用高斯定理推導(dǎo)共線電荷系的電場線方程

姚曉玲 譚德宏 朱 霞 陳俊斌

（后勤工程學(xué)院基礎(chǔ)部，重慶 401311）

電場線是形象描述電場分布的系列曲線.電場線的形狀可以通過實(shí)驗(yàn)顯示，也可以通過模擬實(shí)驗(yàn)畫出，還可以采用計(jì)算機(jī)編程的方法繪制如文獻(xiàn)［1］，當(dāng)然更精確的描述是先求出場線方程，再根據(jù)場線方程繪制電場線圖，文獻(xiàn)［2～4］介紹了一種用高斯定理推導(dǎo)共線電荷系電場線方程的方法，但是過程較簡略，文獻(xiàn)［2，3］只以高斯面內(nèi)無電荷的情況得出電場線公式，文獻(xiàn)［4］沒有說明高斯面的選擇，本文將共線電荷系電場線方程的推導(dǎo)過程補(bǔ)充完善，并對幾種典型的共線系的電場線用Mathematica軟件進(jìn)行了繪制.

1 電場線方程的推導(dǎo)

取電荷分布的直線為x 軸，設(shè)電荷qi的位置坐標(biāo)為xi，由于電荷只沿x 軸分布，所以電場關(guān)于x 軸旋轉(zhuǎn)對稱.在xOy 平面上取一條電場線L，在曲線L 上取點(diǎn)P，過P 點(diǎn)作到x 軸的垂線1，在曲線L 上另取點(diǎn)P′，過P′點(diǎn)作到x 軸的垂線2，如圖1所示，將曲線L 與垂線1和垂線2圍成的部分繞x 軸旋轉(zhuǎn)，形成一個對稱的封閉曲面，取為高斯面，如圖1 所示.曲線L 的旋轉(zhuǎn)曲面為電場線管，沒有電通量通過，垂線1旋轉(zhuǎn)成圓平面P，垂線2旋轉(zhuǎn)成圓平面P′，取高斯面的外法線方向?yàn)檎?圓平面P 與圓平面P′的正方向相反.

圖1 電場線管及高斯面

設(shè)電荷qi與P 點(diǎn)的連線與x 軸所夾的角度為θi；電荷qi與P′點(diǎn)的連線與x 軸所夾的角度為θ′i.

圖2 電荷與平面的位置關(guān)系

以下以兩個電荷為例，推導(dǎo)電場線方程，設(shè)兩個電荷的電荷量分別為q1、q2，位于坐標(biāo)x 軸上的位置坐標(biāo)分別為x1和x2.

（1）高斯面內(nèi)不包含電荷

當(dāng)x＞x2，x′＞x，如圖3所示，高斯面內(nèi)不含電荷，由高斯定理有

圖3 電荷與高斯面的位置關(guān)系1

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

x＜x1，x′＜x 時，如圖4所示，高斯面內(nèi)不含電荷，由高斯定理有

圖4 電荷與高斯面的位置關(guān)系2

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

（2）高斯面內(nèi)包含一個電荷q

當(dāng)x1＜x＜x2，x′＞x2，如圖5所示，高斯面內(nèi)含有電荷q2，由高斯定理有

圖5 電荷與高斯面的位置關(guān)系3

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

當(dāng)x1＜x＜x2，x′＜x2，如圖6所示，高斯面內(nèi)

圖6 電荷與高斯面的位置關(guān)系4

含有電荷q1，由高斯定理有

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

（3）高斯面內(nèi)包含兩個電荷q1，q2

當(dāng)x＜x1，x′＞x2，如圖7所示，高斯面內(nèi)含有電荷q1，q2由高斯定理有

圖7 電荷與高斯面的位置關(guān)系5

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

所以無論在取的高斯面內(nèi)有無電荷，最后的表達(dá)式是一樣的.即

q1cosθ1＋q2cosθ2＝常量C

或者寫為

這就是電場線L 上的點(diǎn)滿足的方程，即電場線方程.

該式推廣到直線分布的分離電荷系有電場線方程：

連續(xù)分布的電荷系有電場線方程

2 典型共線電荷系的電場線方程

（1）電偶極子

將電場線方程應(yīng)用于位于－a 處的電荷－q與位于a 處電荷q 的電偶極子，得到電偶極子的電場線方程

計(jì)算機(jī)根據(jù)此方程繪制出的電場線如圖8所示.

圖8 電偶極子的電場線

（2）直線電四極子

將電場線方程應(yīng)用于位于－a 處的電荷－q，位于0處電荷2q，位于a 處電荷－q 的直線電四極子，得到直線電四極子的電場線方程為

計(jì)算機(jī)根據(jù)此方程繪制出的電場線如圖9所示.

圖9 直線電四極子的電場線

（3）直線分布的帶電桿

將電場線方程應(yīng)用于電荷線密度為λ，長度為a的帶電直桿，得到帶電直桿的電場線方程為

積分后得到

計(jì)算機(jī)根據(jù)此方程繪制出的電場線如圖10所示.

圖10 帶電直線桿的電場線

［1］李元杰，陸果.大學(xué)物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2003：125－126.

［2］黃瑩，王云英.電磁學(xué)原理在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用［M］.北京：兵器工業(yè)出版社，1998：23－26.

［3］張福恒.兩類電荷分布系統(tǒng)的電場線方程［J］.海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，22（1）：35－38.

［4］昊勝杳，張靖儀.共線電荷系的場線方程及場強(qiáng)［J］.廣東石油化工高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1997，7（1）：56－58.