有關(guān)P-半單BCI-代數(shù)直積的一些結(jié)論

劉軍

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

有關(guān)P-半單BCI-代數(shù)直積的一些結(jié)論

劉軍

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

利用P-半單BCI-代數(shù)的性質(zhì)，討論了P-半單BCI-代數(shù)是它的子代數(shù)的直積的條件。

P-半單BCI-代數(shù)；直積；周期

1 預(yù)備知識

定義1［1］設(shè) X是一個(gè)帶有常元0的集合，*是 X上的一個(gè)二元運(yùn)算，則＜X，*，0＞是一個(gè)P-半單BCI-代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?x，y，z∈X，

1）(x*y)*(x*z)=z*y，

2）x*0=x。

引理1［1］設(shè)＜X，*，0＞是BCI-代數(shù)，?x，y，z，u∈X，下列條件等價(jià)：

1）X是P-半單的；

2）x*(x*y)=y；

3）0*(x*y)=y*x；

4）x*(y*z)=z*(y*x)；

5）(x*y)*(x*z)=z*y；

6）x*(y*z)=(z*y)*(0*x)；

7）(x*y)*(z*u)=(x*z)*(y*u)；

8）(x*y)*(z*u)=(u*y)*(z*x)。

定義2［1］設(shè) X是一個(gè)BCI-代數(shù)，x∈X，如果存在k∈N+，使得0*xk=0，則稱x是有限周期的，記 k=|x|叫做x的周期。

定義3［2］設(shè) X是一個(gè)BCI-代數(shù)，x∈X，稱包含x的最小子代數(shù)為X的一個(gè)循環(huán)子代數(shù)，記為。

引理2［2］設(shè) X是一個(gè)P-半單BCI-代數(shù)，?x∈X，則={xn:n∈Z}。

定義 4［3］設(shè) ＜X1，*1，01＞和 ＜X2，*2，02＞是二個(gè)BCI-代數(shù)，X=X1×X2={(x1，x2):x1∈X1，x2∈X2}。定義運(yùn)算 (x1，x2)*(x1′，x2′)=(x1*1x1′，x2*2x2′)，0=＜01，02＞，則＜X，*，0＞是一個(gè)BCI-代數(shù)，稱X是X1和X2的直積，記X=X1?X2。

2 P-半單BCI-代數(shù)直積的一些結(jié)論

定理1 設(shè)P-半單BCI-代數(shù)＜X，*，0＞有兩個(gè)子代數(shù) ＜X1，*，0＞和 ＜X2，*，0＞，使 X= X1*X2，且 X1∩X2={0}，則 X?X1?X2。

證明 定義φ：X1?X2→X，φ(x1，x2)=x1*x2，

若 x1*x2=x1′*x2′，則(x1*x2)*(x1′*x2′)=0，即 (x1*x1′)*(x2*x2′)=0，且 (x1′*x2′)*(x1*x2)= 0，即 (x2*x2′)*(x1*x1′)=0，于是 x1*x1′=x2* x2′∈X1∩X2，則x1*x1′=x2*x2′=0。

同理x1′*x1=x2′*x2=0，即x1=x1′，x2=x2′，也即φ為單射。

又?x∈X，由 X=X1*X2，設(shè)x=x1*x2，則φ(x1，x2)=x1*x2=x，即φ為滿射。

而φ((x1，x2)*(x1′，x2′))=φ(x1*x1′，x2*x2′)= (x1*x1′)*(x2*x2′)=(x1*x2)*(x1′*x2′)=φ(x1，x2)* φ(x1′，x2′)。

于是

φ∈Hom(X1?X2，X)，

故

X?X1?X2。

定理2 設(shè)＜X，*，0＞是一個(gè)有限P-半單BCI-代數(shù)，則 X的每一個(gè)元素的周期都整除 X的階。

證明 ?x∈X，考慮序列 x1，x2，…，xm，…，因?yàn)?X的階有限，則?m，l∈N+，使得 xl=xm。不妨設(shè) l＞m ，于是 0=xl*xm=xm+(l-m)*xm= (xm*(0*xl-m))*xm=(xm*xm)*(0*xl-m)=0*(0* xl-m)=xl-m。

則

0*xl-m=0。

定理3 設(shè)＜X，*，0＞是一個(gè)P-半單BCI-代數(shù)，且 | X |為奇數(shù)，α∈Aut(X)，且 α2=1X。令X1={x∈X:α(x)=x}，X2={x∈X:α(x)=0*x}，則 X=X1?X2。

證明 ?x∈X，x*α(x)∈X，于是α(x*α(x))= α(x)*α2(x)=α(x)*x=0*(x*α(x))，則 x*α(x)∈X2。又 x*(0*α(x))∈X ，且 α(x*(0*α(x))= α(x)*(0*α2(x))=α(x)*(0*x)=x*(0*α(x))，則x*(0*α(x))∈X1。

又 (x*(0*α(x)))*(x*α(x))=(x*(x*α(x)))* (0*α(x))=(α(x)*(0*α(x)))=α(x)2，所以 α(x)2∈X1*X2。又α(x)∈X，且| X |為奇數(shù)，記| α(x)|=n為奇數(shù)，設(shè) n=2k+1，于是 α(x)=α(x)n-2k= α(x)n*α(x)-2k=0*(α(x)-2)k=0*(0*α(x)2)k，則α(x)∈X1*X2，即 X=X1*X2。

又 ?x∈X1∩X2，有 α(x)=x且 α(x)=0*x，所以x=0*x，于是x*(0*x)=0，即x2=0。又|X |為奇數(shù)，則 x=0，即 X1∩X2={0}，故 X= X1?X2。

定理4 設(shè)＜X，*，0＞是一個(gè)P-半單BCI-代數(shù)，f∈hom(X，X)，若 f2=f，則 X=Im f?Ker f。

證明 ?x∈X ， f(x*f(x))=f(x)*f2(x)=f(x)*f(x)=0，所 以 x*f(x)∈Ker f，于 是0*(x*f(x))∈Ker f。又x=0*(0*x)=(f(x)*f(x))* (0*x)=(x*f(x))*(0*f(x))=f(x)*(0*(x*f(x)))，所以 x∈Im f*Ker f，即 X=Im f*Ker f。又?x∈Im f∩Ker f，則 x∈Im f且 x∈Ker f。設(shè)x=f(x1)，x1∈X，且 f(x)=0，于是 x=f(x1)= f2(x1)=f(x)=0，所以Im f∩Ker f={0}。

故

X=Im f?Ker f。

定理5 設(shè) X1，X2是二個(gè)P-半單BCI-代數(shù)，若 f∈hom(X1，X2)，有 g∈hom(X2，X1)，使 g f∈Aut(X1)，則X2=Im f?Ker g。

證明 因?yàn)?g f∈Aut(X1)，則?α∈Aut(X1)，使α(gf)=(αg)f=1X1。又?x2∈X2，fαg(x2)∈X2，于是αg(x2*fαg(x2))=αg(x2)*(αgf)αg(x2)=αg(x2)* αg(x2)=0，所以 x2*fαg(x2)∈Ker(αg)，則0*(x2* fαg(x2))∈Ker(αg)。

又x2=x2*0=x2*(fαg(x2)*fαg(x2))=fαg(x2)* (fαg(x2)*x2)=(x2*fαg(x2))*(0*fαg(x2))=fαg(x2)* (0*(x2*fαg(x2)))，則 x2∈Im f*Ker(αg)，即 X2= Im f*Ker(αg)。

又 ?x∈Im f∩Ker(αg)，則 x∈Im f且 x∈Ker(αg)，于是?x1∈X1，使x=f(x1)。

又 x1=(αg)f(x1)=αg(x)=0 ，即 x=f(x1)= f(0)=0，則 Im f∩Ker(αg)={0}，于 是 X2= Im f?Ker(αg)。又?x2∈Ker g，則g(x2)=0，有αg(x2)=0，于是 x2∈Ker(αg)。又?x2∈Ker(αg)，則αg(x2)=0，又α∈Aut(X1)，則?α-1∈Aut(X1)，使 α-1α=1，于是 g(x2)=α-1αg(x2)=α-1(0)=0，則x2∈Ker g，即Ker(αg)=Ker g。

故X2=Im f?Ker g。

［1］ 孟杰，劉用麟.BCI-代數(shù)引論［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

［2］ Meng J.Powers of elements and sub-algebras in BCI-algebras［J］.Math Japon，1994，39：437-446.

［3］ 胡慶平.BCI-代數(shù)［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1987.

Conclusions on Direct Product of P-semi-simple BCI-algebra

LIU Jun
（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

The conditions are discussed when P-semi-simple BCI-algebra is its sub-algebra di?rect product，using the properties of the P-semi-simple BCI-algebra.

P-semi-simple BCI-algebra；direct product；period

O153.1

：A

：1673-0143（2013）02-0005-02

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2013－03－11

劉 軍（1959—），男，副教授，研究方向：代數(shù)學(xué)。