不同類型多小波在GPS 變形數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

何永紅 靳鵬偉

（1.湖南科技學(xué)院 土木工程與建設(shè)管理系，湖南 永州 425199；2.中南大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程系，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

1 引 言

現(xiàn)實(shí)世界中許多災(zāi)害的發(fā)生與變形有著極為密切的聯(lián)系，例如地震、滑坡以及橋梁的垮塌等，都是典型的變形破壞現(xiàn)象。隨著各種大型建筑的大量涌現(xiàn)以及滑坡等地質(zhì)災(zāi)害的頻繁發(fā)生，變形監(jiān)測(cè)研究的重要性更加突出，推動(dòng)著變形監(jiān)測(cè)理論和技術(shù)方法的迅速發(fā)展。全球定位系統(tǒng)GPS 具有全天候、無(wú)需通視、自動(dòng)化程度高且能夠測(cè)量建筑物的絕對(duì)位移量等優(yōu)點(diǎn)，特別是近年來(lái)，GPS 衛(wèi)星和接收機(jī)性能的大幅度提升[1]、高效的GPS 單歷元定位算法的提出，促使基于GPS 的工程建筑物健康監(jiān)測(cè)成為GPS 和土木結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)[2,3]。GPS 測(cè)量由于受對(duì)流層、電離層折射、衛(wèi)星與接收機(jī)鐘差、多路徑效應(yīng)等受各種因素的影響，原始數(shù)據(jù)往往含有較大的系統(tǒng)偏差或者被噪聲嚴(yán)重污染，使GPS 信號(hào)受到嚴(yán)重的干擾[4]，進(jìn)而使測(cè)量結(jié)果難以達(dá)到預(yù)估及規(guī)定的精度要求。如何從觀測(cè)數(shù)據(jù)中去掉噪聲，保留真實(shí)信號(hào)，是變形監(jiān)測(cè)與變形分析需要解決的問(wèn)題。

小波分析技術(shù)既能反映信號(hào)的時(shí)間域變化特征，又能反映信號(hào)的頻率域變換特征，用它可分析處理各種類型的信號(hào)，并已取得了顯著的效果[5,6]。在信號(hào)處理中，小波基是否具有對(duì)稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩對(duì)處理的結(jié)果往往至關(guān)重要，但傳統(tǒng)的實(shí)系數(shù)單小波并不存在上述性質(zhì)，這限制了小波的應(yīng)用。而多小波卻具有這些性質(zhì)，它既保持了單小波所具有的良好的時(shí)域與頻域的局部化特性，又克服了單小波的缺陷，將實(shí)際應(yīng)用中十分重要的光滑性、緊支性、對(duì)稱性、正交性完美的結(jié)合在一起[7]。將多小波分析理論作為數(shù)學(xué)工具對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分解和重構(gòu)，可以取得更好的、更符合實(shí)際的變形曲線圖。

文章通過(guò)GPS 歷元定位算法確定接收機(jī)的坐標(biāo)時(shí)間序列，獲得GPS 監(jiān)測(cè)變形的信息，并應(yīng)用基于不同預(yù)處理方法的多小波分析技術(shù)從GPS 單歷元定位結(jié)果中提取了變形信號(hào)，建立基于多小波變形分析模型，并與傳統(tǒng)的單小波去噪效果進(jìn)行比較，為變形監(jiān)測(cè)信號(hào)處理開(kāi)辟一條新的途徑。

2 多小波理論

2.1 多小波函數(shù)

多小波(Multi-wavelet)理論是近幾年來(lái)在小波理論基礎(chǔ)之上發(fā)展起來(lái)的一種新的小波構(gòu)造理論。它是指由2 個(gè)或2 個(gè)以上函數(shù)作為尺度分量生成的小波。與傳統(tǒng)意義下的單小波相比，多小波兼有對(duì)稱性、正交性、緊支性、消失矩等特性，因此被廣泛應(yīng)用于各類信號(hào)的濾波。多小波基是由單個(gè)小波母函數(shù)經(jīng)過(guò)伸縮平移生成的，相應(yīng)地有多個(gè)尺度函數(shù)；而單小波僅有一個(gè)尺度函數(shù)。

同時(shí)，多小波函數(shù)滿足

這里，Hk和 Gk都是r ×r 的矩陣，稱為雙尺度方程的矩陣系數(shù)。也稱為矩陣濾波器系數(shù)[8]。

2.2 多小波預(yù)處理方法的選擇

現(xiàn)在應(yīng)用最廣泛的是GHM 多小波、CL 多小波和cardbal 系列平衡多小波，這些多小波為二重正交、對(duì)稱的多小波。多小波與單小波的重要區(qū)別是對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，由于多小波變換的預(yù)濾波器是矩陣形式的，這就要求輸入信號(hào)也必須是矢量形式，而實(shí)際采集到的信號(hào)一般都不是矢量形式，所以必須進(jìn)行預(yù)處理才能進(jìn)行多小波變換，采用多小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行消噪時(shí)，對(duì)原始信號(hào)的預(yù)處理方法有多種，預(yù)處理方案不是隨意選取的，它與多小波的性質(zhì)、多小波基有關(guān)。預(yù)處理方案的選取直接關(guān)系到信號(hào)處理的效果，不合適的預(yù)處理方案將導(dǎo)致非常糟糕的結(jié)果，無(wú)法達(dá)到預(yù)期目的。

根據(jù)仿真結(jié)果，對(duì)于GHM 多小波采用GHM.init 預(yù)處理方法，對(duì)于CL 多小波采用harr 法，cardbal 系列多小波采用平衡多小波法對(duì)多小波預(yù)濾波器響應(yīng)改善較好[9,10]。

2.3 多小波去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)[11]

(1) 均方根誤差（RMSE）

原始信號(hào)與去噪后的估計(jì)信號(hào)之間的方差的平方根稱為均方誤差：，其中 f ( n) 是原始信號(hào)，為小波濾波后的估計(jì)信號(hào)。均方根誤差越小，濾波效果越好。

(2) 信噪比（SNR）

信噪比是測(cè)量信號(hào)中噪聲量度的傳統(tǒng)方法，常被用來(lái)作為評(píng)價(jià)去噪效果的指標(biāo)，信噪比越高則濾波效果越好。信噪比單位是分貝，其定義為：

(3) 恢復(fù)信號(hào)的光滑性

一般而言，恢復(fù)信號(hào)光滑性好，則濾波方法好。

綜合考慮，小波濾波去噪性能評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則是：對(duì)于同一組數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，若某種濾波方法獲得的濾波效果均方根誤差較小、信噪比相對(duì)較高、信噪比增益較大、恢復(fù)信號(hào)光滑性好，則說(shuō)明該濾波方法的性能相對(duì)較好。

2.4 多小波信號(hào)去噪原理

多小波與傳統(tǒng)小波的去噪原理是相同的，即在多小波分解系數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)噪聲的先驗(yàn)知識(shí)，設(shè)置軟閾值處理多小波系數(shù)，將與噪聲相應(yīng)的多小波變換系數(shù)置零，然后利用多小波的重構(gòu)算法重構(gòu)信號(hào)。與傳統(tǒng)小波去噪相比，多小波可以同時(shí)具有對(duì)稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩。所以基于多小波變換的去噪不僅完整保留傳統(tǒng)小波去噪的優(yōu)點(diǎn)，而且有更為靈活更為實(shí)用的特點(diǎn)[12]。

圖1. 多小波分解與重構(gòu)原理圖

3 不同多小波在GPS 動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

3.1 試驗(yàn)

為了驗(yàn)證多小波去噪的有效性，實(shí)驗(yàn)采用某GPS 點(diǎn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)采用北京遙測(cè)技術(shù)研究所研制的GNSS單頻接收機(jī)，采樣間隔為1s（采樣頻率為1HZ），數(shù)據(jù)在2003 年12 月1 日5：34 開(kāi)始采集，共觀測(cè)了500 個(gè)歷元，共視8顆衛(wèi)星（PRN31 04 08 20 28 07 27 11），最高的PRN31 作為參考衛(wèi)星，對(duì)其數(shù)據(jù)采用軟件進(jìn)行基線結(jié)算，求得待定點(diǎn)在WGS-84坐標(biāo)系中不同歷元時(shí)的坐標(biāo)系列。坐標(biāo)采用X，Y 和Z 表示，分析中，坐標(biāo)均值從坐標(biāo)序列中扣除。結(jié)算后的待定點(diǎn)在不同歷元時(shí)其三維坐標(biāo)如下圖所示：

圖2. GPS 點(diǎn)三維坐標(biāo)序列變化曲線

從圖2 中看出，GPS 位移觀測(cè)的序列數(shù)據(jù)含有很多毛刺，受到噪聲干擾（如多路徑效應(yīng)、隨機(jī)噪聲），監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變化趨勢(shì)湮沒(méi)在噪聲中。為了從其復(fù)雜的變化中提取變形趨勢(shì)，需采用多小波對(duì)其進(jìn)行處理、分析。由前面的預(yù)處理方法中可知，GHM 多小波采用基于低頻近似的方法、CL 多小波采用Haar 方法以及采用平衡多小波的方法可以取得較好的去噪效果。現(xiàn)采用不同的多小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，并與傳統(tǒng)的單小波進(jìn)行比較。

3.2 不同多小波去噪結(jié)果驗(yàn)證對(duì)比

本節(jié)GHM 多小波采用GHM.init 方法、CL 多小波采用Haar 方法以及采用平衡多小波的方法對(duì)GPS 點(diǎn)變形信號(hào)進(jìn)行處理，并與傳統(tǒng)的單小波去噪效果進(jìn)行比較。圖3 即為GHM 多小波采用GHM.init 方法消噪后的信號(hào)。

圖3. GHM.init 法濾波后坐標(biāo)序列

由圖3 中看出，采用GHM 多小波消噪后的信號(hào)反應(yīng)了該點(diǎn)的位移趨勢(shì)，去除了噪聲，濾波后GPS 測(cè)量微小動(dòng)態(tài)變形為2mm，達(dá)到了消噪的目的。

現(xiàn)用DGHM 多小波與DB4 小波作比較，采用DB4 小波的原因是其具有四個(gè)稀疏的濾波器、正交性和二階消失矩，這與DGHM 多小波非常相似。在圖4 中，實(shí)線為DGHM 多小波去噪曲線，虛線為DB4 小波去噪曲線，由圖中看出，DGHM多小波濾波后的信號(hào)在光滑性和尖峰及突變部分較單小波要好，其消噪誤差較之單小波小。DGHM 多小波更適合于對(duì)突變和暫態(tài)隨機(jī)信號(hào)的消噪，消噪精確度比DB4 小波要小得多，得到了原信號(hào)的變化趨勢(shì)。

圖4. GHM 多小波、db4 小波去噪對(duì)比

圖5 為CL 多小波與db4 小波消噪后的信號(hào)對(duì)比圖，由圖5 可知，CL 多小波表現(xiàn)出較好的去噪性質(zhì)，去除了信號(hào)中的噪聲，獲取的變形趨勢(shì)與的db4 小波相差不大。

圖5. 采用CL 多小波與db4 小波消噪對(duì)比

圖6為用cardbal3 平衡小波，在GPS 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中消噪。采用平衡多小波消噪后的信號(hào)反應(yīng)了該點(diǎn)的位移趨勢(shì)，去除了噪聲，達(dá)到了消噪的目的，并且避免了預(yù)處理，節(jié)省了運(yùn)算時(shí)間。但平衡多小波尤其是高階平衡的多小波難以構(gòu)造，關(guān)于如何構(gòu)造更高階的平衡多小波以及對(duì)高階的非平衡多小波進(jìn)行平衡的問(wèn)題，還需要進(jìn)一步研究。

圖6. 平衡小波消噪與DB4 小波消噪對(duì)比

表1 為GHM 多小波、CL 多小波、Cardbal3 多小波與DB4 小波去噪在信噪比和均方根誤差方面的比較， GHM 多小波，Cardbal3 多小波采用合適的預(yù)處理方法進(jìn)行去噪可以達(dá)到比單小波還要好的去噪效果，提高了信噪比，降低了均方根誤差。CL 多小波去噪效果相對(duì)于其他方法較差。

表1. 不同多小波消噪效果比較

4 結(jié) 論

多小波是矢量小波，同時(shí)具有正交性、光滑性、緊支性、對(duì)稱性和消失矩等特性，在信號(hào)去噪中得到廣泛的應(yīng)用。本文給出基于多小波變換的GPS 信號(hào)噪聲去除方法，利用預(yù)濾波方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，多小波對(duì)GPS 變形信號(hào)進(jìn)行分析，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)噪聲的去除，對(duì)分析建筑物的變形起到了很好的幫助作用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， GHM 多小波，Cardbal3 多小波采用合適的預(yù)處理方法進(jìn)行去噪可以達(dá)到比單小波還要好的去噪效果，CL 多小波去噪效果相對(duì)于其他方法較差，是最為適合圖像壓縮編碼的多小波[12]。缺點(diǎn)是利用編程工具實(shí)現(xiàn)的多小波去噪程序處理速度比單小波慢，對(duì)實(shí)驗(yàn)用計(jì)算機(jī)的性能要求較高。因此，在實(shí)際工作應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際信號(hào)的特點(diǎn)和工作要求，選用合理的去噪方法，以滿足實(shí)際的需要。

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