多層印制電路板邊緣輻射的一種精確計(jì)算方法

胡玉生 溫舒樺 范 峻

(1.集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，福建 廈門 361021；2.北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院，北京 100876；3.EMC Laboratory，Missouri University of Science and Technology， Rolla， MO 65409， USA)

引 言

多層印制電路板(Printed Circuit Board,PCB)的電源分布網(wǎng)絡(luò)，即電源/地(Power/Ground,P/G)平面形成了平行板諧振結(jié)構(gòu)，當(dāng)P/G平面的尺寸與波長(zhǎng)相比擬時(shí)會(huì)從電源/地平面邊緣產(chǎn)生顯著的電磁波輻射干擾.

文獻(xiàn)[1-3]等采用腔模理論研究了矩形PCB的輻射發(fā)射問(wèn)題，文獻(xiàn)[4-5]等采用時(shí)域有限差分(Finite-Difference Time-Domain,FDTD)全波分析方法對(duì)PCB的輻射發(fā)射進(jìn)行了建模分析，F(xiàn)DTD法雖適宜解決復(fù)雜模型，但網(wǎng)格離散數(shù)量龐大，計(jì)算十分耗時(shí)，占用計(jì)算機(jī)資源較多.文獻(xiàn)[6-9]采用邊界積分方程法研究了電源/地平面上多過(guò)孔之間的耦合關(guān)系或電源/地平面的輻射發(fā)射.由于電源/地平面的輻射只需計(jì)算周圍邊界的場(chǎng)分量，基于邊界離散的積分方程法或邊界元法具有突出的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算效率高，且可應(yīng)用于任意形狀的PCB.

目前關(guān)于電源/地平面輻射發(fā)射的研究大多是在過(guò)孔處施加假設(shè)的電流作為激勵(lì)源，未能準(zhǔn)確評(píng)估PCB實(shí)際的輻射場(chǎng).本文的貢獻(xiàn)在于通過(guò)場(chǎng)路結(jié)合的計(jì)算方法獲得了精確的輻射發(fā)射激勵(lì)電流，從而可精確預(yù)測(cè)PCB的輻射值.

1 電源/地平面場(chǎng)分布的邊界元算法

多層印制電路板的一對(duì)P/G平面結(jié)構(gòu)如圖1所示.電源層和地層均為厚度很小的導(dǎo)體，間距為h，填充介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為εr，損耗正切為tanδ.P/G平面上通常含有若干過(guò)孔，為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，本文中的模型僅包含一個(gè)信號(hào)過(guò)孔.輻射發(fā)射由P/G平面四周的邊緣場(chǎng)產(chǎn)生，信號(hào)過(guò)孔耦合到P/G平面的電流為輻射發(fā)射的激勵(lì)電流.

圖1 電源/地平面的結(jié)構(gòu)

P/G平面的間距h與波長(zhǎng)相比很小，可以認(rèn)為電磁場(chǎng)沿厚度方向沒(méi)有變化，Hz=Ex=Ey=0，場(chǎng)分布只有沿z方向的電場(chǎng)分量Ez以及xy平面上的磁場(chǎng)分量Hx和Hy，移去過(guò)孔后圖1中的三維結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為一個(gè)二維問(wèn)題.邊界元法的計(jì)算模型及邊界離散見(jiàn)圖2.P/G平面間的場(chǎng)分布控制微分方程為亥姆霍茲方程，即

(1)

式中：u=Ez；k為傳播常數(shù)，考慮介質(zhì)損耗，

(2)

圖2 邊界元計(jì)算模型及邊界離散圖

設(shè)在地平面上電流I+從反焊盤邊緣向四周擴(kuò)散，在電源平面上對(duì)應(yīng)的返回電流I-從四周向反焊盤邊緣匯聚.設(shè)地平面上表面的電流密度為i(ix，iy)，單位法向量為ng(見(jiàn)圖1)，根據(jù)i=ng×H可求出磁場(chǎng)與電流密度的關(guān)系為：

Hy=-ix；Hx=iy.

(3)

設(shè)電源平面下表面的單位法向量為np，對(duì)電源平面也可得到與式(3)相同的結(jié)果.P/G平面的介質(zhì)內(nèi)無(wú)電流，但反焊盤處的磁場(chǎng)可等效為激勵(lì)電流，激勵(lì)電流與磁場(chǎng)的關(guān)系滿足關(guān)系式(3).

由麥克斯韋第一方程

(4)

得:

(5)

(6)

式中：μ為磁導(dǎo)率；ω為角頻率.令圖2中反焊盤邊界外法線方向?yàn)閚，由于

(7)

(8)

將式(3)、(5)、(6)代入式(7)、(8)，得

(9)

式中：ax、ay分別為x、y方向的單位向量；in為反焊盤處沿外法向量n的電流密度in′，而給定的實(shí)際電流密度為沿反焊盤內(nèi)法向量的in′=-in，因而反焊盤處的邊界條件為

(10)

在電源/地平面的外周邊界，因無(wú)電流流出，in=0，為磁壁邊界條件為

(11)

控制方程(1)及邊界條件(9)、(10)構(gòu)成了模型的邊值問(wèn)題.根據(jù)邊界元法可推導(dǎo)出邊界上任一點(diǎn)i的電場(chǎng)ui可表示為邊界上的積分方程

(12)

式中：S為積分邊界；q=?u/?n；ci=1-θ/(2π)，θ是i點(diǎn)處的平面角；u*為自由空間的格林函數(shù)，u*、q*分別給定如下[10]：

(13)

(14)

采用線性元法將場(chǎng)域邊界離散為N個(gè)元素，式(12)寫(xiě)成離散形式為

(15)

對(duì)N個(gè)單元最終可形成N個(gè)方程組，代入邊界條件可求得邊界上各節(jié)點(diǎn)的Ez值.電源/地平面四周表面的等效磁流密度Ms與電場(chǎng)Ez的關(guān)系為

Ms=-ns×Ez.

(16)

式中，ns為電源/地平面四周表面的單位法向量.

2 輻射場(chǎng)的計(jì)算

忽略P/G平面厚度的影響，Ms產(chǎn)生的電矢位F為

(17)

圖3 等效磁流輻射發(fā)射的幾何關(guān)系

式中：R是P/G平面周圍邊界上的任一點(diǎn)到觀察點(diǎn)的距離；C是整個(gè)周邊積分邊界； dl′是積分微元.等效磁流輻射發(fā)射的幾何關(guān)系見(jiàn)圖3.設(shè)任一單元k內(nèi)的磁流密度Msk為定值，Msk取為其節(jié)點(diǎn)k和k+1的磁流密度的平均值.當(dāng)單元尺寸很小時(shí)，可忽略單元內(nèi)各點(diǎn)到空間觀察點(diǎn)P(x，y，z)產(chǎn)生的相位差，因而單元k內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)P的距離可近似為單元中心點(diǎn)(x′，y′，0)到P點(diǎn)的距離，即

(18)

在直角坐標(biāo)系中，將Msk分解為x、y分量Mxk和Myk，對(duì)應(yīng)的電矢位分別為Fxk和Fyk，單元長(zhǎng)度在x、y方向的投影分別令為Δx′、Δy′.

式(17)電矢位的離散形式可寫(xiě)為

(19)

(20)

由以下公式將電矢位由直角坐標(biāo)變換為球坐標(biāo):

Fθ=Fxcosθcosφ+Fycosθsinφ;

(21)

Fφ=-Fxsinφ+Fycosφ.

(22)

輻射電場(chǎng)為電矢位F的旋度，即

(23)

由于遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)可視為沿r向傳播的橫電磁波，可由平面波場(chǎng)的簡(jiǎn)化算法直接得出[11]

(24)

式中，ar、aθ、aφ是球坐標(biāo)系中的單位矢量.因而

(25)

(26)

總電場(chǎng)強(qiáng)度輻值|E|為

(27)

3 輻射發(fā)射激勵(lì)電流的計(jì)算方法

以圖4為例，對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單四層電路板結(jié)構(gòu)進(jìn)行闡述，電路板上有一個(gè)信號(hào)過(guò)孔，并與一個(gè)簡(jiǎn)單的外部電路相連.四層板的頂層和底層為信號(hào)層，第二層為電源層，第三層為地層.信號(hào)電流從頂層通過(guò)過(guò)孔傳送到底層.頂層和底層信號(hào)電流的返回路徑分別為第二層上表面和第三層下表面；過(guò)孔電流的返回路徑為P/G平面[12].

圖4 一個(gè)四層電路板結(jié)構(gòu)及返回電流路徑

(28)

式中，Ia為反焊盤處施加的已知電流.

忽略損耗，過(guò)孔段可采用一節(jié)LC等效π模型集總電路表示，其與外部電路連接形成完整的整體電路.圖4所示電路結(jié)構(gòu)的等效SPICE模擬程序電路模型見(jiàn)圖5.經(jīng)電路仿真可求得流經(jīng)Zpp的電流，亦即輻射發(fā)射的激勵(lì)電流Ihole，然后以激勵(lì)電流Ihole為反焊盤處的邊界條件通過(guò)邊界元法求得P/G平面邊緣的場(chǎng)分布，進(jìn)而求得遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng).

圖5 過(guò)孔轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的等效電路模型及整體電路

4 計(jì)算結(jié)果

圖4所示電路實(shí)例的結(jié)構(gòu)尺寸見(jiàn)圖6，PCB長(zhǎng)40 mm，寬20 mm；位于頂層和底層的走線長(zhǎng)度均為15 mm；信號(hào)源內(nèi)阻及負(fù)載阻抗均為50 Ω，走線的特性阻抗亦令為50 Ω；信號(hào)過(guò)孔位于PCB板的中心，過(guò)孔直徑為20 mil(1 mil=0.025 4 mm)，反焊盤直徑為80 mil；電源層和地層的間距h=1.4 mm，走線距離電源層和地層均為0.5 mm，走線寬10 mil；PCB板間介質(zhì)材料為FR4，相對(duì)介電常數(shù)為εr=4.5，損耗正切tanδ=0.02.

頂層和底層走線呈微帶線結(jié)構(gòu)，分別用一節(jié)Γ型集總電路表示.根據(jù)Zpp呈容性或感性，Zpp用電容Cpp或電感Lpp代替，Cpp=1/(ωZpp)，Lpp=Zpp/ω.則圖6的PCB電路轉(zhuǎn)化為圖7的電路模型.

(a) 俯視圖

(b) 俯視圖圖6 計(jì)算實(shí)例的結(jié)構(gòu)尺寸(單位：mm)

圖7 計(jì)算實(shí)例的SPICE整體電路模型

過(guò)孔與P/G平面的電容采用采用軸對(duì)稱有限元法計(jì)算[15]，得過(guò)孔的總電容Ctotal=0.213 pF，將該總電容分配給過(guò)孔π模型電路的電容C2、C3，C2=C3=Ctotal/2=0.106 5 pF.設(shè)過(guò)孔單位長(zhǎng)度的電容和電感分別為c和l，則c=Ctotal/h=0.152 nF/m，由

(29)

得l=32.9 μH，其中v為相速度，v0=3×108m/s.從而可得過(guò)孔π模型中的電感L2=lh=4.144 7 nH.

計(jì)算得走線單位長(zhǎng)度的電容、電感分別為：c=94.1 pF/m、l=0.532 μH，則走線的總電容為C1=C4=94.1×0.015 pF=1.41 pF，走線的總電感為L(zhǎng)1=L3=0.532×0.015 μH=7.98 nH.

計(jì)算頻率從10 MHz到5 GHz，步長(zhǎng)為10 MHz，采用邊界元法計(jì)算得反焊盤處的Zpp曲線見(jiàn)圖8.在圖8中相位為-90°的頻率處Zpp呈容抗，相位為+90°的頻率處Zpp呈感抗.在1.33 GHz、4.16GHz處為諧振頻率點(diǎn)，Zpp有極小值；在3.55 GHz處為反諧振頻率點(diǎn)，Zpp有極大值.

(a) Zpp的輻值

(b) Zpp的相位圖8 不同頻率時(shí)的Zpp

圖9 電源/地平面反焊盤處的返回電流

圖10 距PCB板10 m處不同頻率的最大輻射場(chǎng)強(qiáng)

(a) 1 GHz

(b) 3.55 GHz圖11 電源/地平面的輻射方向圖

由Zpp及圖7電路可計(jì)算出不同頻率時(shí)流經(jīng)P/G平面反焊盤處的返回電流Ihole.設(shè)交流信號(hào)源的輻值為5 V，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖9，由圖9可知，在500 MHz附近Ihole最大，隨頻率提高返回電流逐漸下降，當(dāng)頻率為3～5 GHz，Ihole將保持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定值.

由激勵(lì)電流Ihole計(jì)算得離PCB板10 m處不同頻率時(shí)的最大輻射場(chǎng)強(qiáng)見(jiàn)圖10.由圖10可以看出，在頻率較低的頻段盡管激勵(lì)電流較大，但輻射值相對(duì)較小，隨頻率提高輻射值逐漸增加;在3.55 GHz的反諧振點(diǎn)處突變到極大值.1 GHz和3.55 GHz的輻射方向圖見(jiàn)圖11.采用Ansys電磁場(chǎng)有限元全波分析軟件進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果基本吻合.

5 結(jié) 論

將過(guò)孔轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的等效物理電路模型與外部電路組成整體電路，通過(guò)電路仿真可獲得多層印制電路板電源/地平面精確的輻射發(fā)射激勵(lì)電流.采用邊界元法對(duì)電源/地平面的邊緣場(chǎng)分布及反焊盤處返回電流的阻抗進(jìn)行分析，可顯著減少單元離散數(shù)量，計(jì)算效率和計(jì)算精度高，特別適宜處理精細(xì)的過(guò)孔等結(jié)構(gòu).計(jì)算結(jié)果表明，在反諧振頻率處輻射場(chǎng)有極大值，其原因是在反諧振頻率處信號(hào)返回路徑阻抗最大，電流返回路徑受到阻斷，因而輻射場(chǎng)大幅增加.采用全波分析的電磁場(chǎng)有限元軟件對(duì)本文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.場(chǎng)路結(jié)合的方法便于與現(xiàn)有電路設(shè)計(jì)分析軟件集成，是分析多層PCB輻射發(fā)射的一種有效方法.

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