與判斷矩陣一致性無(wú)關(guān)的單準(zhǔn)則排序法*

劉開第，金 斕 ，龐彥軍，馬立濤

(河北工程大學(xué)不確定信息研究所，河北邯鄲056038)

單準(zhǔn)則排序是指，在單一準(zhǔn)則C下對(duì)n個(gè)對(duì)象按重要性大小排序。單準(zhǔn)則排序的困難首先是，因?yàn)闆]有秤靠決策者判斷所以有無(wú)法回避的不確定性，必須合理確定并定量表征這種不確定性才可能正確排序。

層次分析法(AHP)［1－3］用“兩兩比較”的方法，在引入一種稱為比例標(biāo)度的相對(duì)標(biāo)度概念基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造兩兩比較的“1－9”比例標(biāo)度判斷矩陣很好地解決了單準(zhǔn)則排序中不確定性的確定與定量表征問(wèn)題。合理確定不確定性的關(guān)鍵是“兩兩比較”和“比例標(biāo)度”。

關(guān)鍵1:兩兩比較:在社會(huì)與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，決策屬性的重要性通常具有相對(duì)性，因?yàn)闆]有一種絕對(duì)標(biāo)度來(lái)度量這種相對(duì)重要性只能通過(guò)“比較”才能顯現(xiàn)重要性的不同。由于三個(gè)對(duì)象排序時(shí)“甲勝乙，乙勝丙而丙又勝甲的連環(huán)套”并不鮮見，所以只“比較”不夠、還必須進(jìn)行“兩兩比較”。對(duì)于個(gè)數(shù)不是非常多的定性因素來(lái)說(shuō)，“兩兩比較”是正確排序的基本準(zhǔn)則，這是由事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)識(shí)的局限性決定的。

關(guān)鍵2:比例標(biāo)度:對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，比較結(jié)果的表征嚴(yán)格講與對(duì)“重要性程度”的等級(jí)劃分有關(guān)，因?yàn)槿藗兪前粗爸匾猿潭鹊牡燃?jí)”去區(qū)分所論重要性的不同。由于人憑判斷最多只能區(qū)分開九個(gè)不同的重要性等級(jí)，這是為心理學(xué)試驗(yàn)所證實(shí)了的。

所以重要性程度的“九級(jí)劃分”是人憑判斷所能進(jìn)行的最精細(xì)劃分。當(dāng)然根據(jù)需要與可能也可采用“七級(jí)劃分”、“五級(jí)劃分”，甚至“三級(jí)劃分”，只要給出的“等級(jí)劃分程度”能滿足解決實(shí)際問(wèn)題的需求即可;高級(jí)劃分比低級(jí)劃分的好處是有更強(qiáng)的區(qū)分力，如當(dāng)“三級(jí)劃分”不能把對(duì)象i與j所屬的重要性區(qū)分開時(shí)，那么五級(jí)、七級(jí)或九級(jí)劃分則可能把i與j的重要性區(qū)分開。

以九級(jí)劃分為例，若用1－9這九個(gè)數(shù)字依次表示九個(gè)重要性等級(jí)的量化值，那么當(dāng)i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，用ai表示對(duì)象i屬于第ai個(gè)重要性等級(jí)，用aj表示對(duì)象j屬于第aj個(gè)重要性等級(jí)，則ai與aj都是1－9中的某個(gè)數(shù)字;由于比值ai/bj可清楚地表征對(duì)象i與j的重要性差別，所以比值ai/bj是一種度量“相對(duì)重要性”的標(biāo)度，稱之為比例標(biāo)度。顯然比例標(biāo)度是一種相對(duì)標(biāo)度;相對(duì)標(biāo)度與米、秒等絕對(duì)標(biāo)度的區(qū)別是，沒有明確的物理意義。相對(duì)標(biāo)度概念的引入和應(yīng)用是層次分析法的一大貢獻(xiàn)，也是系統(tǒng)分析的一大突破。

對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)可用比例標(biāo)度ai/bj表征比較結(jié)果，而n(n≥3)個(gè)對(duì)象在準(zhǔn)則C下“兩兩比較”一次共可比較n2次(包括“自比較”，并且i與j比較以及j與i比較看作是兩次比較)，這n2個(gè)用“1－9”比例標(biāo)度ai/bj表征的比較結(jié)果，構(gòu)成一個(gè)n×n矩陣。

稱該矩陣為兩兩比較的“1－9”比例標(biāo)度判斷矩陣，簡(jiǎn)稱判斷矩陣。比例標(biāo)度ai/bj中的ai與aj是對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)各自所屬的重要性等級(jí)，因而都是1－9這九個(gè)數(shù)字中的一個(gè)。

比例標(biāo)度判斷矩陣An是確定并定量表征單準(zhǔn)則排序不確定性最具優(yōu)勢(shì)的表達(dá)形式，之所以被廣泛采用不只是因?yàn)檫@種表達(dá)形式極具公平性、合理性和可操作性，而且有利于由此構(gòu)建單準(zhǔn)則排序方法。所以可視為是已達(dá)成共識(shí)的單準(zhǔn)則排序的初始數(shù)據(jù)條件。

當(dāng)構(gòu)造了比例標(biāo)度判斷矩陣An=(ai/bj)n×n后，那么任意兩個(gè)對(duì)象i與j的重要性比較結(jié)果都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以，n個(gè)比較對(duì)象在準(zhǔn)則C下的重要性排序是確定的，由判斷矩陣An中的數(shù)據(jù)決定。如果認(rèn)同這一點(diǎn)，這意味著如果對(duì)象i的排序度量為μi(C)，那么客觀上必存在映射Fi，可實(shí)現(xiàn)由An表征的數(shù)據(jù)到排序度量μi(C)的轉(zhuǎn)換，即

俗稱μ(C)為重要性權(quán)重，且μi(C)滿足

這樣，單準(zhǔn)則排序就是根據(jù)判斷矩陣An中的數(shù)據(jù)，具體構(gòu)造映射Fi的數(shù)學(xué)表達(dá)式。但是，當(dāng)構(gòu)造了判斷矩陣An后，是否認(rèn)可比較對(duì)象的排序由判斷矩陣An中的數(shù)據(jù)決定是一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題，它涉及兩種本質(zhì)不同的單準(zhǔn)則排序理念。

層次分析法(AHP)，不認(rèn)為An中的數(shù)據(jù)能正確確定n個(gè)比較對(duì)象的排序，還要再增加一個(gè)條件:即An還必須滿足“一致性檢驗(yàn)”。當(dāng)An滿足一致性檢驗(yàn)條件時(shí)，認(rèn)為An的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后，就是n個(gè)比較對(duì)象的真實(shí)排序;否則，如果An不滿足一致性檢驗(yàn)條件，則認(rèn)為An不能提供合乎邏輯的排序，因而必須對(duì)An進(jìn)行調(diào)整。

“一致性檢驗(yàn)和調(diào)整判斷矩陣”是AHP給出的單準(zhǔn)則排序方法的核心。在已有的單準(zhǔn)則排序方法中被廣泛認(rèn)可并被廣泛采用的正是層次分析法(AHP)給出的基于一致性檢驗(yàn)的單準(zhǔn)則排序方法。一致性檢驗(yàn)的單準(zhǔn)則排序方法如下:

如果判斷矩陣An=(ai/bj)n×n的最大特征根λmax滿足

則認(rèn)為判斷矩陣An=(ai/bj)n×n的一致性程度是可以接受的，判斷矩陣的一致性程度是可接受的是指，認(rèn)為判斷矩陣是保序的，亦即認(rèn)為判斷矩陣An=(ai/bj)n×n的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的特征向量經(jīng)“歸一化”后就是n個(gè)比較對(duì)象的真實(shí)排序，其中R.I.是Saaty教授定義的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)［2－3］。

如果C.R.＜0.1不被滿足，AHP認(rèn)為判斷矩陣An(ai/bj)n×n偏離一致性程度過(guò)大、“判斷”沒能趨于一致;認(rèn)為沒趨于一致的“判斷”不能得到合乎邏輯的排序，所以必須調(diào)整判斷矩陣。實(shí)際應(yīng)用中當(dāng)C.R.＜0.1不被滿足時(shí)都對(duì)判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整。用最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)比較對(duì)象排序的方法稱為特征根法。特征根法是層次分析法最重要的排序方法。除此外，常用還有最小二乘法、對(duì)數(shù)最小二乘法、最小偏差法、以及梯度特征向量法等［2－3］，所有這些排序方法都建立在一致性檢驗(yàn)基礎(chǔ)上?；谝恢滦詸z驗(yàn)的單準(zhǔn)則排序方法源于下面兩個(gè)基本事實(shí):

1)在比例標(biāo)度判斷矩陣An=(ai/bj)n×n中，如果任意i行j列元素aij與 行列元素aij之積都恰好等于i行k列元素aik，即aij·ajk=aik。則稱判斷矩陣An是嚴(yán)格一致性矩陣。

容易證明，如果比例標(biāo)度判斷矩陣An是嚴(yán)格一致性矩陣，那么An的最大特征根λmax=n而其它特征根全為0，并且最大特征根λmax=n對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后，一定是判斷矩陣中n個(gè)比較對(duì)象的真實(shí)排序，序向量中第i個(gè)分量λi是第i個(gè)排序?qū)ο蟮臋?quán)重。

2)應(yīng)用中的An通常都不是嚴(yán)格一致性矩陣。由Perro定理知，任意比例標(biāo)度判斷矩陣An如果不是嚴(yán)格一致性矩陣，那么An的最大特征根λmax一定比n大，并且λmax對(duì)應(yīng)的特征向量一定是正向量。因?yàn)楫?dāng)λmax－n越小時(shí)，表明判斷矩陣An具有的“一致性程度”越大，所以當(dāng)判斷矩陣An的一致性大到“一定程度”時(shí)，雖然λmax對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后不一定是n個(gè)比較對(duì)象的權(quán)重向量，但卻有可能不改變n個(gè)比較對(duì)象的重要性排序。

如果An的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的特征向量歸一化后的排序與λmax=n時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量歸一化后的排序一致，則稱判斷矩陣An是保序的。這樣，如果能判定An是保序的，那么n個(gè)比較對(duì)象的重要性排序就是:An的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的歸一化的特征向量。那么，比例標(biāo)度判斷矩陣An(ai/bj)n×n滿足怎樣的條件才是保序的呢?Saaty教授憑經(jīng)驗(yàn)給出的條件就是

1 .基于一致性檢驗(yàn)排序的不足

1.1一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的不嚴(yán)謹(jǐn)性

一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)

中得臨界值“＜0.1”是Saaty教授憑經(jīng)驗(yàn)確定的，缺乏必要的理論依據(jù)［2－3］。一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中的臨界值是界定An是否保序的依據(jù)，具有如此重要作用的數(shù)據(jù)缺乏必要的理論依據(jù)本身就是問(wèn)題?，F(xiàn)在看來(lái)，界定判斷矩陣An具有怎樣的“一致性程度”才是保序的，這是一個(gè)非常困難的問(wèn)題，一是選擇到合用的“一致性指標(biāo)”并不容易，二是希望確定一種具有理論支撐的一致性指標(biāo)的某種“臨界值”、作為檢驗(yàn)判斷矩陣An保序應(yīng)具有的一致性程度，是不現(xiàn)實(shí)的，原因是，雖說(shuō)判斷矩陣An的保序性與“一致性程度”間有一定關(guān)系，但是An具有怎樣的“一致性程度”才是保序的，決策者幾乎無(wú)法知道;其困難程度遠(yuǎn)比排序大。

1.2調(diào)整判斷矩陣排序理念的片面性

當(dāng)一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)“C.R.＜0.1”不被滿足時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣不能提供合乎邏輯的排序，所以必須對(duì)判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整。這是層次分析法(AHP)關(guān)于單準(zhǔn)則排序的實(shí)質(zhì)性排序理念，到目前為止，雖有不少對(duì)單準(zhǔn)則排序的改進(jìn)方法，卻都沒有對(duì)“調(diào)整判斷矩陣的排序理念”提出過(guò)疑意;改進(jìn)排序方法的重點(diǎn)是，如何使構(gòu)造的比例標(biāo)度判斷矩陣容易通過(guò)一致性檢驗(yàn)和減少調(diào)整判斷矩陣的盲目性［4－6］?！癈.R.＜0.1 ”不被滿足相當(dāng)于在An中出現(xiàn)“甲勝乙、乙勝丙而丙又勝甲”的反序情況。實(shí)際上反序也是一種客觀存在，不只是在各種競(jìng)技項(xiàng)目中“弱可能勝?gòu)?qiáng)”，即使在社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中、在特定情況下“弱也可能勝?gòu)?qiáng)”;所以一旦在An中出現(xiàn)反序，并不意味著一定是決策者在判斷上出了問(wèn)題、一定是犯了邏輯錯(cuò)誤;也可能是在特定情況下、決策者對(duì)可能發(fā)生的“弱勝?gòu)?qiáng)”的正確預(yù)判。正因?yàn)椤胺葱颉痹试S出現(xiàn)在決策者的判斷中，所以一旦An中出現(xiàn)反序，未必允許對(duì)判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整，而相信決策者判斷也不失是一種正確的選擇。所以，認(rèn)為“一致性檢驗(yàn)”不被滿足時(shí)必須調(diào)整判斷矩陣的排序理念是值得商榷的，正確的選擇應(yīng)是:“在相信決策者的判斷與對(duì)判斷矩陣認(rèn)真復(fù)核之間”作出選擇。但必須考慮到判斷矩陣的“不可預(yù)知性”和“不可重復(fù)性”。特別是，當(dāng)“一致性”檢驗(yàn)不被滿足時(shí)，An中比較對(duì)象的排序仍然是確定的，并且決策仍需知道這種真排序。但是，一旦對(duì)判斷矩陣An進(jìn)行了調(diào)整，那么基于一致性檢驗(yàn)的排序方法再也無(wú)法知道An調(diào)整前的真實(shí)排序。單從這一點(diǎn)看，基于一致性檢驗(yàn)的單準(zhǔn)則排序也不能涵蓋所有單準(zhǔn)則排序問(wèn)題。

事實(shí)上，只要不把An的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后看作是比較對(duì)象的排序，那么，就無(wú)需對(duì)判斷矩陣An進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。原因是，An中比較對(duì)象的排序由An中得數(shù)據(jù)決定，與An是否“保序”以及具有怎樣的“一致性程度”并無(wú)關(guān)系。嚴(yán)格講驗(yàn)證An中數(shù)據(jù)的可信性是構(gòu)造An的任務(wù)，并非是依據(jù)An中的數(shù)據(jù)對(duì)比較對(duì)象排序的研究?jī)?nèi)容。問(wèn)題是，能否依據(jù)An中的數(shù)據(jù)在一致性檢驗(yàn)之外找到對(duì)比較對(duì)象排序的排序方法，回答是肯定的。

2 .由判斷矩陣數(shù)據(jù)決定的單準(zhǔn)則排序

2.1評(píng)分標(biāo)度

已知比例標(biāo)度判斷矩陣為An=(ai/bj)n×n，因?yàn)榻o定An后，n個(gè)比較對(duì)象的排序已沒有不確定性，由An中的數(shù)據(jù)決定。問(wèn)題是，對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)的比例標(biāo)度ai/bj，對(duì)于不同對(duì)象j并不具有可加性，所以當(dāng)對(duì)象i在與n個(gè)對(duì)象各進(jìn)行一次比較后對(duì)象i的相對(duì)重要性大小決策者是不知道的。這是比例標(biāo)度這種“相對(duì)標(biāo)度”的不足，為此引入一種稱為評(píng)分標(biāo)度的新的相對(duì)標(biāo)度概念。

評(píng)分標(biāo)度是在準(zhǔn)則C下對(duì)n個(gè)比較對(duì)象按重要性大小排序的常用方法。如果用μij表示對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)i的得分，用μij表示對(duì)象j的得分，那么要想保證評(píng)分的公平性，必須規(guī)定，i與j的得分和為常數(shù)m，即μij+μji=m(m為常數(shù))。

通常m是單值常數(shù)，但也有例外;如足球比賽中，規(guī)定一場(chǎng)比賽勝方全取3分負(fù)方不得分，而平局時(shí)則比賽雙方各得1分。在此m可為3也可為2，這種規(guī)定是為了鼓勵(lì)“取勝”。在一般情況下m只是一個(gè)常數(shù)。此時(shí)以m=1為最簡(jiǎn)。規(guī)定μij+μji=1，顯見評(píng)分標(biāo)度μij是一種相對(duì)標(biāo)度。并且顯然評(píng)分標(biāo)度具有“可加性”，亦即對(duì)象i關(guān)于多個(gè)對(duì)象j的比較得分可以相加。

當(dāng)對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，如果直接在［0，1］區(qū)間上選擇一個(gè)實(shí)數(shù)μij作為對(duì)象i的得分，那么要想保證評(píng)分的合理性并不容易，所以直接從［0，1］區(qū)間上選擇μij并不具有實(shí)際的可操作性。但是，當(dāng)對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，用比例標(biāo)度ai/bj作為比較結(jié)果卻有公平性、合理性和實(shí)際的可操作性。這樣問(wèn)題就歸結(jié)為:能否把不具有“可加性”的比例標(biāo)度ai/bj轉(zhuǎn)化為評(píng)分標(biāo)度μij。

這樣就涉及到兩種“相對(duì)標(biāo)度”轉(zhuǎn)換問(wèn)題:一是兩種標(biāo)度能否轉(zhuǎn)換，二是怎樣的轉(zhuǎn)換能保證得到的評(píng)分標(biāo)度符合人憑判斷的打分邏輯。兩種標(biāo)度可以轉(zhuǎn)換是不言而喻的，因?yàn)楸壤龢?biāo)度ai/bi與評(píng)分標(biāo)度μij都是對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，為把i與j的重要性差異區(qū)分開的一種“相對(duì)標(biāo)度”。這樣的兩種“相對(duì)標(biāo)度”理應(yīng)能轉(zhuǎn)換。剩下的問(wèn)題是，怎樣的轉(zhuǎn)換公式得到的評(píng)分μij符合人憑判斷打分的打分邏輯。標(biāo)度轉(zhuǎn)換公式如下。

2.2比例標(biāo)度到評(píng)分標(biāo)度轉(zhuǎn)換

已知兩兩比較的1－9比例標(biāo)度判斷矩陣為An=(ai/bj)n×n。當(dāng)對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，用實(shí)數(shù)μij表示i的重要性得分，用μij表示j的重要性得分。令

［0.1，0.9］與之對(duì)應(yīng)，當(dāng)i=j時(shí)，μij=0。

轉(zhuǎn)化為區(qū)間［0.1，0.9］上的評(píng)分標(biāo)度μij，那么該轉(zhuǎn)換公式是否合理，亦即能否得到滿足用戶需求的某種評(píng)分規(guī)則，是評(píng)分排序是否可行的基礎(chǔ)。

2.3標(biāo)度轉(zhuǎn)換公式的合理性分析

衡量變換式(8)的合理性是指，當(dāng)對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，由公式(8)得到的對(duì)象i的重要性得分μij，是否符合人憑判斷打分的打分邏輯分析如下。

1)當(dāng)對(duì)象i與j進(jìn)行一次重要性比較時(shí)，我們的目的是把i與j的“不同重要性合理區(qū)分開”，按這種目的“自比較”沒有意義。因?yàn)樵试S自比較時(shí)，最強(qiáng)與最弱的對(duì)象在自比較時(shí)，都將不加區(qū)分的獲得0.5分，只要對(duì)象i與j的重要性不同，那么各自增加0.5分的實(shí)際效果，都是“人為”縮小i與j的重要性差距;顯然這與把i與j的“重要性”區(qū)分開的目的相悖。所以，不管實(shí)際問(wèn)題中研究對(duì)象能否進(jìn)行“自比較”，但在使用評(píng)分標(biāo)度時(shí)一律不允許“自比較”，或說(shuō)“自比較”不得分，這是評(píng)分排序的特點(diǎn)，也是評(píng)分標(biāo)度與比例標(biāo)度的區(qū)別之一。所以規(guī)定μij=0是合理的。

2)如果i≠j，當(dāng)ai/bj=1時(shí)表明i與j同等重要，同等重要的兩個(gè)不同對(duì)象比較一次各得0.5分是合理的。

3)如果i≠j，當(dāng)ai/bj=9時(shí)表明i極端強(qiáng)且j極端弱，規(guī)定極端強(qiáng)與極端弱的對(duì)象比較一次，強(qiáng)者得0.9分而弱者得0.1分，剛好九個(gè)等級(jí)，是人憑感官和判斷能區(qū)分開的最多等級(jí)，所以是合理的;反之超過(guò)9倍的得分差距從心理學(xué)角度將被視為不合理。

4)對(duì)象i從“i與j同等重要”到“i比j極端重要”的變化過(guò)程，在沒有特定條件下認(rèn)為i的重要性得分呈線性增加符合人們的打分直觀，所以當(dāng)i≠j且1≤ai/bj≤9時(shí)經(jīng)線性插值規(guī)定

是合理的。

5)當(dāng)i≠j且1/9≤ai/bj＜1 時(shí)規(guī)定

是為了保證在i≠j時(shí)μij+μji=1。

至于為什么不選擇在區(qū)間1/9≤ai/bj＜1上用線性內(nèi)插法確定μij而選擇區(qū)間1≤ai/bj≤9，是因?yàn)閰^(qū)間1/9≤ai/bj＜1比區(qū)間 1≤ai/bj≤9的間距短，評(píng)分變化快，因而由此得到的評(píng)分在直觀上效果稍差。

上述五條表明，由變換式(8)從比例標(biāo)度得到的評(píng)分規(guī)則，在沒有特殊要求的條件下是合理的，因而是一種合乎邏輯的用戶需求。

2.4評(píng)分排序法

標(biāo)度轉(zhuǎn)換式(8)將比例標(biāo)度ai/bj轉(zhuǎn)化為評(píng)分標(biāo)度μij，同時(shí)把比例標(biāo)度判斷矩陣An=(ai/bj)n×n轉(zhuǎn)化為評(píng)分標(biāo)度判斷矩陣Bn=(μij)m×n。

評(píng)分判斷矩陣Bn=(μij)m×n的第i行j列元素μij是對(duì)象i與j在準(zhǔn)則C下進(jìn)行一次重要性比較時(shí)對(duì)象i的得分，與此同時(shí)j行i列的元素μij是j與i進(jìn)行一次重要性比較時(shí)對(duì)象j的得分，并且當(dāng)i≠j時(shí)滿足μij＞0，μji=1=μij。易見，Bn=(μij)m×n的第i行元素之和fi是對(duì)象i的得分和。

在總共n2次兩兩比較中，除有n個(gè)μij=0外，余下的n(n－1)次“兩兩比較”中共合得1)分，所以每個(gè)對(duì)象i的得分率為

得分率向量為

并且η(c)就是n個(gè)比較對(duì)象的排序向量，向量中第i個(gè)分量ηi(c)是對(duì)象i的排序度量，俗稱ηi(c)是對(duì)象i的重要性權(quán)重。按得分率對(duì)比較對(duì)象排序其正確性是不言而喻的，當(dāng)然前提條件是獲取到得評(píng)分是公平、合理、惟一的。至此，在沒考慮比例標(biāo)度判斷矩陣An=(ai/bj)n×n是否保序以及具有怎樣的一致性程度情況下，直接從矩陣中數(shù)據(jù)出發(fā)，通過(guò)標(biāo)度變換用評(píng)分排序法解決了矩陣中n個(gè)比較對(duì)象的排序問(wèn)題。顯然評(píng)分排序與比例標(biāo)度判斷矩陣An是否保序以及具有怎樣的一致性程度沒有關(guān)系，它由矩陣中的數(shù)據(jù)決定。

從比例標(biāo)度判斷矩陣An=(ai/bj)n×n出發(fā)，到完成評(píng)分排序，只用到加乘運(yùn)算。所以評(píng)分排序算法要比基于一致性檢驗(yàn)的特征根排序法簡(jiǎn)便很多。

3 例子

三個(gè)橄欖球隊(duì)打一次循環(huán)賽，A1，A2是由兩兩比較的1－9比例標(biāo)度判斷矩陣表征的，關(guān)于比賽的兩種預(yù)測(cè)。A1，A2分別為

求兩種預(yù)測(cè)下的比賽排名。

顯見在A1與A2中都存在“甲勝乙，乙勝丙而丙又勝甲”的反序情況。一致性檢驗(yàn)結(jié)果如下:

對(duì)A1的檢驗(yàn)結(jié)果為

最大特征根λmax=4.002

對(duì)A2的檢驗(yàn)結(jié)果為

兩個(gè)判斷矩陣都不滿足C.R.＜0.1，按照一致性檢驗(yàn)的排序理念，生成兩個(gè)判斷矩陣的“判斷”都沒能趨于一致，不能提供合乎邏輯的排序，所以必須對(duì)判斷矩陣A1，A2進(jìn)行調(diào)整。但是，當(dāng)判斷矩陣中出現(xiàn)反序時(shí)，可認(rèn)為是決策者在特定情況下，認(rèn)為“弱可能勝?gòu)?qiáng)”的一種正確預(yù)測(cè)。所以，在反序情況下仍需確定比較對(duì)象的真實(shí)排序。在評(píng)分排序看來(lái)，比較對(duì)象的重要性排序由判斷矩陣中的數(shù)據(jù)決定，與判斷矩陣“是否保序”以及具有怎樣的“一致性程度”無(wú)關(guān)。評(píng)分排序步驟是:

步驟1.由公式(8)將比例標(biāo)度判斷矩陣A1，A2分別轉(zhuǎn)化為評(píng)分判斷矩陣B1，B2:

步驟2.計(jì)算得分率:在B1與B2中甲、乙、丙的得分依次為

步驟3.按得分率排序

甲＞乙＞丙 乙＞丙＞甲

結(jié)果分析:

雖然比例標(biāo)度判斷矩陣A1，A2均不滿足一致性檢驗(yàn)條件，但是矩陣中的比較對(duì)象的排序是確定的，并且排序結(jié)果是比賽得分的合理反映。實(shí)際上，給定不同的比例標(biāo)度判斷矩陣，意味著經(jīng)標(biāo)度轉(zhuǎn)換后比較對(duì)象可以獲得不同的比賽得分，這樣甲、乙、丙間的6種排序，均可出現(xiàn)。

4 結(jié)論

構(gòu)造的比例標(biāo)度判斷矩陣An是否可信，是決策者在構(gòu)造An階段應(yīng)解決的問(wèn)題;并且一旦構(gòu)造了An，那么排序就由An中的數(shù)據(jù)決定，與An具有怎樣的“一致性程度”并無(wú)關(guān)系。當(dāng)An保序時(shí)，

AHP把An的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后作為比較對(duì)象的排序，其正確性毋庸置疑，但要從嚴(yán)格意義上界定An保序，卻是十分困難的，至少現(xiàn)階段很難做到;并且認(rèn)為不滿足一致性檢驗(yàn)(即出現(xiàn)反序)的判斷矩陣An不能提供合乎邏輯的排序，這種排序理念的合理性也值得商榷。所以依據(jù)判斷矩陣An中的數(shù)據(jù)構(gòu)造排序方法才是單準(zhǔn)則排序的正常途徑。

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