張光俊
(金陽縣雙龍壩中學(xué),四川 金陽 616253)
質(zhì)數(shù)p在正整數(shù)n中的最高指數(shù)
張光俊
(金陽縣雙龍壩中學(xué),四川 金陽 616253)
給出了質(zhì)數(shù)p在正整數(shù)n中的最高指數(shù)p(n)的定義,討論了p(n)的性質(zhì),并給出了在整數(shù)的整除性方面的一個應(yīng)用.
質(zhì)數(shù);正整數(shù);最高指數(shù);整除
在文[1]P102中有如下定理:
定理A中[x]是實數(shù)x的取整函數(shù),即[x]是不超過x的最大整數(shù).易知[x]有如下性質(zhì):對任一實數(shù)x及任一正整數(shù)n都有[nx]≥n[x].
另外,定理A中采用了符號p(n!)來表示素數(shù)(質(zhì)數(shù))p在n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中的最高指數(shù),這樣有pp(n!)|n!,但 pp(n!)+1n!.又由文[2]P88頁腳“恰整除”的概念知p(n!)恰整除n!.仿此我們引入質(zhì)數(shù)p在正整數(shù)n中的最高指數(shù)p(n)的定義,并研究其性質(zhì).
定義 設(shè)p是質(zhì)數(shù),n正整數(shù),r是非負(fù)整數(shù),如果pr|n,但pr+1n,則稱r是p在n中的最高指數(shù),簡稱為p在n中的指數(shù),記為p(n).
因此,定理A中p(n!)就是質(zhì)數(shù)p在n!中的指數(shù).結(jié)合文[2]P21的定理,定理A即為
定理Aˊ質(zhì)數(shù)p在n!中的指數(shù)為
由定義,對于給定的質(zhì)數(shù)p,p(n)是定義在一切正整數(shù)n上的一個非負(fù)整數(shù)函數(shù).若pn,由p0| n,則p(n)=0.若p|n,則n>1,設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為
故p等于某一個且是唯一的一個pj(1≤j≤k),由Pjαj
|n,p1,p2,…,pk是互異質(zhì)數(shù),故,從而p(n)=pj(n)=αj.因此對任一正整數(shù)n總可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)分解式為
定理1設(shè)p是質(zhì)數(shù),n是正整數(shù),r是非負(fù)整數(shù),則p(n)=r的充要條件是:存在整數(shù)a使n=pra且pa.
證明:若p(n)=r,則pr|n,且pr+1n,所以存在唯一的正整數(shù)a使n=pra.如果p|a,設(shè)a=pb(b∈Z),n=prpb=pr+1bpr+1|n,矛盾.故pa.
若存在整數(shù)a使n=pra且pa,則pr|n.如果pr+1|n,設(shè)n=pr+1b(b∈Z),則pr+1b=prapb=ap|a,矛盾.故pr+1n,從而p(n)=r.
推論設(shè)p是質(zhì)數(shù),n是正整數(shù),則存在唯一的正整數(shù)a使n=pp(n)a且pa.
證明:由定理1,存在整數(shù)a使n=pp(n)a且pa,顯然a>0,又由帶余除法知,整數(shù)a是唯一的.
定理2設(shè)p是質(zhì)數(shù),m,n是正整數(shù),則p(mn) =p(m)+p(n).
證明:由定理1的推論可設(shè)m=pp(m)a,pa,n=pp(n)b,pb,則mn=pp(m)+p(n)ab.如果p|ab,由p是質(zhì)數(shù)得p|a或p|b,矛盾.故pab,由定理1有p(mn)=p (m)+p(n).由定理2易得下面兩個推論(證明略).
推論1設(shè)p是質(zhì)數(shù),n1,n2,…,nk∈Z+,則
推論2設(shè)p是質(zhì)數(shù),k,n∈Z+,則p(nk)=kp(n).
定理3設(shè)p是質(zhì)數(shù),m,n是正整數(shù),且m|n,則
證明:因m,n∈Z+,且m|n,則n∈Z+,由定理m 2有
定理4設(shè)p是質(zhì)數(shù),若n∈Z+是一個k次方數(shù)(即存在a∈Z+,使ak=n),則k|p(n)且p(n).
1
證明:因n∈Z+是一個k次方數(shù),則nk∈Z+,由定理2的推論2有
證明:設(shè)小于等于n的質(zhì)數(shù)共k個,這k個質(zhì)數(shù)為p1,p2,…,pk,則n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為
定理6設(shè)m,n∈Z+,p(m,n)是質(zhì)數(shù)p在最大公因數(shù)(m,n)中的指數(shù),p[m,n]是質(zhì)數(shù)p在最小公倍數(shù)[m,n]中的指數(shù),則
證明:(1)設(shè)m,n的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為
則
其中γi=min{pi(m),pi(n)},δi=ma x{pi(m),pi(n)},1≤i≤k.若p是某一pi,則
若p不同于p1,p2,…,pk,則
p(m,n)=0=p(m)=p(n)=p[m,n],結(jié)論顯然成立.
(2)若p(m)≤p(n),則min{p(m),p(n)}=p (m),ma x{p(m),p(n)}=p(n),由(1)有
p(m,n)+p[m,n]=min{p(m),p(n)}+ma x{p (m),p(n)}=p(m)+p(n).
若p(m)≥p(n),則min{p(m),p(n)}=p(n),ma x{p(m),p(n)}=p(m),結(jié)論仍成立.
定理7設(shè)m,n∈Z+,則m|n的充要條件是對任一質(zhì)數(shù)p都有p(m)≤p(n).
證明:設(shè)m,n的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為則
設(shè)m|n,若p是某一pi,則由(*)已有p(m)≤p (n);若p不同于p1,p2,…,pk,則p(m)=0=p(n).
設(shè)對任一質(zhì)數(shù)p都有p(m)≤p(n),則對質(zhì)數(shù)pi有pi(m)≤pi(n)(1≤i≤k),由(*)有m|n.
定理8質(zhì)數(shù)p在正整數(shù)n中的指數(shù)為
證明:因(n-1)!|n!,由定理7及定理Aˊ得
下面舉一例來看定理7在整數(shù)的整除性方面的一個應(yīng)用.
例 證明(n!)(n-1)!整除(n!)!.
證明:設(shè)p為任一質(zhì)數(shù),則
所以p((n!)(n-1)!)≤p((n!)!),由定理7有(n!)(n-1)!|(n!)!.
京:高等教育出版社,1988.
[2]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[1]余元希,田萬海,毛宏德.初等代數(shù)研究(上冊)[M].北
TheMostSignificantofPrimeNumberp in Positive Integern
Z H A N G G uang j un
(J inyang C ounty S huanglong D am M iddle S chool,J inyang S ichuan616253)
I n this paper,themost signif icant p(n)of prime number pina positi v e integer n is defined,thenaturesof p(n)arediscussed,andanappl ication isgi v en in the integer di v isibleaspects.
P rime N umber;P ositi v e I nteger;M ost S ignif icant;D i v isible
O156.1
A
1672-2094(2013)01-0151-03
責(zé)任編輯:張隆輝
2012-12-28
張光?。?982-),男,四川隆昌人,金陽縣雙龍壩中學(xué)二級教師。