基于雙調頻斜率的分布式星載雷達波形設計

宗竹林 胡劍浩 朱立東 張順生

(1.電子科技大學電子科學技術研究院，四川 成都 611731； 2.電子科技大學通信抗干擾技術國家級重點實驗室，四川 成都 611731)

引 言

在具有多發(fā)功能的分布式星載雷達[1-5]體制下，由于衛(wèi)星信號間相互干擾，多顆衛(wèi)星必須發(fā)射互不相干的正交波形才能使各衛(wèi)星接收的目標回波信號相互獨立，從而實現各發(fā)射信號的區(qū)分與聯合信號處理.此外，由于分布式衛(wèi)星是一個高速運動的平臺，因此衛(wèi)星發(fā)射的波形應對多普勒不太敏感.

在正交波形設計及優(yōu)化方面，Hai Deng通過對一組離散頻率進行編碼，設計了離散頻率編碼波形，并借助于模擬退火算法進行優(yōu)化設計，得到正交性能較好的正交離散頻率編碼波形[6]；利用同樣的方法，他對正交多相編碼波形進行了優(yōu)化[7].2006年，劉波和何子述等人在文獻[6-7]的基礎上用遺傳算法和鄰域搜索的方法對正交多相碼和正交頻率編碼波形進行了優(yōu)化[8]，使得波形的正交性能和算法的優(yōu)化速度都比Hai Deng的方法要好而且快.文獻[9]結合稀疏模型對正交離散頻率編碼波形進行了優(yōu)化設計，提高了多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)雷達的參數估計性能.為解決距離模糊問題，文獻[10]對雙脈沖信號進行正交編碼，并用遺傳算法進行了正交優(yōu)化.但是這些方法設計的正交波形對多普勒頻率很敏感.

文獻[11-12]通過對不同的雷達分配不同的載頻來實現正交，并利用最大似然估計算法對波形的克勞美門限進行了分析.文獻[13]通過對不同的子天線在不同的頻帶上分配斜率相反的線性調頻信號實現正交，從而實現了MIMO合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar，SAR)寬測繪帶成像.Aboulnasr Hassanien通過發(fā)射不同的子波束形成正交發(fā)射，在接收端通過子波束正交合成的方法來提高MIMO雷達的分辨率[14].這些方法雖然涉及距離分辨性能的提高，但由于其通過頻分來實現正交，大大增加了編隊衛(wèi)星雷達系統對帶寬的要求.

為緩解上述不利因素的影響，本文提出對同一載頻、同一時寬和帶寬的線性調頻(Linear Frequency Modulation，LFM)信號在時間軸上等分成兩段，每段信號采用不同的調頻斜率進行調制，生成的新波形，稱之為雙調頻斜率(Double Frequency Slope，DFS)信號.本文首先給出了分布式星載雷達的DFS發(fā)射信號模型，重點研究了該信號的正交、分辨率以及多普勒容忍等方面的性能，推導了分布式星載雷達發(fā)射波形參數之間的關系，并提出了基于雙調頻子斜率的參數設計方法.

1 DFS發(fā)射信號模型

對同一載頻、同一時寬和帶寬的LFM信號在時間軸上二等分，并為每段信號設置各自的調頻斜率，則DFS發(fā)射信號Sm(t)可表示為

(1)

式中：m=1,2,…,M，M為衛(wèi)星的個數；kmn(n=1,2)為第m顆衛(wèi)星的兩個調頻子斜率；km0=0；Tb=T/2為各斜率分量的持續(xù)時間，T為整個發(fā)射信號的持續(xù)時間，稱各調頻子斜率分量對應的信號為DFS信號的子信號，各子信號的頻譜互不交疊，其時頻圖如圖1所示.

圖1 DFS信號時頻圖

由于所有發(fā)射信號共享同一帶寬B，因此，分布式星載雷達各衛(wèi)星信號的斜率約束條件為

(2)

2 DFS信號的性能分析

2.1 DFS信號的自相關性及距離分辨性能

由于各子信號對應的頻譜互不交疊，各子信號互不相關，DFS信號的自相關性主要由同一子帶寬下相同斜率的子信號決定.不失一般性，忽略目標的傳輸時延，則DFS信號的自相關函數為

(3)

式中，φmn(τ) =exp[j2πf0τ+j2πkm,n-1Tbτ-

當τ=0時，DFS信號的自相關達到峰值1，自相關函數的-3 dB主瓣寬度為

(4)

則對應的距離分辨率ρr為

(5)

式中c為光速.因此，DFS信號的距離分辨率由信號的總帶寬決定.然而，距離分辨性能并不僅僅關注-3 dB主瓣，還需考慮各旁瓣的影響，因為旁瓣過大會導致虛假目標產生.

由式(3)可知，DFS信號的自相關函數為兩個子信號的自相關值之和，即為兩個辛格函數的疊加.由于各子信號具有相同的時寬和不同的調頻斜率，導致它們各自的帶寬和自相關主瓣寬度也不相同.當調頻斜率差較大時，不同子信號自相關主瓣的疊加將使DFS信號的自相關主瓣展寬，當某個子信號的調頻斜率與平均調頻斜率之差增大到k/2時，該子信號的主瓣便擴展到DFS信號的第一旁瓣，隨著子信號主瓣的擴展，對DFS信號旁瓣的影響也將逐步顯著.因此，為減小調頻斜率差對主瓣的影響，在進行波形設計時，應將子信號的最小調頻斜率與平均調頻斜率(k=B/T)之差控制在k/2以內，即

(6)

因此，要使主瓣盡可能窄，旁瓣盡可能低，各子信號間的調頻斜率差應盡可能小.

那么，調頻斜率差可否降為零呢？當調頻斜率差變?yōu)榱愫?，各子信號的調頻斜率相等，從式(1)可以看出，DFS信號退變?yōu)橐粋€LFM信號，因此不再具有正交性，下面通過其互相關性進行具體分析.

2.2 DFS信號的互相關性

由于頻譜不重疊的各子信號互不相關，因此DFS信號的互相關函數僅需要考慮同一頻帶范圍內不同調頻斜率子信號的互相關值，設Cmpq為同一子帶寬內不同調頻斜率的p子信號和q子信號的互相關函數，忽略各子帶寬信號的載頻，可得

(7)

式中,Δkmpq=kmp-kmq.

CF(u2)]+j[SF(u1)-SF(u2)]}.

(8)

由式(8)可求得DFS信號互相關函數的幅度和相位分別為

(9)

根據Fresnel積分的性質，當ΔkTb2≥1時，Fresnel紋波很小，信號能量主要集中在[0,ΔkTb]或[ΔkTb,0]范圍內.隨著ΔkTb2的增大，不同調頻斜率的線性調頻信號的互相關函數越接近于矩形，能量峰值越小，互相關性能越好.因此，在大ΔkTb2值情況下，式(9)可簡化為

(10)

當任意兩顆衛(wèi)星發(fā)射的DFS信號的所有子信號調頻斜率差相等時，如衛(wèi)星m1的發(fā)射波形與衛(wèi)星m2的發(fā)射波形的所有子信號的調頻斜率差均為Δkm1m2，則衛(wèi)星m1的接收信號與自己發(fā)射波形的互相關值可表示為

(11)

為了保證不同衛(wèi)星的信號總帶寬相等，兩個發(fā)射信號的兩個子信號的斜率差會同時存在正斜率差和負斜率差，分別用Δkm1m2+和Δkm1m2-表示，兩種斜率差的互相關值在時域混疊在一起，混疊部分的互相關值為兩種斜率互相關值的和，表示為

(12)

由式(12)可知，DFS信號互相關函數的最大值由發(fā)射信號各子信號之間斜率差決定，當各子信號間的調頻斜率差越大時，匹配濾波的輸出主副比越大，來自不同衛(wèi)星的信號也越容易被區(qū)分開來.

除自相關和互相關性能外，由于正交波形往往對多普勒敏感，下面對DFS信號的多普勒敏感性進行具體分析，并推導多普勒容限.

2.3 DFS信號的多普勒敏感性分析

信號的多普勒敏感性主要是指回波信號經匹配濾波后因多普勒偏移造成峰值功率衰減的程度，它能夠容忍的最大多普勒偏移定義為多普勒容限[11].本文定義功率下降為峰值功率的一半時對應的多普勒為多普勒容限fmd.

利用模糊函數工具，從時延和多普勒頻移的角度來分析DFS信號.DFS信號Sm的模糊函數定義為

exp(j2πfdt)dt.

(13)

將式(1)代入式(13)，得DFS信號的模糊函數為

sinc[πTb(kmnτ+fd)]，|τ|≤Tb.

(14)

式中：φmn1(τ;fd)為與調頻斜率無關的相位函數，φmn2(τ;kmn)為與調頻斜率有關的相位函數，且有

φmn1(τ;fd)=exp[j2πf0τ+jπτfd]，

(15)

由于多普勒的存在，辛格信號出現峰值時的時間不再是τ=0時刻，而是τ=-fd/kmn時刻.又因為DFS信號包含兩個調頻斜率，因此不同調頻斜率對應的子信號將不能同時到達峰值，即信號的相關能量將出現衰減，下面來求多普勒容限.

根據多普勒容限的定義，我們知道，多普勒容限fmd為滿足

(16)

情況下fd的極大值.通常情況下fd?kmn，τ→0，則相位項φmn2(τ;kmn)≈1，將式(14)代入式(16)，則多普勒容限fmd可由

(17)

確定.

由于辛格函數在其自變量的負半軸為單調遞增函數，在正半軸為單調遞減函數，且其一階導數為單調遞減函數，不妨設|km1τ+fd|≥|km2τ+fd|，則

|Um(τ;fmd)|≤sinc[πTb(km2τ+fmd)].

(18)

當且僅當不等式(18)取等號時，|fd|取極大值，且fmd可通過

(19)

求解.

求解式(19)可得|fd|的極大值fmd為

(20)

Δkm=km1-km2.

由式(20)可知，在DFS信號時寬和帶寬確定的情況下，多普勒容限fmd與調頻斜率差呈反比例關系.因此，要降低DFS信號的多普勒敏感性，應使各子信號的調頻斜率差盡可能小.

3 DFS信號的參數設計

根據第2節(jié)的性能分析可知，DFS信號的互相關函數和多普勒敏感性均與調頻斜率差有關，其自相關函數與各子信號的調頻斜率有關.隨著調頻斜率差的增大，DFS信號的互相關值減小，信號間的正交性增強，然而多普勒容限卻在減小，且整個主瓣寬度在增大，自相關性能變差.因此，僅通過調頻斜率差無法解決正交性和多普勒容忍性之間的矛盾，必須結合信號的其它參數來完成DFS波形的設計.此外，第2節(jié)的性能分析都是在不同衛(wèi)星相同調頻子斜率的頻譜不重疊的基礎上得出的理論分析結果，因此在設計波形時必須保證相同調頻子斜率的頻譜不相重疊.

我們將第2節(jié)分析的DFS信號的正交性、距離分辨率和多普勒容限與信號各參數之間的關系重寫如下：

通過觀察式(21)可知，距離分辨率只與帶寬有關，因此，可通過分布式星載雷達系統對帶寬的要求計算出DFS信號的帶寬.由于目標場景的多普勒變化范圍可以通過衛(wèi)星姿態(tài)和天線指向估算出來，因此可以通過多普勒容限表達式估算出T2·Δk的取值上限.通常情況下，互相關值小于0.1(-20 dB)的多個波形之間具有準正交性，將該值代入互相關表達式，可以估算出T2·Δk的取值下限.信號的時寬可由系統的發(fā)射功率和探測距離確定，通過式(21)求出T2·Δk的上限和下限便可計算出Δk的取值范圍.最后由自相關函數的表達式和第2節(jié)的分析可知，調頻斜率差在它的取值范圍內越小越好，這樣最大調頻斜率和最小調頻斜率之差就能控制到最小，對自相關旁瓣的影響也就最小，具體設計方法如下：

步驟3：由|Cm1(τ)|≤0.1，根據互相關函數關系式計算出T2·Δk的取值下限：T2·Δk≥400(M-1)2；

圖2 DFS波形設計流程

步驟6：由公式k=B/T計算信號的平均調頻斜率，然后再由公式km1=k+m·Δk和km2=k-m·Δk確定各顆衛(wèi)星的兩個調頻子斜率，根據式(6)，Δk應滿足Δk≤k/2M；

通過上述步驟可知，要使DFS信號的各參數有解，分布式星載雷達的系統參數還需滿足

(22)

通過上述設計，便實現了分布式星載雷達發(fā)射波形的全部參數設計，上述多數參數都是以不等式的形式出現，在給出的范圍內都能滿足系統的要求，因此在實際波形設計中，各參數可在分布式星載雷達系統允許的范圍內進行取值.最后將各參數代入式(1)便能得到每顆衛(wèi)星的發(fā)射波形.DFS波形設計流程如圖2所示.

4 DFS信號的性能仿真

以衛(wèi)星數為3的分布式星載雷達系統為例，對DFS信號進行設計與性能仿真.系統參數為：衛(wèi)星的工作頻率為9.6 GHz，各衛(wèi)星的運行高度均為700 km，分辨率為1.5 m，某時刻衛(wèi)星照射場景內目標的最大多普勒頻移為10 kHz.根據第3節(jié)的設計方法對分布式星載雷達系統的波形進行設計，得到DFS信號的參數如下：信號總帶寬B為100 MHz，時寬T為96 μs，各子信號的時寬Tb為48 μs，平均調頻斜率k為1.04×1012Hz/s，調頻斜率差Δk為1.74×1011Hz/s，則各衛(wèi)星發(fā)射信號的時頻關系圖和頻譜圖分別如圖3和圖4所示.

圖3 各衛(wèi)星發(fā)射信號的時頻關系圖

圖4 各衛(wèi)星發(fā)射信號的頻譜圖

從圖3和圖4可知：通過本文方法所設計衛(wèi)星的發(fā)射波形均由兩個調頻子斜率組成，且所有衛(wèi)星的調頻子斜率均不重復，各調頻子斜率具有相同的時寬T/2，不同調頻子斜率的帶寬和占據的頻率范圍均不同.各衛(wèi)星接收信號經匹配濾波后的輸出結果以及互相關結果如圖5和圖6所示.

圖5 各衛(wèi)星接收信號的匹配濾波輸出

圖6 各衛(wèi)星接收信號的互相關輸出

從圖5可以看出，由于目標的最大多普勒值10 kHz遠小于多普勒容限fmd=1.772B/T2·Δk=1.1×105Hz，因此，各衛(wèi)星的匹配濾波峰值基本不受多普勒的影響，得到較為理想的相關峰.從圖6可知，各衛(wèi)星接收信號的互相關輸出均小于0.1，達到了正交性的設計要求.

通過上述仿真可知，利用本文方法設計的編隊衛(wèi)星雷達的發(fā)射波形可以滿足系統參數的要求.

5 結 論

本文通過對LFM信號進行分段調制，提出了雙調頻斜率信號波形，該波形將LFM信號在時間軸上等分成兩段，并對每段信號采用不同的調頻斜率進行分段調制而成.本文首先建立了DFS信號模型，研究了該波形的自相關性、距離分辨率、互相關性以及多普勒敏感性，重點分析了調頻斜率差對其正交性和多普勒敏感性的影響，得到了信號參數之間的關系式，并提出了基于雙調頻斜率的波形參數設計方法.經研究，通過設計不同的調頻斜率組合，可以使多個DFS信號間具有準正交性，同時通過本文方法設計的DFS信號具有較低的多普勒敏感性，可以滿足分布式星載雷達系統對波形正交性和多普勒敏感性的要求.

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