關(guān)于復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析主要內(nèi)容的類比

楊吉英

（普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南普洱665000）

關(guān)于復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析主要內(nèi)容的類比

楊吉英

（普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南普洱665000）

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的微積分在復(fù)數(shù)域上的推廣.在教學(xué)過程中，類比復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析中的主要內(nèi)容，能加深對(duì)新舊概念的掌握，完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

復(fù)變函數(shù)；數(shù)學(xué)分析；類比

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，是數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實(shí)函數(shù)的連續(xù)、微分、積分和級(jí)數(shù)等理論在復(fù)數(shù)情形下的延續(xù).在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)勤于比較和善于比較，既要重視共性，又要抓住不同點(diǎn)，切實(shí)關(guān)注在推廣到復(fù)數(shù)域后出現(xiàn)了什么樣的新情況新問題，探討出現(xiàn)新問題的原因，只有這樣才能理解概念的本質(zhì)，融會(huì)貫通.下面從函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)五個(gè)方面類比了復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析.

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間I上的實(shí)函數(shù)（其中x∈I），而w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（其中z=x+iy∈D,x,y∈R）是定義在z平面上的區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù).

1 函數(shù)

聯(lián)系：復(fù)變函數(shù)的定義，形式上和數(shù)學(xué)分析中單元函數(shù)的定義一樣，只是自變量取的是復(fù)數(shù).對(duì)一個(gè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)u(x,y),v(x,y)的討論.

區(qū)別：

1.1 實(shí)函數(shù)y=f(x)的自變量是實(shí)數(shù)，它反映兩個(gè)實(shí)數(shù)軸x軸和y軸上點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用一個(gè)平面上的一條曲線就可以直觀的表示.而復(fù)變函數(shù)w=f(z)的自變量是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)不能比較大小，在映射f的作用下，把z平面上的點(diǎn)集D映成w平面上的點(diǎn)集G，因而需要用兩個(gè)復(fù)平面來表示.在復(fù)變函數(shù)中，不再區(qū)分函數(shù)、映射和變換，而是把它們都看做是z平面上的點(diǎn)集D與w平面上的點(diǎn)集G之間的一種對(duì)應(yīng).

1.2 復(fù)變函數(shù)中對(duì)函數(shù)多值性的研究是明顯不同于數(shù)學(xué)分析中函數(shù)性質(zhì)的討論.

1.3 初等解析函數(shù)是一元實(shí)初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域上的推廣，但是推廣了后出現(xiàn)了許多新性質(zhì)，如復(fù)指數(shù)函數(shù)w=ez在整個(gè)復(fù)平面上是不等于零的，而且它是以2πi為基本周期的周期函數(shù)，即ez=ez+2πi，k是整數(shù)，但實(shí)指數(shù)函數(shù)沒有周期性.復(fù)正弦余弦函數(shù)sinzcosz在z平面上是無界的，而實(shí)正弦余弦函數(shù)sinxcosx在R上是有界的.

1.4 復(fù)變函數(shù)中我們主要研究的對(duì)象是解析函數(shù)，函數(shù)的解析類似于數(shù)學(xué)分析中的可導(dǎo)或可微，但要比可導(dǎo)或可微更強(qiáng).w=f(z)在z0∈D處解析是指，在該點(diǎn)可微且在該點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，而w=f(z)在D上解析是指在D內(nèi)的每一點(diǎn)都可微.從而就會(huì)出現(xiàn)只在某個(gè)孤立點(diǎn)或一條直線上可微，但在z平面上處處不解析的情況.定義在單連通區(qū)域D上的解析函數(shù)具有無窮可微性，即只要解析函數(shù)f(z)在D內(nèi)一階可導(dǎo)，則在D內(nèi)f(z)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，且其各階導(dǎo)數(shù)的內(nèi)部值可以用解析函數(shù)f(z)的邊界值來表示.

2 極限

聯(lián)系：不管是在復(fù)數(shù)域還是實(shí)數(shù)域，研究函數(shù)的連續(xù)性、微分、積分和級(jí)數(shù)的工具都是極限.復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)的定義和實(shí)函數(shù)極限和連續(xù)的定義在形式上是一致的，運(yùn)算法則和性質(zhì)都相似，而且都是借助極限的概念來定義函數(shù)的連續(xù)性.此外，研究復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性問題可以轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓚€(gè)二元實(shí)變函數(shù)（其實(shí)部和虛部）的極限和連續(xù)的相應(yīng)問題.

區(qū)別：

3 導(dǎo)數(shù)

聯(lián)系：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和可導(dǎo)性、微分與可微性是利用類比的方法從一元實(shí)變函數(shù)的相應(yīng)概念推廣到復(fù)數(shù)域后得到的，它們?cè)谛问缴吓c一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分是一致的.

區(qū)別：

3.1 實(shí)變一元函數(shù)的可導(dǎo)和可微是等價(jià)的，實(shí)變二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，才能推出該函數(shù)是可微的.而判定復(fù)變函數(shù)f(z)在z（0或區(qū)域D）可導(dǎo)的充要條件中，不僅要求實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)是可微的或偏導(dǎo)存在且連續(xù)，還要求u(x,y)和v(x,y)必須滿足Cauchy-Riemann條件即其根本原因是其根本原因是f(z)在z 0點(diǎn)可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的定義可知，極限與z→z0的方式無關(guān).

3.2 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義的形式上看，f'(z0)也刻畫了f(z)的值在z0處隨自變量變化的快慢程度.但f'(z0)是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)不能比較大小，因此，變化的“速率”應(yīng)當(dāng)用模|f'(z0)|表示，從這個(gè)意義上可以說f'(z0)表示了函數(shù)f(z)在z0處的“變化率”.事實(shí)上，根據(jù)解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的模的幾何意義可知，|f' (z0)|表示過z0的曲線經(jīng)映射w=f(z)后在z0處的伸縮率，它刻畫的是該函數(shù)在z0處的一種變化率.

3.3 一元實(shí)變函數(shù)的微分中值定理能不能直接推廣到復(fù)數(shù)域上.一元實(shí)變函數(shù)的微分中值定理是以Fermat引理為證明的理論基礎(chǔ)，但在復(fù)數(shù)域中沒有極值點(diǎn)的概念，也就是說Fermat引理在復(fù)數(shù)域內(nèi)是不成立的.Rolle定理在復(fù)數(shù)域上是不成立，但可以把一元實(shí)函數(shù)的Lagrange中值定理，Cauchy中值定理推廣到二元實(shí)函數(shù)上，再推廣到復(fù)數(shù)域上.下面僅以Rolle定理為例來說明.

Rolle定理設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)且f(a) =f(b)，則至少存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.

該定理不能直接推廣到復(fù)數(shù)域上的原因主要有以下兩點(diǎn)：

（1）復(fù)變函數(shù)w=f(z)在某點(diǎn)處連續(xù)和可導(dǎo)是在該函數(shù)定義在z0的某個(gè)領(lǐng)域上討論的，僅在實(shí)軸或虛軸的某個(gè)區(qū)間上不能討論連續(xù)性與可導(dǎo)性.即使定義在復(fù)平面內(nèi)某個(gè)以z1和z2為端點(diǎn)的線段上也不行.

（2）若將Rolle定理的前兩個(gè)條件放寬為f(z)在復(fù)平面的某區(qū)域D內(nèi)解析，將第三個(gè)條件f(a)=f(b)改為f(z)在D內(nèi)某線段的兩個(gè)端點(diǎn)z1與z2上相等，結(jié)論也不一定成立.如設(shè)f(z)=ez，復(fù)指數(shù)函數(shù)在z平面上是解析，且以2πi為基本周期即ez=ez+2kπi，k是整數(shù)，但由于(ez)'=ez≠0，所以在以z1與z2為端點(diǎn)的線段內(nèi)，不存在一點(diǎn)z使得(ez)'=0，故Rolle定理不成立.

4 積分

聯(lián)系：復(fù)變函數(shù)的積分和實(shí)函數(shù)的積分，從定義上看，都是分割、取近似值、求和、取極限的思路.復(fù)變函數(shù)的積分與實(shí)變函數(shù)的定積分的計(jì)算規(guī)則與基本性質(zhì)基本相同，復(fù)變函數(shù)積分中還有與微積分學(xué)中的基本定理和Newton-Leibniz公式相對(duì)應(yīng)的結(jié)論.復(fù)變函數(shù)的積分∫cf (z)dz與數(shù)學(xué)分析中的第二類線積分有不少相似之處，如：積分路徑C是D內(nèi)的分段光滑的有向線段，當(dāng)被積函數(shù)給定后，積分值不僅與C的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)還與積分路徑C有關(guān).

區(qū)別：

4.1 復(fù)積分和第二類線積分的積分和式的結(jié)構(gòu)不同，復(fù)積分和式中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積，而第二類線積分的積分中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)向量的數(shù)量乘積，而且兩者的積分表達(dá)形式不同.

4.2 由原函數(shù)存在定理可知只要被積函數(shù)是積分區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以應(yīng)用Newton-Leibniz公式求定積分，而對(duì)復(fù)變函數(shù)而言，要應(yīng)用Newton-Leibniz，需要被積函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)且處處解析的時(shí)，才有-F(z1)，z1和z2必須在單連通區(qū)域D.

4.3 復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)質(zhì)上是z平面上的線積分，從而也就有了周線積分的問題，相應(yīng)的就有cauchy積分定理、復(fù)合閉合定理、cauchy積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式等.

5 級(jí)數(shù)

聯(lián)系：Weierstrass級(jí)數(shù)理論是實(shí)變級(jí)數(shù)理論的推廣，復(fù)數(shù)列的斂散性可以由兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性確定，復(fù)級(jí)數(shù)的斂散性可以由兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)的斂散性確定，因此數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實(shí)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法和技巧都可以在復(fù)數(shù)域上應(yīng)用.

區(qū)別：

5.1 復(fù)函數(shù)展成Laurent級(jí)數(shù)的條件比實(shí)函數(shù)展成Taylor級(jí)數(shù)的條件要弱，只需要復(fù)函數(shù)f(z)在z0處解析即可.而實(shí)函數(shù)f(x)在x0處展成Taylor級(jí)數(shù)，需要在x0處的任意階導(dǎo)數(shù)存在.實(shí)函數(shù)中要求Taylor公式中的余項(xiàng)趨于零，而對(duì)解析函數(shù)而言，余項(xiàng)自然趨于零.因此，復(fù)變函數(shù)展成Taylor級(jí)數(shù)的應(yīng)用范圍就比實(shí)變函數(shù)情形要更廣.

5.2 實(shí)變級(jí)數(shù)理論在復(fù)數(shù)域上推廣后，出現(xiàn)了兩種級(jí)數(shù)Taylor級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù).Laurent級(jí)數(shù)是Taylor級(jí)數(shù)的推廣，一個(gè)函數(shù)的解析性由Taylor級(jí)數(shù)刻畫，而Laurent級(jí)數(shù)刻畫了函數(shù)的奇性.

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容進(jìn)行類比，這樣不僅能夠提高學(xué)生原有知識(shí)準(zhǔn)備水平和概括水平，而且還能促進(jìn)學(xué)生正遷移的發(fā)生，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力.

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2003.

〔2〕余家榮.復(fù)變函數(shù)（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2000.

〔3〕華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2001.

O174.5

A

1673-260X（2013）09-0012-02