最小冗余MIMO雷達陣列設(shè)計

洪振清 張劍云 梁 浩 游志剛

（合肥電子工程學(xué)院305教研室，合肥，230037）

引 言

為解決雷達目標RCS（Radar cross section）普遍存在的閃爍效應(yīng)，近年來國際上提出了一種新型體制雷達——多輸入多輸出（Multiple－input multiple－output，MIMO）雷達［1］，其基本思想是：在發(fā)射端采用多個發(fā)射天線同時發(fā)射正交信號照射目標，在接收端使用多個接收天線接收目標反射的回波信號，然后通過匹配濾波器組實現(xiàn)各路信號的分離。由于MIMO雷達的各個發(fā)射天線的發(fā)射信號彼此正交，因而能夠在空間形成多個獨立通道，從而增加系統(tǒng) 的 自 由 度［2］（Degrees of freedom，DOF），改善空間目標的分辨率［3］，有效地克服目標的RCS閃爍［4］，提高系統(tǒng)的檢測性能。MIMO雷達借鑒了在通信領(lǐng)域取得了巨大成功的多輸入多輸出技術(shù)，有著廣泛的應(yīng)用前景。

目前，對MIMO雷達的研究主要集中在目標檢測、參數(shù)估計、成像和波形設(shè)計等方面，而 MIMO雷達的優(yōu)化布陣是一個新的研究內(nèi)容，相關(guān)的文獻還非常少，值得進一步深入研究。與傳統(tǒng)的天線陣列優(yōu)化相比，MIMO雷達要綜合考慮發(fā)射陣和接收陣，因而其陣列優(yōu)化問題更加復(fù)雜。

文獻［5］以波達方向估計精度為目標提出了一種MIMO雷達天線陣的設(shè)計方法，通過拋物線理論得出了收發(fā)組合的唯一性和合理性，然后通過分析各種收發(fā)組合給出了發(fā)射陣元的最佳間隔設(shè)置。文獻［6］從目標散射模型、收發(fā)信號模型出發(fā)，提出了基于空間卷積理論的MIMO雷達天線陣列設(shè)計方法，著重分析和介紹了收發(fā)復(fù)用線性陣情況下的MIMO雷達陣列設(shè)計算法，給出并證明了其等效接收陣列存在的充要條件。文獻［7］提出了一種基于遺傳算法和禁忌搜索的混合二次優(yōu)化布陣方法。該方法為了保證系統(tǒng)最大自由度，引入了距離擾動，同時對發(fā)射天線和接收天線的位置進行兩次優(yōu)化，有效解決了MIMO雷達天線方向圖綜合中低旁瓣電平設(shè)計問題。

文獻［8］將最小冗余陣列的概念推廣到 MIMO雷達，通過窮舉法搜索得到最小冗余MIMO雷達的發(fā)射陣列和接收陣列的陣元位置，它可利用最少的物理陣元形成盡可能多的等效陣元，從而得到大的陣列孔徑。但是，該文獻并沒有指出如何分配發(fā)射陣列和接收陣列，同時由于窮舉法的運算復(fù)雜度往往很高，特別是在陣元數(shù)較多的情況下這種現(xiàn)象尤為嚴重，因此不利于實際應(yīng)用。

本文在文獻［8］的基礎(chǔ)上，將最小冗余的思想與MIMO雷達虛擬陣元的概念相結(jié)合，利用組合設(shè)計理論中的循環(huán)差集的構(gòu)造原理，提出一種新的最小冗余MIMO雷達陣列優(yōu)化算法。該算法利用最少的物理陣元能夠得到更大的陣列孔徑，并且能快速解析地求出發(fā)射陣元和接收陣元的位置，克服了傳統(tǒng)的窮舉法運算復(fù)雜度高的不足，尤其是在大陣元數(shù)情況下其優(yōu)勢更加明顯，因此本文算法具有更高的工程應(yīng)用價值。

1 MIMO雷達信號模型

考慮發(fā)射陣和接收陣都是線性陣列的MIMO雷達，發(fā)射陣元數(shù)為M，接收陣元數(shù)為N，第m個發(fā)射陣元的位置關(guān)于半波長的歸一化值為uT，m，第n個接收陣元的位置關(guān)于半波長的歸一化值為uR，n。為描述方便，本文所提到的陣元位置均是指關(guān)于半波長的歸一化位置。假設(shè)目標與發(fā)射陣列之間的距離遠大于發(fā)射陣的陣列孔徑，并且發(fā)射陣列和接收陣列之間的距離非常近（也可以是同一陣列），因此它們相對于目標的觀測角相同。

MIMO雷達的發(fā)射陣同時發(fā)射M個窄帶正交波形，第m個發(fā)射陣元的發(fā)射信號為sm（t），則整個發(fā)射信號矢量可以表示為S（t）＝［s1（t），…，sM（t）］T，并且滿足正交性條件∫T0S（t）SH（t）dt＝IM，其中T0為雷達脈沖寬度，IM表示M×M的單位矩陣，符號（·）T和（·）H分別表示矩陣（或向量）的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。假設(shè)空間某一遠場目標的波達方向為θ，則N個接收陣元的輸出信號矢量為

式中：x（t）為N×1維的接收信號向量，n（t）為N×1維的接收加性高斯噪聲矢量，α表示目標回波的復(fù)振幅，a（θ），b（θ）分別為M×1維的發(fā)射導(dǎo)向矢量和N×1維的接收導(dǎo)向矢量，其表達式分別為

接收信號矢量經(jīng)過MN個匹配濾波器后的輸出為

式中＝∫T0n（t）SH（t）dt。由于發(fā)射信號矢量S（t）滿足正交性條件∫T0S（t）SH（t）dt＝IM，所以對式（4）進一步化簡，并對其進行矩陣的拉直操作后可得

式中：y為MN×1維的匹配濾波器輸出矢量為MN×1維的經(jīng)過匹配濾波器后輸出的噪聲矢量，并假設(shè)方差為σ2的復(fù)白高斯過程，其協(xié)方差矩陣為Φ~n＝σ2IMN，符號vec（·）表示矩陣拉直運算，?表示向量的 Kronecker積，v（θ）＝a（θ）?b（θ）為MN×1維的MIMO雷達等效導(dǎo)向矢量。

由Kronecker積的定義和式（2，3）可知 MIMO雷達等效導(dǎo)向矢量v（θ）中有MN個元素，其中vmn（θ）＝exp｛jπ（uT，m＋uR，n）sinθ｝，它等價于具有MN個陣元的虛擬陣列導(dǎo)向矢量［9］，虛擬陣元的歸一化位置為

式中k＝1，2，…，NM。圖1給出了發(fā)射陣元數(shù)M＝3，接收陣元數(shù)N＝4條件下的MIMO雷達陣列擴展示意圖。

圖1 MIMO雷達陣列擴展示意圖

可以看出，M個發(fā)射陣元和N個接收陣元的MIMO雷達形成了MN個虛擬陣元，且實際的陣元個數(shù)越多，虛擬陣元的個數(shù)也就越多，相應(yīng)的虛擬陣列孔徑也就越大。因此，相對于傳統(tǒng)的相控陣雷達，MIMO雷達的系統(tǒng)自由度更高，從而具有更窄的波束寬度和更高的角度分辨率。

2 最小冗余MIMO雷達

2.1 最小冗余陣列

Moffet［10］最早提出了最小冗余陣列的概念，其基本思想是在陣元間的位置差包含1到L（L為期望的歸一化陣列孔徑）之間的所有整數(shù)前提下，通過使陣元數(shù)M最小來降低系統(tǒng)硬件成本。如果以陣列的第一個陣元為參考點，即令u1＝0，則陣元間相關(guān)函數(shù)只與陣元間的位置差di，j＝ui－uj（其中1≤i，j≤M）有關(guān)。如果假設(shè)i≥j，亦即陣元間的位置差di，j是大于或者等于0的自然數(shù)，即所有陣元位置差的集合為

基于上述假設(shè)，最小冗余陣列的設(shè)計問題可以通過下面的約束優(yōu)化問題來描述

式中｜A｜表示集合A的勢。式（8）所描述的是一個組合優(yōu)化問題，一般難于求解，但當L較小時，可以通過窮舉法進行求解。表1給出了幾種不同陣元數(shù)情況下最小冗余陣列的陣元位置［11］（某一特定陣元數(shù)目的最小冗余陣的陣元位置不唯一，這里只列出其中一種）。

表1 最小冗余陣列

2.2 最小冗余MIMO雷達陣列

從前面的分析可知，MIMO雷達虛擬陣列的形成有效地擴展了陣列孔徑，增大了整個系統(tǒng)的自由度。由于虛擬陣列的有效陣元數(shù)由虛擬陣列導(dǎo)向矢量中互不相等的元素個數(shù)決定，如果虛擬陣列導(dǎo)向矢量中出現(xiàn)相等的分量，則MIMO雷達虛擬陣列的有效陣元數(shù)就會減少，此時稱虛擬陣列出現(xiàn)了冗余。因此可以將最小冗余的思想運用到MIMO雷達的陣列設(shè)計中，用最少的物理陣元形成盡可能大的陣列孔徑，從而實現(xiàn)降低系統(tǒng)成本，提高系統(tǒng)性能的目的。

由式（6）可知，對于 MIMO雷達，其虛擬陣元的歸一化位置為uT，m＋uR，n，其中m＝1，…，M；n＝1，…，N，則所有虛擬陣元位置差的集合｛uk－uk′｝可以表示為

因此，最小冗余MIMO雷達的陣列設(shè)計問題可以通過下面的約束優(yōu)化問題來描述

上式所描述的優(yōu)化問題是比式（8）更為復(fù)雜的組合優(yōu)化問題，當L較小時，可以通過窮舉法進行求解，但是當L較大時，采用常規(guī)的窮舉法運算復(fù)雜度會非常高。為了簡化搜索，文獻［8］作了如下簡化

即將陣元位置差集合元素必須遍歷所有1到L之間的所有整數(shù)約束條件簡化為陣元位置差集合中的元素均為小于L的整數(shù)。然而，這種簡化允許陣元位置差集合不連續(xù)，相當于否定了最小冗余概念中的遍歷原則，得到的結(jié)果往往是次優(yōu)的。同時，優(yōu)化得到的陣元位置僅僅是M＋N的最小時的收發(fā)陣元組合，而沒有給出具體的發(fā)射陣和接收陣設(shè)置準則。

3 基于循環(huán)差集的MIMO雷達陣列優(yōu)化

3.1 差集和循環(huán)差集的定義

差集和循環(huán)差集是組合設(shè)計理論中的重要概念，這里只給出其基本定義［12，13］，其詳細理論可以參考文獻［14］。

定義1 對給定的正整數(shù)P，存在k個整數(shù)所組成的集合A＝｛a1，a2，…，ak｝，滿足下列兩個條件（1）0＝a1＜a2＜…＜ak＝P；（2）任意整數(shù)p（0≤p≤P）均可表示為集合A中兩元素的差，則稱集合A為P上的受限差集（簡稱差集），記為A（P，k）。

課外閱讀，離不開教材選文學(xué)習(xí)示范。對教材選篇有效處理，學(xué)生掌握不同文本閱讀方法。分析教材選文，不是“學(xué)生根據(jù)教師的指令在課文里找表面的信息”，而是使學(xué)生明白詩歌閱讀是通過對字詞的理解走向詩人情感、散文閱讀從句子中理解作者獨特情感、小說閱讀在于謀篇布局與細節(jié)等具體閱讀方法。針對同文體中不同文本，教會學(xué)生不同的閱讀方法，形成多樣化閱讀能力。學(xué)習(xí)《套中人》，學(xué)生能掌握閱讀《群魔》《小公務(wù)員之死》等反映現(xiàn)實小說的閱讀方法。閱讀示范包括環(huán)境示范。文學(xué)理論認為：閱讀是讀者與作者、作品、世界的對話。閱讀對話需要安靜環(huán)境。每周語文課或語文晚自習(xí)安排學(xué)生安靜閱讀的時間。

定義2 以正整數(shù)V為模的K個互不同余的整數(shù)所組成的集合，記為D＝｛d1，d2，…，dK｝，如果對任一整數(shù)v（0＜v＜V），恰好在D中有Λ個有序?qū)Γ╠i，dj），使得等式v≡（di－dj）（modV）成立，其中modV表示對V求模，則稱該集合為一個（V，K，Λ）循環(huán)差集，記為D（V，K，Λ）。

循環(huán)差集的各參數(shù)之間滿足如下關(guān)系

因此，循環(huán)差集的3個參數(shù)中只有兩個參數(shù)是獨立的。對于任意滿足式（12）的（V，K，Λ），可能不存在差集，也可能一組或多組差集。特別地，當Λ＝1時，D（V，K，Λ）稱為完備循環(huán)差集，因為差集表中非零元素（1，2，…，V－1）出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。對于完備循環(huán)差集，有［13］

此時V恒為奇數(shù)。

3.2 基于循環(huán)差集的最小冗余MIMO雷達陣列設(shè)計算法

如果把循環(huán)差集D（V，K，Λ）中的V看成是陣列關(guān)于半波長的歸一化孔徑，K看成陣元個數(shù)，Λ看成是陣元間位置差的出現(xiàn)次數(shù)，則由3.1節(jié)的分析可知，完備循環(huán)差集D（V，K，1）恰好對應(yīng)最優(yōu)最小冗余陣列。

考慮到最小冗余MIMO雷達要求其虛擬陣元的位置差能遍歷所有小于L的整數(shù)，可以先設(shè)定發(fā)射陣列為最小冗余陣，使發(fā)射陣列的陣元位置差滿足連續(xù)無間斷的要求，然后再優(yōu)化接收陣列，使系統(tǒng)形成的虛擬陣元位置差滿足式（10）中的約束條件。因此，可以得到基于循環(huán)差集的最小冗余MIMO雷達陣列設(shè)計算法步驟如下：

（1）設(shè)定發(fā)射陣元數(shù)初始值M＝3和接收陣元數(shù)上限Nmax；

（2）將發(fā)射陣列設(shè)置為最小冗余陣列，得到發(fā)射陣元的位置｛uT，m｝，由前面的分析可知，集合｛uT，m｝是一個循環(huán)差集D（VT，M，ΛT）；

（3）設(shè)定接收陣元數(shù)初始值N＝3；

（4）設(shè)｛bn｝是對應(yīng)陣元數(shù)N時的最小冗余陣列的陣元位置，顯然集合｛bn｝也是一個循環(huán)差集D（VR，N，ΛR），取 接 收 陣 元 的 位 置 為 ｛uR，n｝＝｛VT·bn｝；

（5）根據(jù)發(fā)射和接收陣元位置計算虛擬陣列的陣元位置差，判斷其是否遍歷1到L之間的所有整數(shù)，如果是，轉(zhuǎn)到（7），否則，進入下一步；

（6）判斷接收陣元數(shù)N＞Nmax是否成立，如果成立，M＝M＋1，轉(zhuǎn)到（2），否則，N＝N＋1，轉(zhuǎn)到（4）；

（7）綜合發(fā)射陣元和接收陣元的位置，得到最小冗余MIMO雷達。

最小冗余MIMO雷達陣列設(shè)計算法的流程圖如圖2所示。

4 仿真結(jié)果及分析

為了便于分析，主要考慮MIMO雷達的發(fā)射陣元數(shù)為M＝3，接收陣元數(shù)為N＝5的情形，分別比較本文算法得到的最小冗余MIMO雷達、文獻［8］算法得到的最小冗余MIMO雷達和均勻線陣MIMO雷達的性能，其中均勻線陣MIMO雷達發(fā)射陣元間距為λ／2，接收陣元間距為Mλ／2。

4.1 陣列擴展性能驗證

本實驗比較本文算法和文獻［8］算法的陣列擴展性能。由文獻［8］算法計算出發(fā)射陣元的位置為｛uT，m｝＝｛0，1，3｝，而接收陣元的位置為｛uR，n｝＝｛0，6，13，40，60｝，則相應(yīng)的虛擬陣元位置為｛0，1，3，6，7，9，13，14，16，40，41，43，60，61，63｝，虛擬陣列的歸一化孔徑為L＝63。按本文算法可以計算出發(fā)射陣元的位置為｛uT，m｝＝｛0，1，3｝，該集合是一個參數(shù)為（7，3，1）的循環(huán)差集，從表1中可以看出，N＝5對應(yīng)的最小冗余陣列陣元位置為｛bn｝＝｛0，1，4，7，9｝，因此，可以求得接收陣元的位置為｛uR，n｝＝｛0，1，4，7，9｝×7＝｛0，7，28，49，63｝，則虛擬陣元的位置為｛0，1，3，7，8，10，28，29，31，49，50，52，63，64，66｝，虛擬陣列的歸一化孔徑為L＝66。顯然，本文算法所得到的最小冗余MIMO雷達陣列孔徑要大于文獻［8］算法。圖3給出了兩種算法所得到的最小冗余MIMO雷達的虛擬陣元位置差的直方圖，其中縱坐標重復(fù)數(shù)表示具有相同陣元位置差的重復(fù)陣元對個數(shù)。

圖2 陣列設(shè)計算法流程圖

從圖3可以看出，本文算法所得到的最小冗余MIMO雷達的虛擬陣元位置差遍歷了所有1到66之間的整數(shù)，而文獻［8］算法所得到的最小冗余MIMO雷達的虛擬陣元的位置差遍歷了所有1到63之間的整數(shù)。值得說明的是，本文算法得到的最小冗余MIMO雷達孔徑優(yōu)勢會隨著陣元數(shù)的增大而逐漸增加。

圖3 最小冗余MIMO雷達的虛擬陣元的位置差

4.2 波束形成性能比較

假定期望目標的到達方向（DOA）為0°，信噪比0dB，空間有3個干擾目標，其DOA分別為－60°，2°，15°，干噪比分別為10，10，20dB，快拍數(shù)為K＝200。圖4為3種MIMO雷達的MVDR波束形成器的方向圖。圖5為3種MIMO雷達的MVDR波束形成器的輸出信干噪比（SINR）與信噪比（SNR）的關(guān)系圖，其中每個取值點進行500次獨立的Monte－Carlo實驗。

圖4 3種MIMO雷達的MVDR波束方向圖

從圖4可以看出，對于－60°和15°方向的旁瓣干擾，3種MIMO雷達都能在這兩個方向形成零陷，從而有效地進行抑制；對于2°方向的主瓣干擾，均勻線陣MIMO雷達的波束方向圖出現(xiàn)了主瓣分裂，不能進行抑制，而最小冗余MIMO雷達仍然能夠有效地抑制。這是因為與均勻線陣MIMO雷達相比，最小冗余MIMO雷達的虛擬陣列孔徑更大，因而具有更窄的主瓣寬度。由圖5可知，文獻［8］算法得到的最小冗余 MIMO雷達的輸出SINR要比均勻線陣MIMO雷達的輸出SINR高5dB，本文算法得到的最小冗余MIMO雷達的輸出SINR要比文獻［8］算法得到的最小冗余MIMO雷達的輸出SINR高約1dB，這是由于本文算法得到的最小冗余MIMO雷達的虛擬陣列孔徑稍大于文獻［8］算法得到的最小冗余MIMO雷達的虛擬陣列孔徑。

圖5 3種MIMO雷達的輸出SINR

4.3 角度分辨率比較

假設(shè)兩個目標的DOA為θ1＝－2°和θ2＝2°，發(fā)射信號采用頻率擴展信號［15］，快拍數(shù)為K＝200。如果則稱θ1和θ2這兩個目標可分辨。進行500次獨立的Monte－Carlo實驗，圖6，7分別為3種MIMO雷達的分辨概率和角度估計均方根誤差（RMSE）隨SNR的變化關(guān)系圖。

由圖6可以看出，本文算法得到的最小冗余MIMO雷達的分辨概率和文獻［8］算法得到的最小冗余MIMO雷達的分辨概率相當，兩者均高于均勻線陣MIMO雷達的分辨概率。最小冗余MIMO雷達的分辨概率在SNR為－16dB時達到100%，而均勻線陣MIMO雷達的分辨概率要在SNR為－8dB時才達到100%。圖7顯示本文算法和文獻［8］算法得到的最小冗余MIMO雷達的角度估計RMSE相同，在低信噪比的情況下，最小冗余MIMO雷達的角度估計RMSE要小于均勻線陣MIMO雷達，在高信噪比的情況下，最小冗余MIMO雷達和均勻線陣MIMO雷達的角度估計RMSE趨于一致。圖6和圖7表明最小冗余MIMO雷達的角度分辨率要高于均勻線陣MIMO雷達，這與虛擬陣列孔徑越大，角度分辨率越高的理論相符。

圖6 3種MIMO雷達的分辨概率

圖7 3種MIMO雷達的角度估計均方根誤差

5 結(jié)束語

本文將最小冗余的思想與MIMO雷達虛擬陣元的概念相結(jié)合，利用組合設(shè)計理論中的循環(huán)差集的基本原理，提出了一種基于循環(huán)差集的最小冗余MIMO雷達陣列設(shè)計算法。該算法利用最少的物理陣元能夠得到更大的陣列孔徑，并且能迅速確定發(fā)射陣元和接收陣元的位置，克服了傳統(tǒng)的窮舉法運算復(fù)雜度高的不足，因此本文算法更具有工程應(yīng)用價值。通過計算機仿真，驗證了本文所提出的算法的有效性。

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