多輸入多輸出系統(tǒng)基于特征函數(shù)頻譜盲檢測(cè)

沈 雷 陳 佩 王海泉 于 淼 孫閩紅

（1.杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州310018；2.南京電訊技術(shù)研究所，江蘇 南京210007）

引 言

隨著無(wú)線通信的發(fā)展，頻譜資源越來(lái)越擁擠，但是很多已經(jīng)分配的頻譜資源并沒(méi)有得到有效利用［1］.認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)，通過(guò)容許非授權(quán)用戶使用空閑的頻譜，在不妨礙主用戶通信的情況下，提高頻譜的使用率，得到了很大的關(guān)注［2］.頻譜檢測(cè)，也就是檢測(cè)信道中是否存在主用戶信號(hào)的傳輸，是認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容［3-15］.到目前為止，已經(jīng)有很多種頻譜檢測(cè)方法被提出來(lái).主要有匹配濾波器法［3］、能量檢測(cè)法［4-7］、循環(huán)譜檢測(cè)法［8］、特征值檢測(cè)法［9-10］.這些檢測(cè)方法既可以用在單天線系統(tǒng)中［3-10］，也可以用在多天線系統(tǒng)中［11-15］.

匹配濾波器法是一種最佳檢測(cè)，能使接收輸出信噪比最大，但是需要知道授權(quán)用戶的所有先驗(yàn)知識(shí)，在先驗(yàn)知識(shí)不足時(shí)，無(wú)法應(yīng)用.循環(huán)譜檢測(cè)法利用已知授權(quán)用戶的調(diào)制信息來(lái)提高低信噪比條件下頻譜檢測(cè)的性能，但所需樣本時(shí)間長(zhǎng)，計(jì)算復(fù)雜度高.能量檢測(cè)算法是H.Urkowitz在1967年提出的［5］，由于不需要知道授權(quán)用戶的任何先驗(yàn)知識(shí)，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用到認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)的頻譜檢測(cè)中.但在低信噪比條件下，噪聲干擾與授權(quán)用戶的能量區(qū)分度變小，能量檢測(cè)法性能下降［7］.在噪聲方差未知情況下，如果噪聲方差估計(jì)不準(zhǔn)確，能量檢測(cè)法性能急劇下降［6，13］.特征值檢測(cè)方法利用接收到的信號(hào)樣本協(xié)方差的特征值來(lái)進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，其理論基礎(chǔ)是隨機(jī)矩陣?yán)碚?特征值檢測(cè)不需要知道授權(quán)用戶信號(hào)的信息，也不需要知道信道噪聲的方差，實(shí)現(xiàn)了盲檢測(cè)，但樣本協(xié)方差特征值計(jì)算的計(jì)算量和復(fù)雜度都比較大.

以上的頻譜檢測(cè)法，在本質(zhì)上都是基于局部參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的頻譜檢測(cè)方法，以某個(gè)局部參數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行信號(hào)檢測(cè).我們?cè)谖墨I(xiàn)［16］提出了基于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的頻譜檢測(cè)方法，這是一種基于非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的頻譜檢測(cè)方法，以信號(hào)的整體特征為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行信號(hào)檢測(cè).由于分布函數(shù)是信號(hào)整體特性的一個(gè)完整解析，文獻(xiàn)［16］利用 Anderson-Darling（AD）檢驗(yàn)，度量樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與某個(gè)已知函數(shù)之間的距離進(jìn)行頻譜檢測(cè).這種基于擬合優(yōu)度的頻譜檢測(cè)方法比傳統(tǒng)的基于局部參數(shù)的頻譜檢測(cè)方法具有更好的性能，特別是在低信噪比、小樣本條件下.多天線系統(tǒng)的空間增益，能夠帶來(lái)頻譜檢測(cè)性能的提高.遺憾的是，文獻(xiàn)［16］所提方法在多天線環(huán)境下無(wú)法適用.其原因是現(xiàn)有的AD檢驗(yàn)理論并不能直接從單天線推廣到多天線環(huán)境中.

特征函數(shù)是信號(hào)概率密度函數(shù)的傅里葉變換，是信號(hào)整體特征的另一種解析.由于接收樣本的有限性，各種解析之間肯定是不等價(jià)的.文獻(xiàn)［17］在單天線環(huán)境下，提出了基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)方法，通過(guò)度量接收到信號(hào)的樣本特征函數(shù)與已知特征函數(shù)之間的距離進(jìn)行頻譜檢測(cè)，結(jié)果證明比傳統(tǒng)的基于局部參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的頻譜檢測(cè)方法具有更好的性能，但并沒(méi)有對(duì)其檢測(cè)性能進(jìn)行具體分析.

本文提出了多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系統(tǒng)基于多元特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)算法，詳細(xì)分析了基于多元特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)算法的虛警概率和檢測(cè)概率.理論分析和仿真結(jié)果表明，MIMO系統(tǒng)中基于多元特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)算法比能量檢測(cè)和基于特征值的頻譜盲檢測(cè)算法具有更好的性能.能量檢測(cè)和基于特征值的盲檢測(cè)方法是認(rèn)知無(wú)線電中廣泛應(yīng)用的頻譜檢測(cè)算法.

1 MIMO系統(tǒng)中基于特征函數(shù)的頻譜檢測(cè)原理

文獻(xiàn)［18］采用特征函數(shù)來(lái)判決接收到的信號(hào)是否符合高斯分布，文獻(xiàn)［19］把這種方法推廣到多元情況，用來(lái)檢驗(yàn)向量信號(hào)是不是符合多元高斯分布.但兩文獻(xiàn)的方法只能用來(lái)判決接收到的信號(hào)是否存在高斯性，不能直接用來(lái)進(jìn)行頻譜檢測(cè).本節(jié)提出MIMO系統(tǒng)中基于特征函數(shù)的頻譜檢測(cè)算法，其具體原理敘述如下.

假設(shè)在認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)中，授權(quán)主用戶發(fā)送端有M根天線，次用戶接收端有P根天線.設(shè)次用戶接收端第P根天線第l個(gè)樣本為XP，l，把P根天線接收的第l個(gè)樣本組成一個(gè)向量XP（l）＝［X1，l，…，XP，l］T，連續(xù)采樣L次，得到L個(gè)樣本向量，記為X＝｛XP（l）｝Ll＝1.

當(dāng)信道中授權(quán)用戶的發(fā)射信號(hào)不存在時(shí)，接收端只有高斯噪聲，此時(shí)接收到的信號(hào)可以表示為

式中WP為服從均值為零，協(xié)方差為Σ的多元高斯分布，記作WP～NP（0，Σ），Σ＝diag｛σ21，…，σ2P｝，σ2P是第P根天線的高斯噪聲方差.則向量X的特征函數(shù)是P維的向量.

當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶信號(hào)傳輸時(shí)，由于受信號(hào)調(diào)制特性和信道傳輸特性的影響，XP（l）不服從P維均值為零，協(xié)方差為Σ的多元高斯分布.此時(shí)，其特征函數(shù)也不服從φ0（V）.這樣 MIMO系統(tǒng)中，基于特征函數(shù)的頻譜檢測(cè)就可以等價(jià)于下列假設(shè)檢驗(yàn)：

H0：X＝｛XP（l）Ll＝1｝是服從特征函數(shù)為

的隨機(jī)向量.很明顯，如果H0成立，則表明信道中沒(méi)有授權(quán)用戶信號(hào)傳輸；如果H0不成立，則表明信道中存在授權(quán)用戶信號(hào)的傳輸，頻譜被占用.

文獻(xiàn)［20］中，為了檢查隨機(jī)變量的高斯性，定義了經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù).根據(jù)相同的原理，定義隨機(jī)向量的經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)為

假如信道中不存在授權(quán)用戶傳輸，則L趨向無(wú)窮時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布趨向于零均值多元高斯正態(tài)分布，φL（V）趨向φ0（V）.而當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶信息傳輸?shù)臅r(shí)候，經(jīng)驗(yàn)分布不再趨向于零均值的多元高斯正態(tài)分布，φL（V）不再趨向于φ0（V）.通過(guò)度量經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)φL（V）與特征函數(shù)φ0（V）的距離，可以用來(lái)判決是否存在授權(quán)信號(hào)的傳輸.這里令特征函數(shù)距離統(tǒng)計(jì)為

式中：Ψ為加權(quán)函數(shù)，

det（·）表示對(duì)矩陣求行列式.從式（4）可以得到，統(tǒng)計(jì)量TL的計(jì)算，需要知道信道噪聲的協(xié)方差.為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行盲檢測(cè)，我們用樣本協(xié)方差對(duì)信號(hào)進(jìn)行歸一化，定義修正的特征統(tǒng)計(jì)量為

式中：φ′L（V）是協(xié)方差歸一化的經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)，

SL為樣本協(xié)方差；

在式（6）～（8）中，當(dāng)信道中不存在授權(quán)用戶傳輸，L趨向無(wú)窮大時(shí)，歸一化經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)φ′L（V）趨向φ′0（V）＝exp-VTV/（）2.當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶傳輸?shù)臅r(shí)候，φ′L（V）不趨向于φ′0（V）.根據(jù)這一事實(shí)，我們可以用統(tǒng)計(jì)量T′L來(lái)做檢測(cè).需要注意的是，修正統(tǒng)計(jì)量的T′L計(jì)算，并不需要知道噪聲的協(xié)方差，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信道的盲檢測(cè).

為了得到T′L的簡(jiǎn)明計(jì)算公式，對(duì)式（6）的積分進(jìn)行展開(kāi)，可得

式中：

由上面的分析可以得到，信道噪聲方差未知情況下，基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)等價(jià)于下面的假設(shè)檢驗(yàn)：

式中t0表示檢測(cè)門(mén)限，可通過(guò)式（9）～（11）仿真得到.如果 T′L＞t0，表明經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)φ′L（V）與φ′0（V）距離很遠(yuǎn)，因此拒絕假設(shè)檢驗(yàn) H0，認(rèn)為信道中存在授權(quán)信號(hào)的傳輸.如果T′L≤t0，表明經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)φ′L（V）與φ′0（V）距離很近，假設(shè) H0成立，認(rèn)為信道中不存在授權(quán)用戶信號(hào)的傳輸.

在虛警概率給定的情況下，通過(guò)式（9）～（11），利用Monte Carlo方法，可以得到檢測(cè)門(mén)限.表1給出了虛警概率為0.05，不同接收天線個(gè)數(shù)P，不同樣本個(gè)數(shù)L下的門(mén)限t0.當(dāng)樣本L大于50時(shí)，門(mén)限t0已不隨樣本個(gè)數(shù)的變化而變化，這是由于此時(shí)φ′L（V）與φ′0（V）已經(jīng)足夠近似.

表1 不同天線個(gè)數(shù)不同樣本個(gè)數(shù)下的門(mén)限仿真值

綜合上面的分析，在噪聲方差未知情況下，MIMO系統(tǒng)中基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)算法的步驟如下：

步驟1 根據(jù)給定的虛警概率，選擇合適的門(mén)限t0.

步驟2 把P根天線接收到的第l個(gè)樣本值，構(gòu)成P 維向量XP（l）＝［X1，l，…，XP，l］T，并采樣L個(gè)樣本向量，記為X＝｛XP（l）｝Ll＝1.

步驟3 根據(jù)式（9）～（11），計(jì)算 T1L的值.

步驟4 作出判決：如果T′L＞t0，則假設(shè)H0不成立，信道是被占用的；否則假設(shè)H0成立，判決信道是空閑的.

2 MIMO系統(tǒng)基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)性能分析

檢測(cè)概率是頻譜檢測(cè)方法的重要性能，本節(jié)分析基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)算法的檢測(cè)概率.當(dāng)信道中存在授權(quán)用戶信號(hào)傳輸時(shí)，假設(shè)主用戶有M根發(fā)射天線，此時(shí)次用戶接收端接收到的向量信號(hào)可以表示為：

式中：H＝［H1，…，HP］T，Hp＝［h1，p，…，hm，p］T，hm，p表示主用戶第m根發(fā)射天線和次用戶第p根接收天線之間的衰落因子.這里假設(shè)信道是平穩(wěn)慢衰落的，且服從高斯分布.也就是在L個(gè)向量樣本采樣期間，hm，p保持不變，而在另外L個(gè)向量樣本采樣期間，hm，p變化且服從零均值高斯分布.S＝［s1，…，sm］T表示授權(quán)用戶m根天線所發(fā)射的信號(hào).接收到的信號(hào)一般為復(fù)數(shù)，如果只處理實(shí)部的話，可以認(rèn)為發(fā)射的信號(hào)為實(shí)數(shù).為了簡(jiǎn)便，假設(shè)信號(hào)的能量為1，不失一般性，假設(shè)發(fā)射信號(hào)sm∈｛-1，1｝，各個(gè)分量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立.X服從均值為HS，協(xié)方差為Σ的多元高斯分布，記做X～N（HS，Σ）.向量X的特征函數(shù)φ1（V）＝exp （j STHTV-VTΣV/2）.當(dāng)L趨向無(wú)窮時(shí)，協(xié)方差歸一化的經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)φ′L（V）趨向于φ′1（V）＝exp （j STHTΣ-1V-VTV/2）.

基于特征函數(shù)頻譜盲檢測(cè)的檢測(cè)概率.給定衰落因子 H，設(shè)FT′L，H1（x）是檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量T′L在授權(quán)用戶存在條件下（H1）的分布函數(shù)，由檢測(cè)概率的定義可知：

由于T′L（H）是兩個(gè)特征函數(shù)之間距離的統(tǒng)計(jì)，由三角不等式得

其中φ′1（V）為上文所提函數(shù) .為了簡(jiǎn)便，令

式（14）可以化簡(jiǎn)為

在L，H 給定條件下，特征函數(shù)檢測(cè)的統(tǒng)計(jì)量T′L（H）的累積分布函數(shù)可以表示為

式（17）中，第一個(gè)不等式根據(jù)馬爾可夫不等式得到，第二個(gè)不等式由式（16）得到.MIMO系統(tǒng)中基于特征函數(shù)頻譜盲檢測(cè)的檢測(cè)概率Pd（H）的下界為

在采樣向量樣本個(gè)數(shù)L和信道衰落因子H給定的條件下，由式（15）計(jì)算可得C（H）是一個(gè)大于零的常數(shù).文獻(xiàn)［20］表明當(dāng)L→∞時(shí)，B2L（H）是有界分布，則E［eBL（H）］也是有界的.由式（17）～（18），對(duì)于給定的門(mén)限t0，或者虛警概率a，無(wú)論a取多小的值，隨著樣本數(shù) L 的增加，F(xiàn)T′L，H1（H，t0）都趨向于0，檢測(cè)概率Pd（H）趨向于1，變化的速率為o（e-C（H）L）.

瑞利衰落信道下，衰落向量因子H服從P維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，由式（17）～（18），在設(shè)定門(mén)限t0后，特征函數(shù)頻譜檢測(cè)的平均檢測(cè)概率下界為

平均檢測(cè)概率Pd是Pd（H）的加權(quán)積分，同樣對(duì)于給定的虛警概率，隨著樣本數(shù)L的增加，衰落信道下的平均檢測(cè)概率趨向于1.

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，本節(jié)給出Matlab環(huán)境下的仿真結(jié)果.這里信道采用高斯慢衰落信道，H中各個(gè)信道的衰落因子統(tǒng)計(jì)獨(dú)立.發(fā)射天線發(fā)射的信號(hào)為雙相移相鍵控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）調(diào)制信號(hào)，各個(gè)天線發(fā)射的信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立.為了比較，在MIMO系統(tǒng)中，我們對(duì)基于特征函數(shù)的盲頻譜檢測(cè)法、基于能量的頻譜檢測(cè)法［14］、基于特征值的盲頻譜檢測(cè)法三種方法的性能分別做了仿真.這里能量檢測(cè)法是在噪聲方差已知情況下的仿真，而基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)方法和基于特征值的頻譜盲檢測(cè)方法是在噪聲方差未知情況下的仿真.基于特征值的頻譜檢測(cè)方法，采用最大最小特征值的比值作為檢測(cè)的參數(shù)［14］.

圖1給出了授權(quán)用戶發(fā)射天線4根，次用戶接收天線6根，采樣向量樣本L＝32，虛警概率Pfa＝0.05時(shí)，三種檢測(cè)方法的檢測(cè)概率.圖2給出了授權(quán)用戶發(fā)射天線2根，次用戶接收天線3根，采樣向量樣本L＝64，虛警概率Pfa＝0.05時(shí)，三種檢測(cè)方法性能的比較.

從圖1可以看到：本文所提的基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)方法性能比基于特征值的頻譜盲檢測(cè)性能提高了5dB左右信噪比SNR，比能量檢測(cè)性能提高了大約3dB左右；而能量檢測(cè)在噪聲方差估計(jì)不準(zhǔn)確時(shí)，性能急劇下降.在圖2環(huán)境下，論文所提方法同樣比傳統(tǒng)方法具有更好的性能.

圖1 不同頻譜檢測(cè)方法的檢測(cè)概率比較

圖3給出了三種檢測(cè)方法的工作區(qū)間，仿真條件同樣為授權(quán)用戶發(fā)射天線個(gè)數(shù)M＝4，次用戶接收天線個(gè)數(shù)P＝6，采樣向量樣本個(gè)數(shù)L＝32.從圖3可以看到，在MIMO多天線系統(tǒng)中，基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)方法比基于能量檢測(cè)的頻譜檢測(cè)方法和基于特征值的頻譜盲檢測(cè)方法具有更好的性能.特別是在虛警概率小于0.1的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域是實(shí)際工作環(huán)境對(duì)應(yīng)的工作區(qū)間.

圖2 不同頻譜檢測(cè)方法的檢測(cè)概率比較

圖3 不同頻譜檢測(cè)方法的工作區(qū)間比較

4 結(jié) 論

本文提出了MIMO系統(tǒng)中基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)方法.所提算法不需要知道授權(quán)用戶發(fā)射信號(hào)的任何先驗(yàn)知識(shí)，也不需要知道信道的噪聲方差.理論分析和仿真結(jié)果表明，在MIMO系統(tǒng)中，基于特征函數(shù)的頻譜盲檢測(cè)方法比基于能量檢測(cè)的頻譜檢測(cè)方法和基于特征值的頻譜盲檢測(cè)方法具有更好的性能.

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