一種復(fù)雜多邊形區(qū)域上重積分的計(jì)算方法

李京梁，施國(guó)華

(江蘇科技大學(xué)張家港校區(qū)基礎(chǔ)部，江蘇張家港215600)

關(guān)于重積分的計(jì)算方法一直是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析［1-2］中的重要內(nèi)容.由于積分區(qū)域的復(fù)雜性，重積分的計(jì)算可能變得十分困難甚至不可能，因此，簡(jiǎn)化積分區(qū)域在重積分運(yùn)算中十分重要.文中首先給出平面上任意四邊形和三角形區(qū)域到對(duì)稱正方形區(qū)域R=［-1，1］×［-1，1］的區(qū)域變換，由此簡(jiǎn)化積分區(qū)域，然后結(jié)合區(qū)域分裂的思想，提出一種新的解決復(fù)雜多邊形區(qū)域上二重積分的方法.

1 兩個(gè)區(qū)域變換

1)XOY平面上的任意三角形區(qū)域ABC到ROS平面上正方形區(qū)域 R=［-1，1］×［-1，1］的映射［5-7］(圖 1 左)為

此映射將邊AC的中點(diǎn)映射到區(qū)域R的頂點(diǎn)d.

2)XOY平面上的任意四邊形ABCD到ROS平面上正方形 R=［-1，1］×［-1，1］的映射［3-4］(圖1右)為

圖1 兩種區(qū)域變換Fig.1 Two transformations of domain

2 區(qū)域分裂及化簡(jiǎn)二重積分

對(duì)于XOY平面上的任意一個(gè)復(fù)雜多邊形區(qū)域D，可以將其分裂成四邊形區(qū)域和三角形區(qū)域的組合，如下圖所示，D=D1+D2+D3+D4.

圖2 區(qū)域D的分裂Fig.2 Division of domain

利用映射(1，2)，結(jié)合重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，那么在區(qū)域D上的二重積分

式中:R 是正方形區(qū)域［-1，1］×［-1，1］;g1(r，s)和 g4(r，s)是將映射(2)代入 f(x，y)后的函數(shù)，J1是映射(2)的雅可比行列式;g2(r，s)和g3(r，s)是將映射(1)代入 f(x，y)后的函數(shù)，J2是映射(1)的雅可比行列式;這樣在區(qū)域D上的二重積分?Df(x，y)dxdy就化成了一個(gè)在正方形區(qū)域R上的二重積分，對(duì)于某些二重積分，結(jié)合函數(shù)的奇偶性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算，下面的例子給出說明.

3 兩個(gè)例子

例1:設(shè)積分區(qū)域E如圖3所示，各點(diǎn)坐標(biāo)為:A(0，2)，B(-1，0)，C(1，-1)，D(3，2)，被積函數(shù)取為3x-2y，則由映射(2)運(yùn)算知:

圖3 復(fù)雜多邊形Fig.3 Complex polygon

例2:設(shè)積分區(qū)域E∪F如圖3所示，G點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)，被積函數(shù)仍取為 3x-2y，則由映射(1)運(yùn)算知:

(3x-2y)|=(55-5s+15r-5rs)/8，J1=(10-5r-5s)/16

References)

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