基于最小二乘法計(jì)算三分康托集的盒維數(shù)

吳艷秋，張?zhí)禅P，常艷雪，關(guān)立健

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

盒維數(shù)的應(yīng)用是很廣泛的，正是因?yàn)樗挠?jì)算相對(duì)容易些.盒維數(shù)的計(jì)算關(guān)鍵是求在直徑最大為δ時(shí)能夠覆蓋該集的集的最少個(gè)數(shù).大致總結(jié)共有五種方法：以半徑為δ的能夠覆蓋該集的最少閉球數(shù)；和該集相交的δ-網(wǎng)立方體的個(gè)數(shù)；覆蓋該集的最大直徑δ的集的最少個(gè)數(shù)；覆蓋該集的邊長(zhǎng)為δ的最少立方體數(shù)；球心在該集上，半徑為δ的相互不相交的球的最多個(gè)數(shù)等.最小二乘法要具有合理的數(shù)據(jù)，建立關(guān)系求出函數(shù)，更可以求出未知的數(shù)，并能使求出的這些數(shù)與實(shí)際數(shù)之間的差值的平方和最小.在盒維數(shù)的計(jì)算過(guò)程中，用不同方法都能快速得到結(jié)果.在此基礎(chǔ)上引入最小二乘法去求解三分康托集的盒維數(shù)分析誤差.

1 盒維數(shù)分析

對(duì)三分康托集的盒維數(shù)的計(jì)算方法利用最小二乘法計(jì)算前提是構(gòu)建數(shù)據(jù)，以及一些相關(guān)內(nèi)容.

1.1 數(shù)據(jù)的選取

三分康托集是不斷的去掉三分之一，得到的是由2k個(gè)長(zhǎng)度都為3-k的區(qū)間的交集組成的.用不同的尺寸盒子去覆蓋三分康托集，這樣建立這樣的關(guān)系：H1/3(A)=2,H1/32(A)=22,H1/33.選取這樣的點(diǎn)n.即(ln3j,ln2j),j=0,1,2,…,n.這樣選取的坐標(biāo)可以直觀的看到函數(shù)的關(guān)系.

1.2 盒維數(shù)

最容易構(gòu)造與理解的三分康托集顯示了分形的特點(diǎn)，三分康托集是不斷的去掉中間三分之一得到的，是無(wú)窮集.一方面取直徑δ∈[3-k,3-k+1)，覆蓋三分康托集的直徑和不大于區(qū)間的個(gè)數(shù)，上盒維數(shù)不大于ln2/ln3；另一方面δ∈(3-k-1,3-k]，任意取長(zhǎng)度為直徑的區(qū)間最多相較于三分康托集中的3-k為長(zhǎng)度的一個(gè)區(qū)間，不小于區(qū)間數(shù).下盒維數(shù)不小于ln2/ln3，則得到的三分康托集的盒維數(shù)是ln2/ln3.

2 最小二乘法

運(yùn)用最小二乘法計(jì)算三分康托集的盒維數(shù)的數(shù)據(jù)構(gòu)造出來(lái)了，設(shè)為(xi,yi),i=1,2,…,n，得到y(tǒng)=kx+b這樣的一條直線，進(jìn)而知道的最小值.首先，對(duì)k,b分別求偏導(dǎo)，S'k(k,b)=0，S'b(k,b)=0.

用軟件解出k,b的值，直線也可知，斜率k就是所求的盒維數(shù).

3 實(shí)例分析

4 結(jié)束語(yǔ)

用的最小二乘法是三分康托集被用長(zhǎng)度不同的盒子覆蓋基礎(chǔ)上，與直徑指數(shù)建立坐標(biāo)，求其函數(shù)關(guān)系.所求的斜率就是三分康托集的盒維數(shù).通過(guò)與傳統(tǒng)定義方法求三分康托集的盒維數(shù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)不但有誤差而且計(jì)算量大，必須用軟件計(jì)算.

〔1〕朱華,姬翠翠.分形理論及其應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，2011.

〔2〕肯尼思·法爾科內(nèi).分形幾何-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].東北大學(xué)出版社，2003.

〔3〕文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海：上海科技教育出版社，2005.

〔4〕張立，謝忠玉，陳凱.基于混沌理論的短時(shí)交通流局域預(yù)測(cè)模型[J].黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,25(2):53.

〔5〕李電生，萬(wàn)培祥，員麗芬.干散貨航運(yùn)價(jià)格指數(shù)分形結(jié)構(gòu)研究[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，11(3):54.