含死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)PID 控制器設計

彭富明，方斌

(南京理工大學 自動化學院，江蘇 南京210094)

0 引言

近30 年，控制技術獲得飛速發(fā)展，如預測控制、自適應控制、滑?？刂坪椭悄芸刂频?，但PID控制器仍然在各種實際控制系統(tǒng)中起著重要作用。PID 參數(shù)設計有很多實用有效的方法;近10年，關于PID 控制器三維穩(wěn)定空間的研究取得一系列進展[1－6]，這些方法基本都是針對被控對象是線性的。然而，實際的系統(tǒng)不可避免存在一些非線性因素，尤其是控制器的輸出普遍存在或多或少的死區(qū)和飽和現(xiàn)象。當死區(qū)和飽和現(xiàn)象不能忽略時，而所設計PID 控制器時，對這些非線性因素未能充分考慮，按線性對象鎮(zhèn)定的系統(tǒng)其性能會明顯下降甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定。文獻[7 －9]運用線性矩陣不等式(LMI)，通過優(yōu)化的方法，分析與設計抗飽和問題。文獻[10]通過精心選擇非線性增益函數(shù)，形成一個非線性PID 控制器。文獻[11]提出了一種模糊PID 控制器的設計方法來提高含飽和特性系統(tǒng)的性能。文獻[13]基于Lyapunov 理論提出一種飽和非線性PID 調節(jié)器，一些類似的方法見文獻[14 －16].盡管這些方法各具特色，由于其對理論要求高、計算量大，對模型有一定要求等，并沒有在實際控制工程得到廣泛的應用。

基于將控制器的輸出信號與被控對象的輸入信號的差值作為反饋支路達到抑制飽和的目的，盡快消除飽和帶來的系統(tǒng)性能惡化的思想，產生2 大類型的方法:傳統(tǒng)的抗重置飽和(Anti－reset windup)和條件技術。這2 類方法由于設計簡單，在實際系統(tǒng)中獲得較好的應用。其設計過程主要有2 步:1)按線性對象設計PID 控制器本身，再根據(jù)經驗設計反向計算的跟蹤時間常數(shù)。一般情況下，它們能有效改善系統(tǒng)性能。但該方法并不總是有效抑制飽和現(xiàn)象，尤其當跟蹤時間常數(shù)或PID 控制器本身設計不恰當時;2)當被控對象不穩(wěn)定時，更無法保證系統(tǒng)穩(wěn)定。由于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與設計在工程實踐中較為困難，本文的基本想法是不改變原有的PID 控制器結構，提出一種PID 設計方法，克服了死區(qū)和飽和現(xiàn)象，并保證該非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性;在系統(tǒng)有一個大的階躍參考輸入時，該系統(tǒng)仍然維持在一個大的穩(wěn)定范圍工作。雖然沒有嚴格的理論證明，但其設計思路明確、方法簡單，仿真實例表明，該方法適用于控制器離線設計，可滿足實際應用要求。

1 問題表述

含死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)如圖1 所示。

圖1 含死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear system with dead－zone and saturation

設控制對象為

式中:bi，aj(i =1，2，…，q，j =1，2，…，n1)分別為分子和分母多項式的系數(shù)，n1＞q，an1＞0，τ≥0.G(s)的逆函數(shù)為=1/G(s).

PID 控制器為

式中:KP、KI和KD分別為比例、積分和微分增益。

死區(qū)和飽和特性v 和其描述函數(shù)N(A)分別為

式中:A 為非線性環(huán)節(jié)正弦輸入信號的幅值;kn為飽和部分的斜率。

非線性系統(tǒng)在PID 控制下的特征方程為

本文的目標是對死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)，運用(5)式設計PID 控制器，在階躍參考輸入下使系統(tǒng)能保證具有較好的性能。

2 線性系統(tǒng)PID 參數(shù)穩(wěn)定域方法

對于含時滯或不含時滯的線性系統(tǒng)PID 穩(wěn)定域研究，其基本過程是首先確定比例增益KP穩(wěn)定的范圍;在該范圍通過遍歷增益KP，以確定KP為定值時相應的KD－KI平面上穩(wěn)定區(qū)域。當圖1 所示系統(tǒng)死區(qū)和飽和可以忽略時，相當于N(A)=kn，此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

式中:s 的最高階為n=n1+1.

(6)式可以改寫的等價形式:

將s=jω 代入(7)式有:

由(8)式可分析確定增益KP的穩(wěn)定范圍[6]，(9)式可獲得KD－KI平面一系列邊界直線，進而運用逆時針規(guī)律可確定KD－KI平面上的穩(wěn)定區(qū)域，具體方法見文獻[5，17].確定含時滯或不含時滯的線性系統(tǒng)PID 穩(wěn)定域的步驟如下:

2)在KP的穩(wěn)定范圍，取某一KP=，在復平面上作縱向直線，其橫坐標為－，求出該直線與逆Nyquist 曲線)交點，這些交點對應的頻率按從小到大順序排列分別為ω0，ω1，…，ωl;ω0=0，j=1，2，…，l.在KD－KI平面，確定穩(wěn)定范圍的邊界直線和KI=0.

4)在KP的穩(wěn)定范圍遍歷KP，重復上述步驟，可獲得含或不含時滯的線性系統(tǒng)PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域的三維空間。

3 含死區(qū)飽和非線性系統(tǒng)的設計方法

眾所周知運用描述函數(shù)分析和設計非線性系統(tǒng)是最經典的方法之一。為了有效延伸這種技術，利用(5)式計算死區(qū)和飽和非線性系統(tǒng)的PID 參數(shù)穩(wěn)定域。最簡單方法是使用等效的逆Nyquist 特性G(jω)/N(A)代替原逆Nyquist 曲線由于SIDF 模型依賴于非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入幅度A，而參考輸入是階躍函數(shù)時，輸入幅度A 不是恒定的，可以選取適當?shù)妮斎敕燃蟵Ai}，i =0，1，2，…;(A0=a，Ai＜Ai+1)，該集合{Ai}盡可能覆蓋非線性環(huán)節(jié)輸入振幅的范圍。通過上述處理，可直接用第3 節(jié)的方法計算出針對每個Ai的PID 參數(shù)穩(wěn)定域Si.

本文所提出的方法是基于以下假設:當某一個確定的PID 控制器對不同的Ai都能使(5)式穩(wěn)定，那么非線性系統(tǒng)本身也一定是穩(wěn)定的。現(xiàn)在有2 種不同情況考慮。

3.1 開環(huán)穩(wěn)定

開環(huán)穩(wěn)定時，對圖1所示的死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)作如下分析:

1)如果PID 控制器輸出長期處于飽和或死區(qū)狀態(tài)，那么被控對象輸入則為一個常數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)實際上一直處于開環(huán)狀態(tài)。當被控對象是開環(huán)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)輸出也是穩(wěn)定的。

2)一般對于穩(wěn)定的被控對象，如果Kp的穩(wěn)定區(qū)間 是KP∈(KPi，KPi+1)，KP和KPi+1所 對 應 逆Nyquist 曲線上的2 點位于縱軸兩側，逆Nyquist 曲線必然隨著Ai的增大逐步向外擴展;由于N(A0)＞N(A1)＞N(A2)＞…，通常有Si?Si+1和Si∩Si+1≠?.雖然在集合Si+1－Si內設計PID參數(shù)，階躍輸入時閉環(huán)系統(tǒng)也能保證是穩(wěn)定的，但此時控制器的輸出一般都處于飽和狀態(tài)。

此時，PID 控制器設計的基本步驟如下:

1)選取適當?shù)妮斎敕燃蟵Ai}，i =0，1，2，…，max ，使集合{Ai}盡可能覆蓋非線性環(huán)節(jié)輸入振幅的范圍。雖沒有具體的理論指導選擇最大輸入幅度Amax，但一般情況，振幅Amax越大，所設計的PID控制器更好地減弱飽和的影響。由于死區(qū)的存在，以及過大的Amax不僅造成計算量的增加，在實踐中也是沒有必要。一個簡單的選擇是2≤Amax/a≤4.

2)根據(jù)每一個新的等效逆Nyquist 曲線和第3 節(jié)所介紹方法，可以判斷每個Ai所允許的比例增益穩(wěn)定集合(范圍)SKP，i.同時滿足每個Ai所允許的比例增益穩(wěn)定集合SKP=

3)在集合SKP內選擇一個固定的KP∈SKP.根據(jù)第3 節(jié)所介紹方法，可以判斷每個Ai所允許的微分和積分增益(KD，KI)穩(wěn)定集合SKIKD，i.同時滿足每個Ai所允許的微分和積分增益穩(wěn)定集合SKIKD=

4)對圖1 所示的死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)PID 參數(shù)可根據(jù)KP∈SKP和(KD，KI)∈SKIKD選擇。

3.2 開環(huán)不穩(wěn)定

當開環(huán)不穩(wěn)定時，對圖1 所示的死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)作如下分析:

1)當開環(huán)不穩(wěn)定且系統(tǒng)處于死區(qū)或飽和狀態(tài)時，閉環(huán)系統(tǒng)相當于開環(huán)，系統(tǒng)的輸出也將是不穩(wěn)定的;此時不僅要分析幅值Ai的變化對穩(wěn)定域的影響，還要分析Δ=0 時的影響。

2)一般對于不穩(wěn)定的被控對象，如果KP的穩(wěn)定區(qū)間是KP∈(KPi，KPi+1)，KPi和KPi+1所對應的逆Nyquist 曲線上2 點位于縱軸同一側;當Amax較大時，通常有Si∩Si+1=?;因此不能選擇太大的Amax.

綜上所述，針對開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，僅采用PID控制器是不能達到穩(wěn)定系統(tǒng)的要求。一個新的結構被提出如圖2 所示。對參考輸入階躍信號進行預處理GP(s)=1/TPs+1;預處理器具有低通特性，可有效抑制參考輸入的突變帶來系統(tǒng)的劇烈波動，實現(xiàn)系統(tǒng)的軟啟動;可以非常有效地改善非線性環(huán)節(jié)的影響，并確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖2 開環(huán)不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)控制Fig.2 Control of nonlinear system for open－loop unstability

此時，PID 控制器設計的基本步驟如下:

1)～4)與開環(huán)穩(wěn)定時相同。但最大振幅Amax可適當小些，一般1 ＜Amax/a≤3.

圖3 具有相同PID 控制器的線性系統(tǒng)Fig.3 Linear system with the same PID controller

5)按前步驟4)所設計的PID 控制器應用于被控對象為knG(s)e－τs線性系統(tǒng)時，如圖3 所示，該系統(tǒng)必然是穩(wěn)定的。可從圖3 獲取該線性系統(tǒng)的調節(jié)時間ts，前置預過濾器的時間常數(shù)可以簡單選擇:TP＞(0.2 ～0.8)ts.

4 實例

例1 設被控制對象及死區(qū)和飽和特性參數(shù)為

取振幅Ai=1，1.5，2，每個Ai所相應的比例增益穩(wěn)定范圍(集合)分別為:SKP，0=(－0.81，0.75)、SKP，1= (－ 0.654，0.608)和 SKP，2= (－ 0.51，0.478);則SKP=(－0.51，0.478).令KP=0.4，則每個Ai所相應的微分和積分增益穩(wěn)定范圍SKIKD，i，如圖4 所示(圖中坐標是后面2 個數(shù)據(jù)表示，即KP一定下的KD－KI圖)。從圖4 中選取4 個點P1、P2、P3和P4，4 個點所對應的PID 控制器參數(shù)(KP，KI，KD)分別為(0.4，0.2，0.3)、(0.4，0.5，0.6)、(0.4，0.5，0.8)和(0.4，0.4，1).4 種情況系統(tǒng)的單位階躍響應如圖5(a)所示;在t =50 s 加入脈沖擾動w(t)，其幅值為1、寬度為2 s.4 種情況PID 控制器的輸出如圖5(b)所示，可見交集SKIKD內點P1所對應的系統(tǒng)特性好于其他點，積分增益越小系統(tǒng)總體特性要好。

圖4 例1 的微分和積分增益穩(wěn)定范圍Fig.4 The stable regions of differential and integral gains for Example 1

例2 設被控制對象及死區(qū)和飽和特性參數(shù)為

由于例2 為不穩(wěn)定對象，需考慮完全線性條件下(a=∞，Δ=0)的穩(wěn)定域，此時比例增益穩(wěn)定范圍為SKP，－1=(1，2.708).取振幅Ai=1，1.5，2，每個Ai所相應的比例增益穩(wěn)定范圍(集合)分別為:SKP，0=(0.873，2.364)，SKP，1= (0.696，1.885)，SKP，2=(0.545，1.477);則SKP=(1，1.477).令KP=1.4，則每個Ai所相應的微分和積分增益穩(wěn)定范圍SKIKD，i如圖6 所示。從圖6 中選取4 個點D1、D2、D3和D4，4 點所對應的PID 控制器參數(shù)(KP，KI，KD)分別為(1.4，0.05，1.5)、(1.4，0.05，2.5)、(1.4，0.1，2.7)和(1.4，0.1，3.7).4 種情況系統(tǒng)的單位階躍響應如圖7(a)所示，控制器的輸出如圖7(b)所示?？梢娊患疭KIKD內點D1所對應系統(tǒng)特性好于其他點，積分增益越小系統(tǒng)總體特性要好。值得注意的是，即使是在交集SKIKD內選點，當所選取的點其積分增益較大時(靠近線A0時，見圖6)，閉環(huán)系統(tǒng)將會不穩(wěn)定;另外，當死區(qū)Δ 較大時，比例增益相應要增大。

圖5 開環(huán)穩(wěn)定時系統(tǒng)階躍階躍響應和控制器輸出Fig.5 System step response and controller output for open－loop stability

圖6 例2 的微分和積分增益穩(wěn)定范圍Fig.6 The stable regions of differential and integral gains of Example 2

圖7 開環(huán)不穩(wěn)定時系統(tǒng)階躍響應和控制器輸出Fig.7 System step response and controller output for open－loop unstability

無論開環(huán)是穩(wěn)定或不穩(wěn)定的對象，在穩(wěn)定域交集內選取較小的積分增益，控制系統(tǒng)性能就越好。對于開環(huán)穩(wěn)定的對象，也可以對參考輸入進行預處理，更好地改善設定值變化對系統(tǒng)性能的影響。對于開環(huán)不穩(wěn)定的對象，所容許設定的PID 控制器參數(shù)集要小于文中的穩(wěn)定域交集，且其抗擾動能力不強。為進一步提高穩(wěn)定域交集的可行性，可以加入的相位裕度約束e－jγ(10°≤γ≤60°)，使所設計的PID 控制器具有更好的性能，此時新的等效逆Nyquist 曲線為如當γ =30°時，例1 的SKP=(－0.44，0.4476).取KP=0.4 時，則每個Ai=1、1.5、2 所相應的微分和積分增益穩(wěn)定范圍SKIKD，i如圖8 所示;圖8 中，細線為γ =0°(既為圖4)，粗線為γ=30°情況。從圖8 可見，只有P1點落入粗線所構成的區(qū)域交集SKIKD內。因而，加入相位裕度約束e－jγ，可使所設計的PID 控制器具有更好的性能。

5 結論

圖8 γ=30°時例1 的微分和積分增益穩(wěn)定范圍Fig.8 The stable regions of differential and integral gains of Example 1 for γ=30°

本文研究含死區(qū)飽和特性系統(tǒng)的PID 控制器設計，并提出了一種設計方法。它可以減輕非線性對系統(tǒng)的影響?；诜蔷€性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)模型，一種新的等效逆Nyquist 曲線被提出。對于開環(huán)穩(wěn)定的對象，PID 控制器參數(shù)的選取，可直接從不同的幅值Ai條件下參數(shù)穩(wěn)定域的交集中獲得。對于開環(huán)不穩(wěn)定的對象，首先對階躍參考輸入進行預處理，并提供預過濾器時間常數(shù)的選取方法，PID 控制器的設計與開環(huán)穩(wěn)定時相同，但開環(huán)不穩(wěn)定時，系統(tǒng)抗干擾的能力較弱，在交集中積分增益較大的點仍可能不穩(wěn)定的，所選點應盡量遠離積分增益較大的邊界線。本文提出的方法可以擴展到其他含硬非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。

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