲.最小不確定度約束下的極大可能性估計(jì)［J］.測繪工程，2003（1）:5-8.

［4］ 王新洲，史文中，王樹良.模糊空間信息處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2003.

［5］ 李金海.測量理論與測量不確定度評定［M］.北京:中國計(jì)量出版社，2003.

［6］ 王新洲，史文中.極大可能性估計(jì)［J］.測繪學(xué)報(bào)，2003，32（3）:33.

［7］ 陳偉.最小不確定度估計(jì)理論及其應(yīng)用［D］.武漢:武漢大學(xué)，2005.