數(shù)學(xué)的探究性活動(dòng)

德力根倉(cāng)

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

數(shù)學(xué)的探究性活動(dòng)

德力根倉(cāng)

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

從三個(gè)方面對(duì)學(xué)生自主探究性活動(dòng)進(jìn)行論述：（一）從數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性出發(fā)激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；（二）從數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性出發(fā)激發(fā)求知興趣；（三）從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在美出發(fā)吸引學(xué)生.

中學(xué)數(shù)學(xué)；探究性學(xué)習(xí)；實(shí)施策略；自主活動(dòng)

探究性學(xué)習(xí)是一種在好奇心驅(qū)使下，以問(wèn)題為導(dǎo)向、學(xué)生有高度智力投入且內(nèi)容和形式都十分豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng).是根據(jù)青少年身心特點(diǎn)提出的學(xué)習(xí)方法；是培養(yǎng)現(xiàn)代公民和創(chuàng)新人才的需要；是數(shù)學(xué)教學(xué)改革和研究的重要課題；是探索性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)的整合“教育要以學(xué)生發(fā)展為本”，發(fā)展作為一種開(kāi)放的生成性動(dòng)態(tài)過(guò)程，人的發(fā)展只有在人的各種關(guān)系與活動(dòng)的交互作用中才能實(shí)現(xiàn).學(xué)生的發(fā)展也應(yīng)在個(gè)體與周圍世界的關(guān)系和實(shí)踐性活動(dòng)中經(jīng)過(guò)反思、重建得以自主實(shí)現(xiàn).以學(xué)生發(fā)展為本，首先應(yīng)考慮學(xué)生原有意識(shí)的經(jīng)歷，在主動(dòng)參與、自主實(shí)踐中體驗(yàn)，從而獲得直接經(jīng)驗(yàn)；其次應(yīng)考慮學(xué)生能夠把直接經(jīng)驗(yàn)自主提煉、概括與建構(gòu)的能力；再次應(yīng)考慮學(xué)生潛力的發(fā)揮.在投入、感悟中能夠有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造.下面介紹“探究性活動(dòng)”的幾種研究方法：

1 在做中學(xué)

實(shí)踐性活動(dòng)在做中學(xué)，學(xué)生可以從行為的結(jié)果中得到直接經(jīng)驗(yàn)，觀察別人行為得到替代性經(jīng)驗(yàn)，把自己的觀點(diǎn)、思維結(jié)果與別人的判斷進(jìn)行比較獲得檢測(cè)與評(píng)價(jià).其魅力在于讓跳躍智慧的手尖充分活動(dòng)，學(xué)生在原有生活經(jīng)驗(yàn)、親身體驗(yàn)與認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的自主建構(gòu)與自我調(diào)空.實(shí)踐性活動(dòng)應(yīng)在下列幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中體現(xiàn).

1.1 以學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)、原有知識(shí)結(jié)構(gòu)作基礎(chǔ)，變結(jié)論為問(wèn)題

例1建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不少于10%，并且這個(gè)比越大，采光條件越好.問(wèn)同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說(shuō)明理由.

學(xué)生：設(shè)原住宅的窗戶面積和地板面積分別為a、b（平方單位），同時(shí)增加的面積為m(平方單位)，則a0.

讓學(xué)生興趣盎然地感受生活原型，在操作中首先明確活動(dòng)目標(biāo)（包括認(rèn)知目標(biāo)、技能目標(biāo)、情感目標(biāo)等），再提出問(wèn)題，激起探究有關(guān)知識(shí)的心向，然后在實(shí)踐中探究數(shù)學(xué)知識(shí).

1.2 充分挖掘教材的潛力

課本習(xí)題是知識(shí)應(yīng)用的濃縮，是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華，具有很強(qiáng)的代表性和典型性，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，若能利用典型習(xí)題所有的內(nèi)涵，意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去探究一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律和方法，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能起到良好的杠桿作用.

例3雙曲線4x2-y2+64=0上的一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于17.求點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.

解同上由||PF2|-17|=16可得|PF2|=33或|PF2|=1

∵|PF1|+|PF2|=17+1=18>

∴|PF2|=33或|PF2|=1

例4雙曲線4x2-y2+64=0上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16.5，求點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16.5，點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.

解由||PF2|-8|=16，得|PF2|=32.5或|PF2|=0.5

而此得|PF1|+|PF2|=16.5+0.5<8因此|PF2|=0.5也必須舍去，|PF2|=32.5

通過(guò)上面的兩個(gè)例題的求解，我們引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)此類問(wèn)題的答案的不確定性，第一個(gè)問(wèn)題結(jié)果一正一負(fù)，而例4和例5，盡管|PF2|值均為正，但有的不合題意仍然要舍去.教師進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生解答習(xí)題時(shí)，不應(yīng)只停留在原題上就題論題，而應(yīng)探究解決問(wèn)題的一般規(guī)律，這樣學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深化了，就能抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生獲的觸類旁通的本領(lǐng).

解設(shè)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)F的距離|PF1|=n，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為|PF2|，根據(jù)雙曲線的定義得

||PF2|-|PF1||=2a.|PF2|-n=±a,

得|PF2|=n+2a或|PF2|=n-2a

（1）當(dāng)|PF2|=n-2a≤0，且|PF1|+|PF2|=n+(n+2a)≤2c

即c-a≤n≤2a時(shí)，一解|PF2|=n+2a

（2）當(dāng)|PF2|=n-2a≥0，而|PF1|+|PF2|=n(n-2a)<2c，

即2a

（3）當(dāng)|PF2|=n-2a≤0，而|PF1|+|PF2|=n+n-2a<2c

即n≥a+c時(shí)，有兩解|PF2|=n+2a或|PF2|=n-2a.

以課本習(xí)題為“鑰匙”，通過(guò)引申探究，提高書本習(xí)題的利用率，充分顯示書本習(xí)題的示范性，典型性，這樣做比孤立解題效果好，加深了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，提高了學(xué)生自覺(jué)鉆研書本的積極性.

2 在用中學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一種有廣泛的思維空間和實(shí)踐空間的學(xué)習(xí)活動(dòng)，拓展性活動(dòng)作為知識(shí)應(yīng)用的補(bǔ)充與自然延伸，將學(xué)習(xí)范圍延伸到學(xué)生力所能及的社會(huì)生活和各項(xiàng)活動(dòng)之中，將教育和生活融為一體，讓學(xué)生獲得更多的直接經(jīng)驗(yàn)和感受體驗(yàn).從而在用中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)深遠(yuǎn)意義，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的美妙與功效.

拓展性活動(dòng)——用中學(xué)的魅力在于把“紙上談兵”的知識(shí)到實(shí)際中“擺兵布陣”，使單一性知識(shí)與綜合性知識(shí)有機(jī)結(jié)合，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)合理靈活處理“現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”；再把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作“數(shù)學(xué)化”的抽象處理，使學(xué)生在應(yīng)用中深化對(duì)知識(shí)的理解、掌握，更深刻地體驗(yàn)知識(shí)的價(jià)值.拓展性課程應(yīng)在下列幾個(gè)環(huán)節(jié)中體現(xiàn).

2.1 以生活常識(shí)為資源的學(xué)習(xí)活動(dòng)

一道好的探究性習(xí)題，應(yīng)該充分考慮以下幾個(gè)方面：貼近學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，適合學(xué)生的知識(shí)和能力水平，求解中不需要補(bǔ)充大量的課外知識(shí)；有較明顯的生產(chǎn)、生活或理化等其它學(xué)科的實(shí)際背景和應(yīng)用價(jià)值；求解中能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)和過(guò)程，并可以在不同水平上運(yùn)用多種模型來(lái)分析和求解；在題目的陳述材料中，所給的條件應(yīng)該具有適度的隱蔽性，否則該題將與一道純數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)異，從而失去探究的意義.條件的適度隱蔽，可以培養(yǎng)學(xué)生全面深入的思維能力和實(shí)際操作能力.

例6用拖船拖載重量相同的小船若干只，在江南與江北兩地之間來(lái)回運(yùn)送貨物．已知每只拖船拖4只小船一日能往返16次，每只拖船拖7只小船一日能往返10次，如果小船增多的只數(shù)與往返減少的次數(shù)成正比，問(wèn)每日往返多少次，每只拖船拖多少只小船才能使運(yùn)輸量最大？

這一問(wèn)題中由于變量的增多，使題目增加了隱蔽性，同時(shí)也增加了探究的難度.

分析：設(shè)每只拖船拖m只小船，每日能往返n次，每只小船每次載重量為t(t>0)日往返總量為w.則小船增加的只數(shù)為m-4,每日往返減少的次數(shù)為16-n，由題設(shè)可知：

m-4=k(16-n)(其中k為比例系數(shù)),且當(dāng)m=7時(shí)，n=10.故有

∴n=24-2m(0

w=nmt=(24-2m)mt=-2t(m2-12m)

=-2t(m-6)2+72t≤72t.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)m=6等號(hào)成立)

∴當(dāng)m=6，n=2時(shí)取最大值72t.

答：當(dāng)拖船每日往返12次,每只拖船拖6只小船才能使運(yùn)輸量最大.

2.2 以生活場(chǎng)景為資源的學(xué)習(xí)活動(dòng)

如《教室內(nèi)護(hù)墻瓷磚的鋪設(shè)》中，各組選定一種規(guī)格的瓷磚，分頭進(jìn)行活動(dòng)，從設(shè)計(jì)護(hù)墻高度、丈量護(hù)墻面積、瓷磚塊數(shù)計(jì)算、進(jìn)一法的運(yùn)用、瓷磚材料價(jià)的測(cè)算，到編成一道應(yīng)用題、繪制圖形注上尺寸寫上說(shuō)明.在交流中各抒己見(jiàn)，有的從美觀上考慮、有的從經(jīng)濟(jì)上打算、有的則從實(shí)用上出發(fā)各說(shuō)各的理，體現(xiàn)結(jié)果的開(kāi)放性與實(shí)際性.

2.3 以百姓關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題為資源的學(xué)習(xí)活動(dòng)

如《市場(chǎng)價(jià)格調(diào)查與分析》中，分組分頭選擇文具類、玩具類、家電類、食品類等進(jìn)行調(diào)查.學(xué)生需調(diào)查三個(gè)超市或商場(chǎng)統(tǒng)一規(guī)格20個(gè)以上產(chǎn)品的價(jià)格，制成統(tǒng)計(jì)表，再作詳細(xì)分析.在此項(xiàng)活動(dòng)中，學(xué)生學(xué)會(huì)了分辨產(chǎn)品的規(guī)格與數(shù)量、詢問(wèn)中的禮儀、原始數(shù)據(jù)的積累、統(tǒng)計(jì)表的設(shè)計(jì)（有的學(xué)會(huì)了電腦制表的方法），在對(duì)比中分析價(jià)格上浮、下降情況，了解商場(chǎng)經(jīng)商的有關(guān)知識(shí).通過(guò)分析比較，有的學(xué)生竟然向百姓提出購(gòu)物建議，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)日用品不貴、人民幣越來(lái)越堅(jiān)挺了，有的學(xué)生從市場(chǎng)價(jià)格中感到中國(guó)加入WTO將帶來(lái)的機(jī)遇與挑戰(zhàn)等等.

創(chuàng)設(shè)此類活動(dòng)改變了傳統(tǒng)授課老師出題（所有條件都用上才能解決已定的問(wèn)題），學(xué)生模仿例題、操練解題的格局.傳統(tǒng)授課的這種千篇一律的解題，實(shí)際上給小學(xué)生一種假象：即除了這個(gè)以外再也沒(méi)有其他有效的知識(shí)了，而教師也把這種教學(xué)簡(jiǎn)單地看成是知識(shí)與能力的傳授，勢(shì)必會(huì)造成“在一條船上，有75頭牛，32頭羊，問(wèn)船長(zhǎng)幾歲？答案是43歲”式的結(jié)果.拓展性學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生解決各種實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須調(diào)用有關(guān)的各種數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用，才能獲得有效結(jié)果，在實(shí)際活動(dòng)中達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通、合理運(yùn)用的目的.把數(shù)學(xué)知識(shí)與解決問(wèn)題時(shí)的思維方式結(jié)合起來(lái)，改變純數(shù)學(xué)演練的學(xué)習(xí)方式.是對(duì)傳統(tǒng)授課之不足的革新與補(bǔ)充，也是對(duì)傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的改變與挑戰(zhàn).

3 在創(chuàng)中學(xué)

探究性活動(dòng)是為“探究性學(xué)習(xí)”方式的充分展示和落實(shí)而提供的相對(duì)獨(dú)立的、有計(jì)劃的活動(dòng)，具有整體性、實(shí)踐性、開(kāi)放性、生成性、自主性等特征.首先是把生活中的現(xiàn)象當(dāng)作問(wèn)題，提出假設(shè)；其次在操作實(shí)證中探究問(wèn)題解決的方法；再次是在大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中提煉自己的觀點(diǎn)，總結(jié)自己成果.這種活動(dòng)需群策群力、共出金點(diǎn)子、收集好方法，必要時(shí)需查閱資料、尋求幫助.實(shí)證階段又需團(tuán)隊(duì)分工配合、協(xié)調(diào)等的互動(dòng)合作，失誤時(shí)又要尋找原因，重新調(diào)整活動(dòng)方案，成果交流階段又能從別人的成果中獲得替代性經(jīng)驗(yàn)，真正讓學(xué)生懂得純數(shù)學(xué)的知識(shí)在實(shí)際運(yùn)用中可能受到各類因素的影響，需不斷變化與修正.還懂得數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用離不開(kāi)其他各科知識(shí)的調(diào)用與融合，同時(shí)感受到團(tuán)隊(duì)協(xié)作、資源利用、智慧集聚的重要性.探究性活動(dòng)應(yīng)在下列幾個(gè)環(huán)節(jié)中體現(xiàn).

3.1 設(shè)計(jì)專業(yè)技術(shù)較突出的一個(gè)項(xiàng)目

在“做個(gè)家庭裝潢設(shè)計(jì)師”活動(dòng)中的《地面裝潢設(shè)計(jì)》、《墻面裝潢設(shè)計(jì)》，學(xué)生先草擬方案，確定裝潢檔次、制定操作步驟，然后丈量寓所、畫出平面圖、收集各種材料的價(jià)格信息、考慮輔助材料等等.各小組分別以低、中、高三檔裝潢標(biāo)準(zhǔn)去設(shè)計(jì)，其方案凸顯開(kāi)放性與實(shí)際性.最后電腦設(shè)計(jì)，制成小報(bào)，色彩斑斕的平面圖、選材規(guī)格價(jià)位表、配以簡(jiǎn)要文字說(shuō)明，展示設(shè)計(jì)成果.在此項(xiàng)活動(dòng)中，學(xué)生需向有一定技術(shù)的專業(yè)人員請(qǐng)教，查閱室內(nèi)裝潢設(shè)計(jì)書籍，各種材料質(zhì)量的調(diào)查與選定等等.學(xué)生一旦完成，就有一種成就感、成功感的喜悅.

3.2 探究一個(gè)現(xiàn)實(shí)中難以解決的問(wèn)題

在《百年古杏高度的測(cè)量》中，開(kāi)始時(shí)學(xué)生有些“望而生畏”，但通過(guò)群策群力，一個(gè)方案孕運(yùn)而生：放一個(gè)氣球與古杏樹(shù)同高、用影長(zhǎng)與竿長(zhǎng)測(cè)算、用竹竿連接豎起與古杏樹(shù)同高測(cè)量等等，再進(jìn)行實(shí)證性操作，當(dāng)設(shè)想與實(shí)際不符時(shí)，還需“推倒重來(lái)”，在經(jīng)歷了失敗與成功之后，才能得出結(jié)論.設(shè)計(jì)此類問(wèn)題，看似困難，但方法多樣，可充分發(fā)揮學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力，用他們的聰明才智解決實(shí)際問(wèn)題.

3.3 綜合運(yùn)用各學(xué)科知識(shí)，解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題

在“環(huán)境保護(hù)綠色行動(dòng)”的《廢電池污染研究》中，學(xué)生需收集資料：干電池的種類（汞電池、堿電池、錳電池等）、所含成分（二氧化錳、氯化銨、氯化鋅等）、污染指數(shù)（焚燒一枚紐扣電池，排氣中汞濃度超標(biāo)15~30倍；每千克土壤含鋅超過(guò)50毫克，作物難以生長(zhǎng)）等等，再測(cè)算平均每戶家庭每年所用電池量，造成的污染假想，提出回收廢舊電池的重要性.這里涉及的知識(shí)較多，電池種類、化學(xué)名稱、污染指數(shù)、抽樣測(cè)算等等，在活動(dòng)中學(xué)生能感知各種學(xué)科知識(shí)的綜合運(yùn)用的重要性.學(xué)生通過(guò)研究，可以從科學(xué)的角度理解廢電池污染的道理，“回收廢電池，做綠色小衛(wèi)士”就能成為學(xué)生的自覺(jué)行動(dòng).

拓展性學(xué)習(xí)活動(dòng)調(diào)用的知識(shí)（專業(yè)的、技能的）較多，學(xué)生除了“本本”上獲取資源以外，還需向?qū)I(yè)人士咨詢、請(qǐng)教，具有“找米下鍋”、“自尋生路”的特點(diǎn)，因此，此項(xiàng)活動(dòng)作為學(xué)生的“長(zhǎng)作業(yè)”或“探究性小課題”進(jìn)行，按學(xué)生年齡的不同，適時(shí)適量地開(kāi)展，一般以一學(xué)期一項(xiàng)或一個(gè)長(zhǎng)假（寒暑假）一項(xiàng)為宜.

例7過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2，

求證y1，y2=-p2

要求學(xué)生證明這個(gè)結(jié)論的同時(shí)，思考還能得到什么新的結(jié)論.

下面的兩種聯(lián)解過(guò)程一定會(huì)同時(shí)出現(xiàn)：

至此，學(xué)生一定會(huì)領(lǐng)會(huì)到老師發(fā)問(wèn)用意.

設(shè)問(wèn)以上探究過(guò)程忽視了一個(gè)什么問(wèn)題？以上的部分結(jié)論能否以一個(gè)命題形式給出？

學(xué)生晃然，忽視了k這個(gè)變數(shù)（要分斜率存在或不存在或存在不為零進(jìn)行探究），并繼續(xù)充分討論、歸納至少可得如下：

成果：過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積以及它們的和、差、商為值.

評(píng):學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探究性學(xué)習(xí)已經(jīng)首獲成果，高興之余興趣更增.

探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自然、關(guān)注社會(huì)、走向?qū)嵺`、自主參與探究的有效手段.當(dāng)然在這種活動(dòng)過(guò)程中，教師應(yīng)重視學(xué)生在探究實(shí)踐中的體驗(yàn)，并不特別強(qiáng)調(diào)對(duì)某一特定學(xué)科知識(shí)、技能的系統(tǒng)掌握.

由于個(gè)體積極的情緒與情感建立在操作成就、替代性經(jīng)驗(yàn)、環(huán)境條件等信息源之上的，只有學(xué)生個(gè)體與群體的互動(dòng)、探索、合作，才能培養(yǎng)人既有獨(dú)立性和自我追求、又有責(zé)任心和關(guān)心他人的品質(zhì)，因此，“實(shí)踐——拓展——探究”活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)，能形成師生間心理互動(dòng)與對(duì)接、情感交流與融合、行為預(yù)示與控制，主要是賦予學(xué)生自我調(diào)節(jié)能力以突出的地位，充分體現(xiàn)觸發(fā)情緒、引發(fā)參與、激勵(lì)探索的魅力，為實(shí)現(xiàn)學(xué)生個(gè)性發(fā)展提供廣闊的可能性和美好的前景.“學(xué)生個(gè)人或小組，就會(huì)離開(kāi)僵化走向靈活，離開(kāi)依賴走向自主，離開(kāi)戒防走向自我接受，離開(kāi)被預(yù)定走向一種不能預(yù)料的創(chuàng)造性.”學(xué)生最終就能擺脫教育達(dá)到成熟，就有獨(dú)立的能力、自我負(fù)責(zé)的態(tài)度、與他人合作的精神和批判能力.

〔1〕胡興宏.研究性學(xué)習(xí)與學(xué)科教學(xué).上海教育科研，2002（3）：104.

〔2〕程華，虞怡玲.引入“大眾數(shù)學(xué)”理念，改革小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).上海教育科研，2002（6）：206.

〔3〕顧明遠(yuǎn)，孟繁華.國(guó)際教育心理念.海南出版社，2001.219.

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1673-260X（2013）07-0223-03