基于周期性擴(kuò)頻的單相H橋逆變器非線性現(xiàn)象的研究*

劉洪臣 李飛 楊爽

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，哈爾濱 150001)

(2012年10月16日收到;2013年1月16日收到修改稿)

1 引言

由于電力電子電路中存在著開關(guān)的高頻切換，因此在開關(guān)電路中存在著豐富的非線性現(xiàn)象.各國學(xué)者對于其中存在的非線性現(xiàn)象從上世紀(jì)80年代就已經(jīng)開始了研究.1988年，Hamill等人在一定的簡化條件下，對峰值電流控制的BUCK變換器建立了一階離散模型，分析了其中的分岔和混沌現(xiàn)象，從而開創(chuàng)了電子電路非線性研究的新領(lǐng)域[1];1992年，Dean等人把研究對象擴(kuò)展到峰值電流控制的BOOST變換器上，分析了以電流為參數(shù)的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)[2].隨著研究的深入，逐漸由低階系統(tǒng)向高階系統(tǒng)過渡，1995年，Tse等人研究了電流滯環(huán)控制的四階CUK變換器，分析了其中存在的霍夫分岔及混沌現(xiàn)象[3].在過去20多年的時間里，DC-DC變換器是電子電路非線性研究的主要對象[4-12]，而其他類型的電力變換器中的非線性現(xiàn)象研究相對較少.Robert等人于2002年首先研究了單相正弦H橋逆變器中的混沌和分岔現(xiàn)象，將以往開關(guān)功率變換器中的非線性現(xiàn)象的研究方法應(yīng)用到了DC-AC中，發(fā)現(xiàn)DC-AC變換器中存在著豐富的非線性現(xiàn)象[11].Kousaka等人采用返回圖的方法研究了單相H橋正弦逆變器的動態(tài)特性，采用返回圖的方法對周期軌道的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，進(jìn)一步用分岔圖研究了這些周期軌道[12].國內(nèi)的王學(xué)梅、張波等采用折疊圖的方法對單相H橋正弦逆變器的快變和慢變穩(wěn)定性進(jìn)行了分析[13,14]，周宇飛等人對單相H橋正弦逆變器的混沌控制問題作了進(jìn)一步的分析[15].

隨著當(dāng)前電力電子技術(shù)的飛速發(fā)展，變換器的電磁干擾(EMI)問題日益嚴(yán)重[16].目前，廣泛采用擴(kuò)頻的方式對EMI和噪聲進(jìn)行抑制.擴(kuò)頻技術(shù)最先應(yīng)用于通訊和微處理系統(tǒng)，從90年代開始應(yīng)用于變換器中來降低EMI水平，隨著研究的深入，各國學(xué)者陸續(xù)提出了多種擴(kuò)頻方式，如隨機(jī)擴(kuò)頻，正弦波擴(kuò)頻，三角波擴(kuò)頻，混沌擴(kuò)頻等，均取得了很好的效果.但是對擴(kuò)頻后電力變換器的非線性行為的分析未見報道.本文在對單相H橋正弦逆變器的非線性特性分析的基礎(chǔ)上，首次對基于擴(kuò)頻技術(shù)的單相H橋正弦逆變器的非線性行為進(jìn)行分析，建立了單相H橋正弦逆變器擴(kuò)頻后的離散模型，研究了單相H橋正弦逆變器的穩(wěn)定性及混沌行為，指出擴(kuò)頻后的單相H橋正弦逆變器在進(jìn)入非線性區(qū)域后更容易進(jìn)入混沌區(qū)，并且周期擴(kuò)頻的頻率會對系統(tǒng)初始分岔點(diǎn)的位置產(chǎn)生影響，通過本文的分析，可以得到最佳的周期擴(kuò)頻的頻率值.本文的研究對單相H橋正弦逆變器的穩(wěn)定運(yùn)行具有一定的指導(dǎo)意義.

2 周期性擴(kuò)頻技術(shù)

擴(kuò)頻是指開關(guān)電源工作頻率不是固定不變的，而是在一個中心頻率附近作周期性或者隨機(jī)性的變化.對于傳統(tǒng)的單相H橋正弦逆變器的載波調(diào)制策略而言，由于三角波頻率一定，在采用擴(kuò)頻技術(shù)后將原來集中于固定開關(guān)頻率附近的諧波分散到了一個頻帶范圍內(nèi)，使得諧波的幅值降低，繼而降低了電磁干擾和噪聲.依據(jù)實(shí)現(xiàn)方式的不同，擴(kuò)頻可以分為周期性擴(kuò)頻、隨機(jī)擴(kuò)頻和混沌擴(kuò)頻三種，本文選擇周期性擴(kuò)頻技術(shù)進(jìn)行研究[16].周期性擴(kuò)頻就是利用一些周期性信號來改變原來三角波的固定頻率，使載波頻率圍繞固定頻率作周期性變化.載波頻率 fS的一般表達(dá)式為

式中 f為載波基準(zhǔn)頻率，Δf為載波周期變化頻率.當(dāng)Δf=0的時候，此時為固定頻率的調(diào)制技術(shù).當(dāng)采用正弦周期頻率調(diào)制時

式中fA為周期頻率調(diào)制中PWM信號的頻率偏移的幅值;f1為正弦信號的頻率.擴(kuò)頻技術(shù)在降低變換器的EMI以及減少輸出電壓紋波已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，但是對于其中的非線性研究卻非常少.

3 單相擴(kuò)頻SPWM-H橋的離散模型

基于周期擴(kuò)頻技術(shù)的單相H橋正弦波逆變器的原理圖如圖1所示.其工作原理是由負(fù)載電流與給定電流進(jìn)行比較之后，進(jìn)行P控制，再進(jìn)行脈沖寬度調(diào)制(PWM)，其中載波的周期是正弦周期性變化的[17].該電路由四個帶反并聯(lián)二極管的IGBT開關(guān)組成，依次是 S1，S2，S3，S4.負(fù)載為電感和電阻，電源為直流電源E.逆變器由兩個狀態(tài)組成，狀態(tài)1，S1，S3導(dǎo)通，S2，S4截止，電感電流上升;狀態(tài) 2，S1，S3截止，S2，S4導(dǎo)通，電感電流下降.由于該電路拓?fù)渲挥幸粋€狀態(tài)變量，因此，兩狀態(tài)可以用兩個一階微分方程表示.

模態(tài)1為

模態(tài)2為

其中，i是電感電流，U是負(fù)載電壓.

在控制器的作用下，系統(tǒng)在兩種模態(tài)之間進(jìn)行切換，TS是時鐘周期，此時的TS不再是固定不變的時間常數(shù)，而是大小隨正弦規(guī)律變化，本文取變化范圍為2.5—7.5 kHz，負(fù)載的工作波形如圖2所示.其中E是電源電壓，i是負(fù)載電流，TS1，TS2是按照正弦規(guī)律變化的時鐘周期.

圖1 基于擴(kuò)頻技術(shù)的單相H橋逆變器工作原理圖

圖2 負(fù)載電流波形(實(shí)線)和電壓波形(虛線)

采用頻閃映射建模的方法[5]，將狀態(tài)變量的n+1時刻的采樣值用n時刻的采樣值來表示.以載波周期作為頻閃采樣周期，由狀態(tài)方程(1)、(2)得出電感電流i的頻閃模型

式中D為常數(shù)，k為比例系數(shù)，irefn為正弦參考電流在每個開關(guān)時刻的采樣值，in為采樣時刻的采樣電流[8].

4 穩(wěn)定性分析

4.1 單相H橋逆變器輸出電流的時域分析

單相H橋逆變器選擇的參數(shù)為：E=400 V，R=20 Ω，L=0.02 H，D=0.5，iref=5sin(40πt)，iref所選擇的固定的載波頻率是 fS=5 kHz，固定頻率下的輸出負(fù)載電流i波形如圖3所示;應(yīng)用正弦周期性擴(kuò)頻技術(shù)后，載波頻率在 fs=2.5—7.5 kHz之間作正弦周期性變化，有效減少了電磁干擾噪聲的影響，擴(kuò)頻之后的輸出負(fù)載波形如圖4所示.

圖3 載波頻率是固定的 f=5 kHz，不同反饋系數(shù)下電流i的時域波形 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

從圖4中可以看出，在正弦周期性擴(kuò)頻之后，單相H橋逆變器中存在豐富的非線性現(xiàn)象.通過對比圖3和圖4，可以看出在經(jīng)過擴(kuò)頻之后，正弦調(diào)制的單相逆變器中存在的非線性特性要比在固定頻率之下的非線性特性更加強(qiáng)烈，而且，在同樣的參數(shù)情況下，也更加容易進(jìn)入非線性區(qū)域.

4.2 折疊圖與混沌現(xiàn)象動態(tài)演化過程分析

折疊圖是一種比較有效地觀察分岔與混沌現(xiàn)象的方法.它避免了雅克比矩陣不僅依賴于平衡點(diǎn)而且計算繁瑣的缺點(diǎn)，更加直觀的觀察混沌現(xiàn)象.具體的方法為：選取任意的一個初始值代入迭代方程(3)式，略去前面的不穩(wěn)定過程，選取穩(wěn)定后的50個正弦周期按照采樣時刻對齊后折疊，繪制折疊圖.通過比較圖5和圖6，可以得出：當(dāng)k=0.1時，擴(kuò)頻前50個正弦波的采樣點(diǎn)最后重合在一起，而擴(kuò)頻之后的50個正弦波的采樣點(diǎn)分布的區(qū)域比擴(kuò)頻之前的區(qū)域廣泛，說明擴(kuò)頻之后的系統(tǒng)不如擴(kuò)頻之前穩(wěn)定，但是系統(tǒng)總體是趨于穩(wěn)定的;在k=0.29時，擴(kuò)頻之后的50個正弦波的采樣點(diǎn)最后集中在三條軌道上，而固定頻率下的50個正弦波的采樣點(diǎn)集中在兩條軌道上，說明擴(kuò)頻之后系統(tǒng)更加容易進(jìn)入混沌狀態(tài)，更加的不穩(wěn)定;在k=0.5的時候，擴(kuò)頻前后的50個正弦波的采樣點(diǎn)最后充滿整個空間，說明系統(tǒng)最后進(jìn)入了混沌狀態(tài).

圖4 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，不同反饋系數(shù)下電流i的時域波形 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

圖5 載波頻率為 f=5 kHz，不同反饋系數(shù)下電流i折疊圖 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

圖6 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，不同反饋系數(shù)下電流i的折疊圖 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

4.3 分岔與混沌現(xiàn)象動態(tài)演化過程

電流i是單相逆變器的輸出電流，作為狀態(tài)變量，它的變化可以反映系統(tǒng)整體的變化.如圖7和圖8，在k從0增加的過程中，固定頻率下的負(fù)載電流更容易出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，而且在k=0.29時，擴(kuò)頻下的輸出負(fù)載電流所分布的范圍比固定頻率下的輸出負(fù)載電流更大，說明在擴(kuò)頻下的混沌化更加明顯，從折疊圖也可以明顯的看出，最后在k=0.5時，擴(kuò)頻下的輸出負(fù)載電流比固定頻率下的輸出負(fù)載電流的混沌現(xiàn)象更加劇烈，均勻的充滿整個平面空間.

為了準(zhǔn)確說明分岔的位置，下面進(jìn)一步分析了李雅普諾夫指數(shù).根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)的定義，k的范圍為從0.1到0.7，取步長為0.001，在每個k值下迭代100次，得出李雅普諾夫指數(shù)，如圖9所示.

在圖9中k=0.25時，李雅普諾夫指數(shù)等于零，此時對應(yīng)于圖7中的第一個分岔點(diǎn)，隨著k的增加，在k=0.32時再次出現(xiàn)分岔，在k=0.3—0.4之間，李雅普諾夫指數(shù)多次大于零，因此在k=0.32之后進(jìn)入了一段由于多次分岔造成的混沌區(qū)域，在k≥0.4時，系統(tǒng)最后進(jìn)入了混沌區(qū)域.在圖10中k=0.29時，李雅普諾夫指數(shù)等于零，此時對應(yīng)圖8中第一個分岔點(diǎn)，在k=0.35的位置，系統(tǒng)再次出現(xiàn)分岔，隨著k的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)最后進(jìn)入了混沌區(qū)域.

圖7 載波頻率是固定的 fs=5 kHz，隨著系數(shù)k變化電流i的分岔圖

圖8 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，隨著系數(shù)k變化電流i的分岔圖

4.4 載波頻率增量的頻率f1對負(fù)載電流的影響

正弦擴(kuò)頻技術(shù)中，載波頻率增量是按照正弦規(guī)律變化的，其變化的頻率 f1對負(fù)載電流的非線性影響也是非常重要的.取調(diào)制波的頻率為20 Hz，f1以20 Hz及其整數(shù)倍變化.圖11為取 f1為20 Hz，160 Hz及480 Hz時的分岔圖，f1影響負(fù)載電流分岔點(diǎn)的位置以及影響時域波形尖峰的數(shù)目如表1和表2所示.

圖9 載波頻率是固定的 fs=5 kHz，負(fù)載電流i隨k變化時的李雅普諾夫指數(shù)譜

圖10 載波頻率 fs=2.5—7.5 kHz，負(fù)載電流i隨k變化時的李雅普諾夫指數(shù)譜

通過表1可以得出，隨著 f1的逐漸增大，比例系數(shù)k的分岔點(diǎn)的位置逐漸增大，一直到 f1=160分岔點(diǎn)位置增加到最大值，然后，隨著k的進(jìn)一步增大，比例系數(shù)k的分岔點(diǎn)位置又返回到了原來的位置，直至到了最小k=0.185.通過表2得出，隨著f1的增大，負(fù)載電流在一個周期內(nèi)由于尖峰數(shù)量逐漸增加，在尖峰位置處，負(fù)載電流出現(xiàn)很強(qiáng)的非線性現(xiàn)象，隨著 f1的進(jìn)一步增加，尖峰數(shù)量越來越多，最后整個進(jìn)入了混沌狀態(tài).因此，從表1和表2可以得出，f1是不能超過某一個閾值的，此處閾值可以取50 Hz，在閾值附近兩者的表現(xiàn)達(dá)到最好，f1過高或者過低都會對系統(tǒng)整體的穩(wěn)定性帶來不良的影響.

圖11 隨著 f1的變化，比例系數(shù)k的分岔點(diǎn)位置 (a)f1=20 Hz;(b)f1=160 Hz;(c)f1=480 Hz

表1 隨著 f1的變化，比例系數(shù)k的分岔點(diǎn)位置

表2 隨著 f1的變化，負(fù)載電流時域波形每周期尖峰的數(shù)量

5 結(jié)論

擴(kuò)頻調(diào)制下的單相H橋正弦逆變器在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，以往總是采用線性化的方式來分析此系統(tǒng)，忽略了其非線性特性，對其非線性動力學(xué)特性至今都沒有作深入的研究.本文對擴(kuò)頻調(diào)制下的單相H橋正弦逆變器的非線性特性進(jìn)行了詳細(xì)的分析：建立了擴(kuò)頻調(diào)制下的離散映射模型，采用了折疊圖、時域圖、分岔圖綜合對比的方法進(jìn)行了分析，通過與非擴(kuò)頻下的特征量的比較，得出了在擴(kuò)頻調(diào)制下的單相H橋正弦逆變器更加容易進(jìn)入非線性區(qū)域，存在更加豐富的混沌動力學(xué)特性.并且得出了周期擴(kuò)頻的頻率使系統(tǒng)產(chǎn)生初始分岔點(diǎn)的精確位置.通過對其進(jìn)行非線性分析，對應(yīng)用擴(kuò)頻方式下的單相逆變器具有重要的指導(dǎo)性意義.

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