利用特征線法求解方程ut+b·Du+cu=0的初值問(wèn)題

吳建成

(江蘇科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

本文所研究的初值問(wèn)題[1-2]

式中:c∈R1,b=(b1,b2,…,bn)∈Rn都為常數(shù).x=(x1,x2,…,xn)為n維空間變量,t為時(shí)間變量,Du=(ux1,ux2,…,uxn),g(x)為已知函數(shù).

上述初值問(wèn)題中的方程(1)是具有常系數(shù)的一階齊次線性偏微分方程.在大多數(shù)常微分方程和偏微分方程教程中,對(duì)一階偏微分方程通常都進(jìn)行簡(jiǎn)單的處理,原因之一是具有很明顯應(yīng)用意義的偏微分方程，即位勢(shì)方程、熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程等，都是標(biāo)準(zhǔn)的二階偏微分方程.實(shí)際上,一階偏微分方程在變分法、質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和幾何光學(xué)中都出現(xiàn)過(guò),在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)和其他工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

一階偏微分方程的特點(diǎn)是:其通解可以通過(guò)解一個(gè)常微分方程組而得到,稱(chēng)這種求解方法為特征線法[2-5].而高階偏微分方程和一階偏微分方程組沒(méi)有這個(gè)特點(diǎn).特征線法是一種重要又實(shí)用的方法,利用該方法證明了半有界弦振動(dòng)的一維半線性波動(dòng)方程的間斷初邊值問(wèn)題的分片光滑解的全局存在性定理[6];用該方法給出了一類(lèi)倉(cāng)庫(kù)貨物儲(chǔ)存模型解的遞推表達(dá)式,并證明其光滑性，從而得到了經(jīng)典解的唯一性[7];通過(guò)運(yùn)用特征線法,討論了無(wú)粘性Burgers方程柯西問(wèn)題解的衰減估計(jì),并給出了證明[8];運(yùn)用特征線法給出了Born-Infeld方程的顯式表示[9]等等.特征線法除了可以運(yùn)用于理論證明,也可以用于數(shù)值計(jì)算和一些實(shí)際問(wèn)題的解決.

在方程(1)中,令c=0,則方程退化為齊次傳輸方程,初值問(wèn)題變?yōu)閭鬏敺匠痰某踔祮?wèn)題.傳輸方程的初值問(wèn)題已經(jīng)得到解決,并且得到了古典解,受其啟示,研究初值問(wèn)題(1～2),通過(guò)推導(dǎo)來(lái)尋找該初值問(wèn)題的古典解.方程(1)是一階偏微分方程的其中一種情況,因此可以利用特征線法來(lái)研究初值問(wèn)題(1～2).

1 利用特征線法來(lái)求解該初值問(wèn)題

下面定理理論上保證了初值問(wèn)題有解的存在唯一性.

定理[2]設(shè)曲線γ:(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))光滑,且f′2+g′2≠0,在點(diǎn)P0=(x0,y0,z0)=(f(s0),g(s0),h(s0))處行列式

又設(shè)a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在γ附近光滑.則初值問(wèn)題

在參數(shù)s=s0的某一領(lǐng)域內(nèi)存在唯一解.稱(chēng)這樣的解為局部解.

該定理可以推廣到n元函數(shù)u=u(x1,x2,…,xn)的具有如下形式的擬線性一階方程的情況.

(3)

式(3)的特征方程是常微分方程組

(4)

初值問(wèn)題是要在空間Rn+1中求滿足式(3)的積分曲面z=u(x1,x2,…,xn),使之通過(guò)用參數(shù)表示的n-1維超曲面γ:

過(guò)γ上每一個(gè)具有參數(shù)(s1,s2,…,sn-1)的點(diǎn)做特征曲線,即求出式(4)的當(dāng)t=0時(shí)，(x1,x2,…,xn,z)=(f1,f2,…,fN,h)的解

(5)

在條件

下,就能夠由式(5)前n個(gè)式子解出s1,s2,…,sn-1,t,將它們代入式(5)的第n+1個(gè)式子,就得到積分曲面z=u(x1,x2,…,xn),它就是初值問(wèn)題的解.

因?yàn)榫€性偏微分方程可以看作是擬線性偏微分方程的特殊情況,因此由以上對(duì)方程(3)初值問(wèn)題的處理,來(lái)解決初值問(wèn)題(1～2).

設(shè)參數(shù)τ=0時(shí)的初始超曲面為：

γ:x1=s1,x2=s2,…xn=sn,t=0,z=g(s1,s2,…,sn).

(6)

則常微分方程組

過(guò)初始曲面(6)的解為

(7)

又在γ上

則由式(7)的前n+1個(gè)方程可以解出

代入到式(7)的第n+2個(gè)方程可得

z=u(x,t)=g(x1-b1t,…,xn-bnt)e-ct=

g(x-bt)e-ct

(8)

它就是齊次傳輸方程初值問(wèn)題的解.

2 利用特征線法的一種特殊情況求解

這是一種更直接、更直觀的求解方法.設(shè)方程

ut+b·Du=0x∈Rn,t∈(0,∞)

(9)

有光滑解u(x,t).由方程的形式可以看出,u(x,t)沿一個(gè)具體方向的方向微商等于零.

事實(shí)上,固定一點(diǎn)(x,t)∈Rn+1,令

z(s)=u(x+bs,t+s)s∈R

于是

最后一步等于0是因?yàn)閡滿足方程(9).因此,函數(shù)z(s)在過(guò)點(diǎn)(x,t)且具有方向(b,1)∈Rn+1的直線上取常數(shù)值.所以,如果知道解u在這條直線上一點(diǎn)的值,則得到它沿此直線上的值.這就引出求解初值問(wèn)題(1～2)的方法.

先取定(x,t)∈Rn+1,對(duì)s∈R,令z(s)=u(x+bs,t+s),s∈R.則

-cu(x+bs,t+s)=-cz(s)

這是可分離變量的一階常微分方程,它的通解是

z(s)=ae-cs

式中a為任意常數(shù).

令s=-t,結(jié)合初值條件(2),可得

g(x-bt)=u(x-bt,0)=z(-t)=aect

由此得

a=g(x-bt)e-ct

z(s)=g(x-bt)e-cte-cs

令s=0,可得

u(x,t)=z(0)=g(x-bt)e-ct

(10)

此即所要求的初值問(wèn)題的解.

3 結(jié)論

如果問(wèn)題(1～2)有充分正則的解u,它一定是由式(8)給出.反之,容易驗(yàn)證:如果g∈C1,那么由式(8)定義的u確實(shí)是問(wèn)題(1～2)的解.

以上利用特征線法把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程求解了初值問(wèn)題(1～2),這是一種基本又重要的方法,它不僅適用于該初值問(wèn)題的求解,也適用于波動(dòng)方程及其他類(lèi)型的偏微分方程的求解.

[1] Evans L C.Partial differential equations[M].[S.l.]:American Mathematical Society, 1997:18-19.

[2] 陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2003:32-51.

[3] 姜禮尚,陳亞浙,劉西垣,等.數(shù)學(xué)物理方程講義[M].北京:高等教育出版社, 2003:33-37.

[4] 姜禮尚,孔德興,陳志浩.應(yīng)用偏微分方程講義[M].北京:高等教育出版社,2008:135-148.

[5] 魏雪蕊.一階偏微分方程的特征線法[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào), 2010,30(7):95-97.

Wei Xuerui.Method of characteristics of the first-order partial differential equation[J].JournalofShaoxingUniversity,2010,30(7):95-97.(in Chinese)

[6] 邵志強(qiáng).半線性波動(dòng)方程的分片光滑解[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2003,31(1):6-8.

Shao Zhiqiang.Piecewise smooth solutions of semilinear wave equation[J].JournalofFuzhouUniversity:NaturalScienceEdition,2003,31(1):6-8.(in Chinese)

[7] 孫萍, 林文清.一類(lèi)倉(cāng)庫(kù)貨物儲(chǔ)存模型經(jīng)典解的存在唯一性[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2007,26(2):11-14.

Sun Ping,Lin Wengqing.A mathematical model in goods storage of the warehouse[J].JournalofXinjiangNormalUniversity:NaturalScienceEdition, 2007,26(2):11-14.(in Chinese)

[8] 阮立志.無(wú)粘性Burgers方程黎曼問(wèn)題光滑近似解的高階衰減估計(jì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2006,25(4):97-100.

Ruan Lizhi.High-order decay estimates of solutions to the Riemann problem of the inviscid burgers equation[J].JournalofSouth-CentralUniversityforNationalities:NaturalScienceEdition, 2006,25(4):97-100.(in Chinese)

[9] 阮立志.Born-Infeld方程解的表示[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005,24(3):91-92.

Ruan Lizhi.The representation of general solutions to the Born-infeld equation[J].JournalofSouth-CentralUniversityforNationalities:NaturalScienceEdition, 2005, 24(3):91-92.(in Chinese)