對(duì)稱振子阻抗特性分析

劉建廠 張秀強(qiáng)

（海司信息化部，北京100841）

引 言

天線在艦艇無(wú)線通信中起著重要作用，艦艇由于空間狹小，使用尺寸合適的線天線具有實(shí)際意義，研究對(duì)稱振子是研究線天線的基礎(chǔ).天線參數(shù)有很多，輸入阻抗是天線的重要參數(shù)，只有知道了天線的輸入阻抗，才可以選取合適的饋電傳輸線與其連接［1-2］.

用解析方法嚴(yán)格求解天線的輸入阻抗是很困難的，因?yàn)槭紫缺仨殰?zhǔn)確計(jì)算天線上的電流分布.在工程應(yīng)用中，對(duì)于對(duì)稱振子天線，經(jīng)常使用一些近似方法，如坡印廷矢量法、等效傳輸線法和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法等，但這些近似方法比較適用于細(xì)振子天線，對(duì)于直徑較大的振子，誤差較大，此時(shí)，比較準(zhǔn)確計(jì)算對(duì)稱振子的輸入阻抗只能使用數(shù)值計(jì)算方法，如矩量法、時(shí)域有限差分法和有限元法［3］等.矩量法在天線數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，求解過(guò)程簡(jiǎn)單，步驟統(tǒng)一，一般情況下，可以給出在實(shí)驗(yàn)誤差精度內(nèi)的結(jié)果.

分析了前面提到的3種近似方法，重點(diǎn)是等效傳輸線法［3-6］.對(duì)解析方法——海倫積分法［1，5，7-8］求解對(duì)稱振子輸入阻抗的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了研究，并與矩量法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，最后計(jì)算了邊靠邊不等長(zhǎng)平行對(duì)稱振子的互阻抗.

1 對(duì)稱振子的輻射阻抗

計(jì)算對(duì)稱振子的輸入阻抗，首先必須計(jì)算它的輻射阻抗，而計(jì)算輻射阻抗又必須確定對(duì)稱振子的電流分布.如圖1所示的細(xì)對(duì)稱振子，振子半徑為

圖1 對(duì)稱振子示意圖

a，一臂長(zhǎng)為l，總長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝2l，總是假定其上電流近似于正弦分布，可以寫(xiě)作

式中：Ⅰm為電流波腹點(diǎn)的復(fù)振幅；k＝2π／λ為自由空間相移常數(shù).隨著振子半徑增大，電流分布與正弦分布出現(xiàn)偏差.對(duì)稱振子輻射場(chǎng)的計(jì)算，可以參考相關(guān)教材，這里直接給出歸算于波腹電流的輻射電阻Rr和輻射電抗

2 對(duì)稱振子的輸入阻抗

天線的阻抗特性包括輻射電阻和輸入阻抗，如果不考慮天線的自身?yè)p耗，輸入電阻等于歸算于饋電點(diǎn)電流的輻射電阻［3］.

解析求解對(duì)稱振子的輸入阻抗是一個(gè)邊值型問(wèn)題，就是根據(jù)天線表面的邊界條件和激勵(lì)條件求解麥克斯韋方程組，常用的三種方法是長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球天線法、對(duì)頂雙錐天線法和圓柱天線法［1，5］.長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球天線法尤其適用于分析粗振子天線；對(duì)頂雙錐天線法適用于分析細(xì)振子天線，但這兩種方法不能用來(lái)分析多根振子組成的天線；而圓柱天線法能用來(lái)分析多根振子組成的復(fù)雜天線［1］.

工程上計(jì)算對(duì)稱振子的輸入阻抗，一般使用前文所述的坡印廷矢量法、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法和等效傳輸線法等近似方法.

坡印廷矢量法是在天線的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)對(duì)坡印廷矢量進(jìn)行積分，將天線的輻射功率等效為一個(gè)電阻吸收的功率，這個(gè)等效電阻就是天線的輻射電阻，該方法只能得到輻射電阻，無(wú)法求得輻射電抗，得出的輻射電阻形式如式（2）所示.

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法是在天線表面對(duì)坡印廷矢量進(jìn)行積分，因而可以得到輻射電抗，在振子較細(xì)的情況下，所得輻射電阻結(jié)果與式（2）相同，輻射電抗結(jié)果如式（3）所示，對(duì)稱振子輻射電阻和輻射電抗隨長(zhǎng)度的變化曲線如圖2所示.

圖2 對(duì)稱振子輻射電阻和輻射電抗隨長(zhǎng)度變化曲線

結(jié)合坡印廷矢量法和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法得到的輸入阻抗為［9］：

因?yàn)樵诠こ躺鲜褂玫刃鬏斁€法計(jì)算對(duì)稱振子的輸入阻抗比較簡(jiǎn)便，下面重點(diǎn)分析此方法.

2.1 等效傳輸線法

等效傳輸線法是將長(zhǎng)度為2l、半徑為a的對(duì)稱振子天線看作距雙線傳輸線終端l長(zhǎng)的一段向相反方向張開(kāi)90°形成的，因而可以等效為具有一定平均特性阻抗且終端開(kāi)路的有耗傳輸線［2-3，5-6］.

如圖1所示對(duì)稱振子的平均特性阻抗

有耗傳輸線的傳播常數(shù)

式中：α為衰減常數(shù)；β為相位常數(shù)；R1為單位長(zhǎng)度電阻.忽略介質(zhì)的漏電損耗和導(dǎo)線的熱損耗，即G1＝0，且R1／ωL1?1時(shí)，式（7）可表示為

此時(shí)

另外一種推導(dǎo)方式，求解方程組

可以看出，兩種方式所得的衰減常數(shù)是一致的，而相位常數(shù)的形式有所不同.實(shí)際上，式（11）通過(guò)兩次級(jí)數(shù)展開(kāi)，也能得出如式（10）形式的β值，此處采用式（11）形式的β值.

將對(duì)稱振子的輻射功率等效為傳輸線分布電阻，即單位長(zhǎng)度電阻R1的損耗功率，根據(jù)對(duì)稱振子的損耗功率等于天線的輻射功率這一條件，即

將式（1）帶入式（13）可得

進(jìn)一步得到衰減常數(shù)

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，得到輸入阻抗為

當(dāng)0＜l／λ≤0.35和0.65≤l／λ≤0.85時(shí)［5］，式（16）可以化簡(jiǎn)為

式（17）的實(shí)部與式（4）形式相同，只是相位常數(shù)不同.

2.1.1 分析比較

由式（11）可以看出：β＞k，這代表著天線上波長(zhǎng)縮短了，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，一方面是由于對(duì)稱振子的輻射引起了電流衰減，使得電流相速減小，線上相移常數(shù)大于自由空間相移常數(shù)；另一方面，對(duì)于有一定線徑的對(duì)稱振子，因?yàn)槟┒诵?yīng)的存在，等效于振子長(zhǎng)度增加了，也會(huì)造成波長(zhǎng)縮短［2-6］.本文前面求得的相位常數(shù)實(shí)際上只考慮了第一個(gè)因素.波長(zhǎng)縮短因子的計(jì)算非常復(fù)雜，一般靠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到［2-3，5］.

圖3是根據(jù)式（16）計(jì)算所得的輸入阻抗隨振子長(zhǎng)度的變化關(guān)系，對(duì)于半徑a＝0.001λ的半波振子，通過(guò)計(jì)算得到的輸入阻抗為（73-j2.7）Ω，可以看出輸入阻抗是容性的，而實(shí)際上細(xì)半波振子的輸入阻抗是感性的.這說(shuō)明只考慮第一個(gè)因素，得到的結(jié)果誤差比較大，有必要對(duì)第二個(gè)因素，即天線末端效應(yīng)引起的誤差進(jìn)行修正，此處直接引用文獻(xiàn)［6］的結(jié)果，對(duì)誤差進(jìn)行修正.

圖3 對(duì)稱振子輸入阻抗隨振子長(zhǎng)度變化的關(guān)系

2.1.2 等效傳輸線法的修正

考慮到對(duì)稱振子的末端效應(yīng)，振子末端電流值實(shí)際并不為零，這相當(dāng)于振子變長(zhǎng)了，振子一臂增加的長(zhǎng)度［6］為

振子一臂長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

將式（16）重寫(xiě)如下

使用式（16）和式（20）分別對(duì)半徑a＝0.01λ和a＝0.001λ的對(duì)稱振子計(jì)算其輸入阻抗，得到的數(shù)據(jù)如圖4所示，圖中實(shí)線是使用式（16）得到計(jì)算結(jié)果，虛線是使用式（20）得到的計(jì)算結(jié)果.可以看出，使用式（20）所得數(shù)據(jù)畫(huà)出的曲線向左移動(dòng)了，阻抗特性得到了改善，對(duì)于線徑較大的半波振子，電抗值變?yōu)楦行粤?

作為比較，下面使用海倫積分法和矩量法來(lái)求解對(duì)稱振子的輸入阻抗.

圖4 修正前后對(duì)稱振子輸入阻抗與振子長(zhǎng)度的關(guān)系

2.2 海倫積分法

對(duì)于圖1所示的細(xì)對(duì)稱振子，根據(jù)海倫積分方程［1，3，5，7-8］

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以得到電流分布的級(jí)數(shù)解為［1，5，7-8，10］

式中，V是輸入端的電壓.當(dāng)z＝0時(shí)，得到輸入阻抗二階解為

式中：Ω1＝2ln（2l／a）；p1＝F1（l）；p2＝F2（l）；

令

進(jìn)而得到：

G1（z）和G1（l）形式與F1（z）和F1（l）分別相同.

式中：

G2（z）和G2（l）形式與F2（z）和F2（l）分別相同.

在a?l，ka?1時(shí)，可以將r寫(xiě)作r＝｜z′-z｜，對(duì)于具有一定線徑的天線，這樣處理會(huì)使得電流分布在天線兩端附近產(chǎn)生很大誤差［7］，但在離開(kāi)天線兩個(gè)端點(diǎn)距離為天線半徑的3～4倍后，誤差就變得很小了.在這種情況下可以得出F1（l）、G1（l）、F1（z）和G1（z）的解析表達(dá)式［7，10］：

進(jìn)一步得到

經(jīng)過(guò)這樣處理，可以得到輸入阻抗一階解析解，但在求解二階解時(shí)，積分過(guò)程非常容易產(chǎn)生奇異值，使輸入阻抗二階解很不穩(wěn)定，故文章中取r＝（a2＋（z-，采用原始積分法求解輸入阻抗.

2.3 矩量法

在使用矩量法［3，5，11-14］過(guò)程中，選用反應(yīng)積分方程，采用分段正弦基函數(shù)，應(yīng)用伽略金法.

對(duì)如圖1所示半徑a＝0.001λ的對(duì)稱振子使用三種方法計(jì)算輸入阻抗所得結(jié)果如圖5所示，圖中實(shí)線是按照公式（20）計(jì)算所得結(jié)果；虛線是使用海倫積分法所得結(jié)果；星形線是矩量法的計(jì)算結(jié)果.可以看出，應(yīng)用公式（20）所得結(jié)果與使用海倫積分法求得的二階解差別不大，但與文獻(xiàn)［15］中矩量法的計(jì)算結(jié)果還是存在一定差距，特別是在振子長(zhǎng)度為0.8～1.3個(gè)波長(zhǎng)時(shí).相信隨著階數(shù)的增加，矩量法與海倫積分法求得數(shù)據(jù)的一致性應(yīng)該很好.

圖5 三種方法計(jì)算的對(duì)稱振子輸入阻抗隨長(zhǎng)度變化關(guān)系

對(duì)于半波振子，公式（20）給出的輸入阻抗值為（73.4＋j43.1）Ω，海倫積分法給出的輸入阻抗二階解為（79.4＋j40.3）Ω，矩量法給出的數(shù)值解為（83.9＋j43.3）Ω，由此可見(jiàn)，對(duì)于半徑不是很大的半波長(zhǎng)左右的對(duì)稱振子，使用公式（20）可以得出比較準(zhǔn)確的結(jié)果.

3 對(duì)稱振子的互阻抗

文章只分析了如圖6所示的兩邊靠邊不等長(zhǎng)平行對(duì)稱振子的互阻抗.以振子2波腹電流為參考，振子1在振子2的輸入端感應(yīng)的開(kāi)路電壓［9，16］

圖6 邊靠邊不等長(zhǎng)平行對(duì)稱振子示意圖

歸算于振子1和振子2波腹電流的互阻抗為

根據(jù)文獻(xiàn)［9］的結(jié)果

r1、r2和r分別是振子1的兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)到觀察點(diǎn)的距離，對(duì)于如圖6所示的兩平行對(duì)稱振子來(lái)說(shuō)，可以看作是分別到振子2上某點(diǎn)的距離，即可以寫(xiě)作

將式（1）和（31）代入式（30），得到歸算于振子1和振子2波腹電流的互阻抗

而歸算于輸入電流的互阻抗

L1＝0.5λ、L2＝0.45λ和L1＝0.6λ、L2＝0.4λ的兩組邊靠邊不等長(zhǎng)平行對(duì)稱振子歸于輸入電流的互阻抗隨間距變化的曲線如圖7所示.

由圖7可以看出：對(duì)稱振子的互阻抗與振子半徑無(wú)關(guān)，隨著間距的增加，逐漸變得很??；且互阻抗對(duì)振子長(zhǎng)度的變化不是很敏感，在對(duì)精度要求不是很高時(shí)，兩半波長(zhǎng)左右邊靠邊不等長(zhǎng)平行對(duì)稱振子的互阻抗可以用兩邊靠邊平行半波振子的互阻抗來(lái)代替.

4 結(jié) 論

圖7 邊靠邊不等長(zhǎng)平行對(duì)稱振子互阻抗隨間距變化曲線

輸入阻抗是一個(gè)重要的天線參數(shù)，振子粗細(xì)對(duì)輸入阻抗的影響較大.文章詳細(xì)分析了求解對(duì)稱振子輸入阻抗的各種理論和方法，包括近似方法（坡印廷矢量法、等效傳輸線法和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)法）、解析方法（海倫積分法）和數(shù)值方法（矩量法），并著重對(duì)等效傳輸線法和海倫積分法進(jìn)行了研究.

對(duì)等效傳輸線法的不足提出了實(shí)用的修正方法，分析了海倫積分法求解對(duì)稱振子輸入阻抗的過(guò)程，并推導(dǎo)了求解過(guò)程中各個(gè)重要參數(shù).

通過(guò)將修正方法的計(jì)算結(jié)果與海倫積分法和矩量法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，證明了除去諧振點(diǎn)附近的點(diǎn)，對(duì)于一般對(duì)稱振子，修正后的方法能得到比較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果.下一步的研究重點(diǎn)是繼續(xù)對(duì)復(fù)雜天線的輸入阻抗求解理論和方法進(jìn)行研究.

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