關(guān)聯(lián)函數(shù)在小微金融中的應(yīng)用

□文/孫 靜

（天津大學管理與經(jīng)濟學部 天津）

在“高信用風險、高人工成本”的小微企業(yè)貸款業(yè)務(wù)中，如何降低不良貸款率是小微金融能否持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵之一。降低不良貸款率的核心在于如何從眾多小微企業(yè)中甄選出優(yōu)質(zhì)客戶。本文根據(jù)實際操作經(jīng)驗，選取對于貸款發(fā)放影響最大的四個指標，首次將多元統(tǒng)計中的copula方法綜合評價小微企業(yè)貸款能力，定量給出申請者排名，為銀行相關(guān)決策者提供借鑒和幫助。

一、copula簡介

隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)是刻畫隨機向量概率性質(zhì)的最好工具之一，分布函數(shù)是對變量變化規(guī)律的精確描述。在實際應(yīng)用中，都要假定變量服從某一分布，正態(tài)分布是最常用的分布，其原因是現(xiàn)有的許多定理及結(jié)論都是與正態(tài)分布有關(guān)。尤其是大數(shù)定律及中心極限定理更是奠定了正態(tài)分布在概率統(tǒng)計中的重要地位。然而研究表明，在對諸如股票、匯率等金融變量進行分析時，假設(shè)這些變量服從正態(tài)分布并不合適。copula函數(shù)著眼于具有非線性特征的變量間的相互關(guān)系，對變量的相關(guān)性建立模型。copula函數(shù)最大的優(yōu)點是把隨機變量的邊緣分布和它們之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系分開研究，使得研究過程更加清晰，方法更加靈活。

Copula理論是由Sklar在1959年提出，Sklar指出，可以將任意一個n維聯(lián)合累積分布函數(shù)分解成n個邊緣累積分布和一個copula函數(shù)。邊緣分布描述變量自身特征，copula函數(shù)描述變量之間相關(guān)性。任意邊緣分布和任意copula都可以組合成一個嶄新的多維聯(lián)合累積分布函數(shù)，大大擴展了多元分布類型。

常見的 copula有 Gauss Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula 和 Frank copula。其中，Gauss Copula為：

其中，φ為一元標準正態(tài)分布，p∈（－1，1）。CGa事實上是邊際分布為標準正態(tài)分布。諸多研究表明，在數(shù)據(jù)的中間部分，模擬CGa與實際數(shù)據(jù)吻合較好，但在尾部差別相當明顯，當要度量尾部風險相依性時，橢圓族的高斯Copula是無能為力的。

Gumbel Copula的密度函數(shù)具有非對稱性，上尾高下尾低，其密度分布呈“J”字型。Gumbel Copula函數(shù)上尾的相關(guān)性較強，可用于描述在上尾處具有較強相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象。收益率呈左偏分布時，多用Clayton Copula去描述相關(guān)關(guān)系。Gumbel Copula函數(shù)的分布函數(shù)為：

Clayton Copula函數(shù)的分布函數(shù)為：

Clayton Copula的密度函數(shù)同樣具有非對稱性，上尾低，下尾高，其密度分布呈“L”字型。Clayton Copula函數(shù)下尾的相關(guān)性較強，可用于描述在下尾處具有較強相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象。收益率呈右偏分布時，多用Clayton Copula去描述相關(guān)關(guān)系。Frank Copula函數(shù)的分布函數(shù)為：

二、以累積概率分布函數(shù)標準化貸款指標

根據(jù)個人工作經(jīng)驗，選擇婚姻狀況、已有額度、資產(chǎn)合計、從事行業(yè)II四個指標作為申請人貸款能力綜合評價指標體系。四個指標中已有額度和資產(chǎn)合計是數(shù)值型變量，而婚姻狀況和從事行業(yè)II是分類變量。22個申請樣本中已婚者最多有15人，離異6人，只有1人未婚。從事行業(yè)II總共13個因素水平，最多的行業(yè)有3個樣本。22個申請人中有一部分是以前沒有在民生銀行貸過款的新客戶。而資產(chǎn)合計有2個申請人的資產(chǎn)遠超于其他人，達到6，000多萬元和8，000多萬元。

評價的第一步需要將指標標準化，剔除不同指標量綱的影響，一般標準化到［0，1］區(qū)間或者［-1，1］區(qū)間。標準化方法很多，理論上只要值域是［0，1］區(qū)間的函數(shù)都可以作為標準化函數(shù)。但有時需要考慮標準化函數(shù)的實際含義，選擇比較簡單的函數(shù)。

婚姻狀況和從事行業(yè)II分類變量可以看成離散分布，標準化數(shù)值可取離散分布的經(jīng)驗分布函數(shù)。已婚和離異對于授信額度沒有差別，但是未婚者授信額度較低。將未婚者標準化為0.3，已婚和離異者標準化為0.9。同樣對于從事行業(yè)II，個人經(jīng)驗表明，建材＞交通運輸設(shè)備＞服務(wù)＞儀器儀表＞家具＞醫(yī)藥、醫(yī)療設(shè)備＞日用品＞金屬，剩下的服裝、器材、食品、飲料和專用設(shè)備看成和基準行業(yè)服務(wù)一樣。授信能力越強的行業(yè)，賦予其值也大。

假設(shè)已有額度和資產(chǎn)合計服從伽瑪分布，其形狀參數(shù)和尺度參數(shù)可以采用極大似然估計。兩者的Kolmogorov-Smirnov檢驗結(jié)果如表所示，兩者相伴概率都大于0.05，接受原假設(shè)，認為已有額度和資產(chǎn)合計兩個指標服從伽瑪分布。取伽瑪分布參數(shù)為極大似然估計值，指標標準化值為累積分布函數(shù)值。

三、copula評價結(jié)果

Copula 種類很多，如正態(tài)、t、阿基米德、混合等等，不同生成元函數(shù)的阿基米德Copula各不相同。到底哪一種Copula適合數(shù)據(jù)，這是一個普遍問題。由于Copula種類太多，我們不可能在所有類型中選取，而只能在很小一部分Copula中選取。要想比較優(yōu)劣，必須制定統(tǒng)一準則，計算不同Copula準則得分，取最大或者最小得分者為最優(yōu)Copula。這就是Copula擬合優(yōu)度檢驗問題。目前已有Copula擬合優(yōu)度檢驗方法包括基于概率積分變換的擬合優(yōu)度檢驗、基于核密度估計的擬合優(yōu)度檢驗、基于卡方擬合優(yōu)度檢驗、基于生成元核密度的擬合優(yōu)度檢驗等。R語言的Copula宏包提供了一種基于經(jīng)驗Copula的擬合優(yōu)度檢驗。

選擇五種常見的Copula，正態(tài)Copula、t Copula、gumbel Copula、frank Copula和clayton Copula，其中正態(tài)和t Copula 屬于橢球型 Copula，gumbel、frank和clayton屬于阿基米德Copula。橢球型Copula方差矩陣（dispersionmatrix）含有較多參數(shù)，對于Copula，方差矩陣也稱作相關(guān)矩陣（correlationmatrix），決定變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。方差矩陣通常有以下幾種形式：1階自回歸（autoregressive of order 1）、可交換（exchangeable）、Toeplitz和一般形式。

采用R語言基于經(jīng)驗Copula的擬合優(yōu)度檢驗。由于t Copula和gumbel計算時間過長，改用基于乘子中心極限定理方法，其他Copula采用參數(shù)自助法。假設(shè)邊緣分布為連續(xù)分布，這是該檢驗方法的基本前提。連續(xù)分布出現(xiàn)兩個相同的值概率為零，如果樣本中存在兩個相同的值，就會影響最后相伴概率的計算。如果相伴概率都小于0.05，拒絕原假設(shè)，認為不服從該copula。在5種Copula中，只有t Copula對應(yīng)的相伴概率大于0.05，認為t Copula最適合本文貸款數(shù)據(jù)。

計算22個樣本標準化數(shù)據(jù)對應(yīng)t copula的概率分布函數(shù)值，作為綜合評價值，所得排名與他們授信額度基本吻合，授信額度大的申請人排名都比較靠前，只有21號樣本申請人授信額度400萬元，但是排名最靠后。查閱此人申請資料，發(fā)現(xiàn)此人屬于跟其他2個申請人一起聯(lián)合擔保，每人400萬元額度。其他2人實力很強，但是此人本身經(jīng)濟實力較為一般。貸款額度最小的7號84萬元和22號申請人95萬元排名都非?？亢螅f明基于copula的綜合評價確實能反映申請人的銀行貸款能力。

四、總結(jié)

本文根據(jù)個人工作經(jīng)驗，最終選擇婚姻狀況、已有額度、資產(chǎn)合計、從事行業(yè)II四個指標作為申請人貸款能力綜合評價指標體系。首次將多元分布copula方法引入綜合評價，得到各貸款申請人能力排名，為銀行發(fā)放貸款提供一定的支持和參考。

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