在近距雙星系統(tǒng)中同步雙星達(dá)到軌道圓形化時的軌道和自轉(zhuǎn)演化的數(shù)值解和演化趨勢

李林森

（東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長春 130024）

在近距雙星系統(tǒng)中同步雙星達(dá)到軌道圓形化時的軌道和自轉(zhuǎn)演化的數(shù)值解和演化趨勢

李林森

（東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長春 130024）

從非同步自轉(zhuǎn)雙星的軌道和自轉(zhuǎn)的演化方程組推出同步雙星的軌道和自轉(zhuǎn)的演化方程組。用數(shù)值積分法給出演化方程組的數(shù)值解。計算同步自轉(zhuǎn)雙星EKCep達(dá)到軌道圓形化的時間和那時的軌道半長軸、軌道偏心率和主星自轉(zhuǎn)角速度的演變數(shù)值。最后對軌道和自轉(zhuǎn)的演化趨勢做了推論。

同步自轉(zhuǎn)雙星EKCep；軌道圓化時間；軌道和自轉(zhuǎn)；數(shù)值解

潮汐摩擦在近距雙星系統(tǒng)中對軌道和自轉(zhuǎn)的演化伴有重要角色。文［1-2］利用能量和角動量的方法研究了在近距雙星系統(tǒng)中潮汐平衡和演化問題，但他的研究較少涉及軌道和自轉(zhuǎn)的同步性。自轉(zhuǎn)同步性的一系列研究首先是由文［3-4］完成的。文［5］研究了主序前收縮星晚型星的軌道圓形化問題并給出了數(shù)值結(jié)果。近年來，也有不少學(xué)者對雙星自轉(zhuǎn)和同步性的觀測和理論研究做了工作。例如：文［6-8］等作者對雙星自轉(zhuǎn)的觀測和同步性做了大量工作，特別對大陵五型雙星的自轉(zhuǎn)和同步性的統(tǒng)計觀測。文［9］給出了判斷雙星同步自轉(zhuǎn)的一種新方法。文［10-11］研究了非同步轉(zhuǎn)動雙星的軌道和自轉(zhuǎn)的演化。文［12］給出了判斷雙星自轉(zhuǎn)同步性的表象描述法。文［13］研究了太陽型雙星的同步性觀測。文［14］在文［12］的研究基礎(chǔ)上又給出了判斷分光雙星自轉(zhuǎn)同步性的方法。

作者在文［15］用分析法研究了在主序上軌道偏心率較小的同步雙星（β-Per）的軌道和自轉(zhuǎn)演化的分析解。本文用數(shù)值法研究了軌道偏心率較大的同步雙星（EKCep）的軌道和自轉(zhuǎn)演化的數(shù)值解和演化趨勢。

1 從非自轉(zhuǎn)同步演化方程組化為自轉(zhuǎn)同步演化方程組

Zahn（1989）給出了由于潮汐摩擦使軌道半長軸a，軌道偏心率e和自轉(zhuǎn)角速度的長期演化的一般方程組［4］：

式中，R和M分別表示主星的半徑和質(zhì)量；q=M’/M，M’為伴星質(zhì)量；ω表示軌道角速度（平均運動）；I表示轉(zhuǎn)動慣量。對流摩擦?xí)r間tf和λIm已由Zahan＆Bouchet（1989b）給出［5］：

式中，L和Te分別是主星的光度和表面有效溫度；f⊙和T⊙e分別表示太陽的對流摩擦?xí)r間和表面有效溫度。

根據(jù)Kepler第三定律也可寫成以下聯(lián)立方程組：

式中，T表示軌道周期（平均運動）；P表示主星的自轉(zhuǎn)周期。

軌道圓形化時間tair是［4］

對于同步雙星λ=κ2（拱線進(jìn)動常數(shù)）

2 長期演化方程組的數(shù)值解法

方程組（5）-（7）是三元聯(lián)立常微分方程組。這類方程組可直接用積分方程組的分析解法；另外也可以用數(shù)值解法。前者可用指數(shù)級數(shù)展開得到分析解，但指數(shù)級數(shù)展開后只能對軌道偏心率小的項可以略去，對軌道偏心率較大的雙星不能略去。本文所研究的同步雙星EKCep的軌道偏心率較大（e =0.11），故不能用指數(shù)級數(shù)展開的分析法，只能用數(shù)值積分法。

數(shù)值積分常微分方程組最好采用四階龍格—庫塔解法。將前節(jié)方程組（5）-（7）寫成適用于四階龍格—庫塔解法如下形式：

對于主序星或亞巨星，其半徑R是不變的或R為常數(shù)。

龍格—庫塔四階解的形式是：

3 同步雙星EKCep達(dá)到軌道同形化時的軌道和自轉(zhuǎn)的演化數(shù)值解

本文利用前節(jié)的龍格—庫塔計算方法計算同步雙星EKCep達(dá)到軌道圓形化時軌道半長軸、軌道偏心率、軌道周期、軌道角速度和主星自轉(zhuǎn)角速度的演化值。對于密近雙星EKCep其系統(tǒng)屬于DS（分離）系統(tǒng)。根據(jù)文［16］給出的光譜型，主星是AOV（AO型主序星），但根據(jù)文［6-7，17］主星是AOIV型（AO型亞巨星）。根據(jù)文［16］系統(tǒng)的同步性V=20 km/s，Vk=18 km/s。文［7］也給出Vsini=20 km/s，Vk= 18 km/s，所以判斷此雙星系是同步雙星。此雙星系的軌道參數(shù)：文［7-8，17］均給出的軌道偏心率e= 0.11。文［18］給出的軌道參數(shù)：T=4.427 8日，a=16.72R⊙，R=1.35R⊙，R’=1.14R⊙，q=M’/M=0.56，SM=M+M’=3.20M⊙，即M=2.05M⊙，M’=1.15M⊙，Te=103 200K（主星）。文［5］給出f⊙=0.433年，Te⊙=577 00K。根據(jù)上述V=20 km/s，R=1.35R⊙，Ω0=V/R=2.128 6×10-5rad/s，將這些數(shù)據(jù)代入（4）式，得潮汐摩擦?xí)r間：

對于同步雙星λ=k2（拱線常數(shù)）。k2可用文［19］根據(jù)logm的數(shù)值在表中查找k2的對應(yīng)值。但本文log2.05=0.317 7，表中沒有k2的對應(yīng)值。故只好用Cowlling公式計算k1=k2=k［20］

其中U是拱線進(jìn)動周期，文［21］給出的數(shù)據(jù)，對于EKCep，U=4000年。將上述T、U、R、R’、M和M’代入上式后得：

k2=0.033 59.

再將λ=k2=0.033 59，tf=0.253 3年以及q=0.56，R=1.35R⊙，a=16.72R⊙代入（11）式后得軌道圓形化時間：t再將q，k，t，R，M和I代入（13）式中有：

在前節(jié)龍格—庫塔公式（14）-（17）中利用初始條件值a0=16.7R0，e0=0.11，Ω0=V/R=2.128 6× 10-5rad/s以及A、B、C和h=ta.r=2.275 7×108年值，逐步得到

k1=-1.097R⊙，k2=-0.348 0R⊙，k3=-0.535 3R⊙，k4=-0.951 8R6，

l1=-0.109 97，l2=-0.071 9，l3=-0.081 1，l4=-0.035 7，

m1=2.430 7×10-5rad/s，m2=1.170 1×10-5rad/s，m3=1.464 2×10-5rad/s，m4=0.034 4×10-5rad/s.將這些數(shù)值代入（14）式得到軌道圓形化時軌道和自轉(zhuǎn)的演變增量：

k=-0.636 0R⊙，l=-0.051 6，m=1.288 8×10-5rad/s.所以軌道達(dá)到圓形化時軌道半長軸、偏心率和主星自轉(zhuǎn)角速度各值為：

即在2.275 7×108年內(nèi)軌道和自轉(zhuǎn)的變化值：

δa=-0.636 0R⊙，δe=-0.051 6，δΩ=+1.288 8×10-5rad/s.積分（8）-（10）式的結(jié)果給出：

式中，T0=4.427 8日；ω=2π/T0=1.419 0 rad/日；P0=2π/Ω0=3.416 4日。

將a0=16.72R⊙，a=16.084R⊙，Ω0=2.128 8×10-5rad/s和Ω=3.417 4×10-5rad/s代入上式后得：

ω=1.503 8 rad/日，T=4.177 6日，P=2.127 7日，δω=+0.084 8 rad/日，δT=-0.250 2日，δP=-1.288 7日，δΩ=+1.288 6×10-5rad/s。

4 推論

根據(jù)前節(jié)的計算結(jié)果，可以推論同步雙星EKCep兩子星達(dá)到軌道圓形化時軌道和自轉(zhuǎn)的演化趨勢：

（1）軌道半長軸在近2×108年內(nèi)從開始值16.72R⊙減少到16.084R⊙；

（2）軌道偏心率在近2×108年內(nèi)從0.11減少到0.058 4；

（3）軌道角速度（平均運動）在近2×108年內(nèi)從1.419 0 rad/日加速到1.503 8 rad/日；

（4）軌道周期在近2×108年內(nèi)從4.427 8日縮短到4.177 6日；

（5）主星的自轉(zhuǎn)角速度在近2×108年從開始值2.128 6×10-5rad/s加速到3.417 4×10-5rad/s；

（6）主星的自轉(zhuǎn)周期在近2×108年內(nèi)從開始值3.416 4日縮短到2.127 7日。

從同步演化方程組（5）-（10）還可推論軌道達(dá)到圓形化時間以后軌道半長軸和軌道偏心率也繼續(xù)減少；軌道平均運動繼續(xù)加速，軌道周期繼續(xù)縮短，而主星自轉(zhuǎn)角速度繼續(xù)加速，周期繼續(xù)縮短。

［1］P Hut.Stability of tidal equilibrium［J］.Astronomy and Astrophysics，1980，92：167-170.

［2］P Hut.Tidal evolution in Close binary system［J］.Astronomy and Astrophysics，1981，99：126-140.

［3］JP Zahn.Tidal friction in close binary stars［J］.Astronomy and Astrophysics，1977，57：383-394.

［4］JP Zahn.Tidal evolution of close binary stars，I.Revisiting the theory of the equilibrium tide［J］.Astronomy and Astrophysics，1989，220：112-116.

［5］JP Zahn，L Bouchet.Tidal evolution of close binary stars II.Orbital Circula-rization of late-type binaries［J］.Astronomy and Astrophysics，1989，223（1）：112-118.

［6］譚徽松.大陵五型雙星的自轉(zhuǎn)統(tǒng)計研究［J］.天文學(xué)報，1989，30（2）：135-148.Tan Huisong.Statistical study of the rotation of Algols［J］.Acta Astronomical Sinica，1989，30（2）：135-148.

［7］譚徽松，潘開科，汪洵浩.密近雙星自轉(zhuǎn)的測量和研究（II）自轉(zhuǎn)同步性的計算［J］.天體物理學(xué)報，1995，15（1）：57-69.Tan Huisong，Pan Kaike，Wang Xunhao.Measurement and Study of Rotation in Close Binary Stars（Ⅱ）Synchronization Calculation［J］.Acta Astrophysica Sinica，1995，15（1）：57-69.

［8］潘開科.密近雙星自轉(zhuǎn)的測量和研究（III）同步性的統(tǒng)計性質(zhì) ［J］.天體物理學(xué)報，1996，16（3）：291-297.Pan Kaike.Measurement and study of rotation in close binary stars（Ⅲ）statistical analysis of synchronization［J］.Acta Astrophysica Sinica，1996，16（3）：291-297.

［9］李林森.判斷雙星自轉(zhuǎn)同步性的一種新方法 ［J］.天體物理學(xué)報，1998，18（1）：77-82.Li Linsen.A new method for judging the synchronous rotation of binary stars［J］.Acta Astrophysica Sinica，1998，18（1）：77-82.

［10］ 黃潤乾，曽藝容.非同步轉(zhuǎn)動雙星系統(tǒng)的演化 ［J］.中國科學(xué)A輯，數(shù)學(xué)，2000，30（2）： 187-192.

［11］Huang Runqian，Zeng Yiron.Evolution of Non-Synchronized Binary Systems［J］.Science in China，Series A.Mathematics，2000，43（3）：331-336.

［12］Li Linsen.An apparent descriptive method for judging the synchronization of rotation of binary stars［J］.Journal of Astrophysics and Astronomy，2004，25（3-4）：203-212.

［13］ SMeibom，RDMathieu，K G Stassun.An observational study of tidal synchronization in Solar-binary stars in the open clusters M 35 and M34［J］.The Astrophys Journal，2006，653（2）：621-635.

［14］ 李林森.判斷分光雙星自轉(zhuǎn)同步性方法的理論改進(jìn)［J］.天文研究與技術(shù)——國家天文臺臺刊，2009，6（4）：264-270.Li Linsen.Theoretical improvement ofmethods for judging the synchronization of self rotations of stars in a spectroscopic binary system ［J］.Astronomical Research ＆ Technology——Publications of National Astronomical Observatories of China，2009，6（4）：264-270.

［15］Li Linsen.Orbit and spin evolution of synchronous binary stars on the main sequence［J］.Research in Astronomy and Astrophysics，2012，12（12）：1673-1680.

［16］G Giuricin，F(xiàn)Mardirossian，M Mezzetti.Synchronization in eclipsing binary stars［J］.Astronomy and Astrophysics，1984，131（1）：152-158.

［17］ A H Batten，JM Fletcher，D GMaccarthy.Eight catalogue of the orbital elements of spectroscopic binary system［J］.Publication of Dominion Astrophysics of Observatory，1989，17：1-127.

［18］ H K Brancewiez，T Z Dworak.A catalogue of parameters for eclipsing binaries［J］.Acta Astronomica，1980，30（4）：501-524.

［19］A Claret，A Gimenez.Evolutionary stellarmodels using Rogers＆Iglesias opacitieswith particalar attention to internal structure constants［J］.Astronomy and Astrophysics Supplement Series，1992，96（1）：255-261.

［20］T G Cowlling.On themotion of the apsidal line in close binary systems［J］.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society，1938，98（2）：734-743.

［21］T Hegeds.AN up-dated List of eclipsing binaries showing apsidal motion［J］.Bulletin d' Information du Centre de Donnees Stellaire，1988，35（1）：15-28.

Numerical Solutions and Evolutionary Trends of the Orbit and Rotation of a Synchronous Binary-Star System at the Orbital Circularization Time

Li Linsen
（School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

This paper derives a setof equations for the orbitand self-rotation of a synchronous binary-star system from the set of equations for non-synchronous binary stars.The numerical solutions of the equations as derived are subsequently given by using a numerical method.The circularization time，and the numerical values of the orbital semi-major axis，eccentricity，and the rotational angular velocity together with other parameters at that time are calculated for the synchronous binary-star system EKCep.The paper finallymakes certain colollaries about the evolutionary trends of the orbit and self-rotation of the system.

Synchronous binary stars EKCep；Orbital circularization time；Orbit and rotation；Numerical solution

P144；P153

：A

：1672-7673（2013）03-0249-06

2012-08-26；修定日期：2012-09-14

李林森，男，教授.研究方向：天體軌道參數(shù)變化和天體自轉(zhuǎn)理論.Email：dbsd-lls@163.com

CN 53-1189/P ISSN 1672-7673