基于隨機(jī)過(guò)程的磨料面形成方法研究

（延邊大學(xué)機(jī)械工程系，吉林 延 吉 1 33002）

磨料磨損是由外界硬質(zhì)顆?；蛴脖砻娴奈⒎逶谀Σ粮睂?duì)偶表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，引起表面擦傷與表面材料脫落的現(xiàn)象，也稱為(磨粒磨損)。其特征是在摩擦副對(duì)偶表面沿滑動(dòng)方向形成劃痕。對(duì)磨料磨損的分類[1]，當(dāng)前主要根據(jù)系統(tǒng)中是否存在第三體而分為二體磨料磨損和三體磨料磨損兩種形式。由于磨料磨損問(wèn)題的復(fù)雜性、材料的特性決定了磨料磨損問(wèn)題不存在通用的模型，所以對(duì)磨料磨損問(wèn)題的研究多依賴于從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到特性規(guī)律，因此，對(duì)磨料磨損計(jì)算及建模有重大的實(shí)際意義。但由于對(duì)磨料磨損機(jī)理的研究還不夠充分，長(zhǎng)期以來(lái)，人們主要是利用簡(jiǎn)化模型和基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行研究。

對(duì)磨料磨損機(jī)理的研究源于分析黏著磨損機(jī)制的Archard模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明其用于磨料磨損是可行的，并且在以后關(guān)于磨料磨損的很多模型都是以Archard模型為基礎(chǔ)的。該模型可表述為磨損率正比于載荷，磨損率與滑動(dòng)速度無(wú)關(guān)，磨損率與材料硬度成反比，雖然模型存在著一定的局限性，但一直都是研究摩擦磨損的經(jīng)典模型。Jacobson建立了二維的磨料磨損統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，該模型在Archard磨損模型基礎(chǔ)之上，運(yùn)用隨機(jī)函數(shù)，仿真了變化的磨粒高度、直徑的情況下的磨損情況，但是沒(méi)有考慮磨料磨損過(guò)程中，三維形狀參數(shù)的隨機(jī)模擬。Rabinowicz從接觸力學(xué)的角度研究了單顆粒切削模型，假設(shè)磨粒形狀為圓錐形，在切向力作用下，產(chǎn)生位移S，以犁出的溝槽推導(dǎo)了材料磨損率公式。該模型從力學(xué)角度對(duì)磨料磨損進(jìn)行了研究，為磨料磨損有限元方法研究奠定了一定基礎(chǔ)。

在近40年來(lái)的文獻(xiàn)中有300多個(gè)磨損公式，但都是在特定條件下并存在很大的局限性前提下得到的[2]。在磨料磨損過(guò)程中同時(shí)存在幾種機(jī)理，由于外界條件及材料組織的影響，磨損機(jī)理發(fā)生了變化，為了在模型中盡可能更多的引入?yún)?shù)的影響，綜合磨損機(jī)理的研究，使模型更符合實(shí)際情況，把磨損過(guò)程以隨機(jī)過(guò)程的方法建立數(shù)學(xué)模型，并用概率論的方法來(lái)描述和求解磨料磨損問(wèn)題是可行的[3]。圖1給出了磨料磨損系統(tǒng)中影響磨損的各種相關(guān)參數(shù)。

圖1 磨料磨損影響因素

1 基于隨機(jī)過(guò)程的磨料模型

1.1 磨粒形狀確定

磨料形狀的不規(guī)則性導(dǎo)致了無(wú)法通過(guò)確定的數(shù)值關(guān)系建立磨料模型，這就為仿真帶來(lái)了很大的困難。目前主要采取簡(jiǎn)化復(fù)雜形狀并將其視為簡(jiǎn)單幾何體，例如圓錐、棱錐、針形等。Stachowiak通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)分析認(rèn)為參與磨損的磨料壓入磨損表面的部分為圓錐形狀，并就此提出了“圓錐擬合分析法”并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬[4]。本文考慮在實(shí)際工況中，由于磨損過(guò)程一旦發(fā)生，磨料與工件表面之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)將導(dǎo)致材料的塑性變形，并且發(fā)生圍觀材料損失現(xiàn)象。為了更加真實(shí)地反映磨料磨損情況，以及數(shù)學(xué)模型的可實(shí)現(xiàn)性這兩方面因素，以圓臺(tái)型磨料實(shí)現(xiàn)磨料面的生成。圖2給出了任意形狀的磨料壓入情況，圖3為圓臺(tái)擬合磨料示意圖。

圖2 隨機(jī)形狀磨料磨損示意圖

圖3 圓臺(tái)擬合法磨料形狀

1.2 Monte Carlo方法求解磨料磨損問(wèn)題

由于磨料磨損過(guò)程的不確定性和隨機(jī)性，決定了對(duì)磨損問(wèn)題的研究不可能通過(guò)建立確定的模型來(lái)描述，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的方法在針對(duì)具體問(wèn)題時(shí)又失去了很多特有性質(zhì)，所得到的結(jié)果也是不真實(shí)的。因而通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法建立磨料磨損過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是一種重要的方法。Monte Carlo方法是一種采用統(tǒng)計(jì)抽樣理論近似求解數(shù)學(xué)、物理及工程問(wèn)題的方法，根據(jù)Monte Carlo基本解題思路，首先應(yīng)建立與磨料磨損過(guò)程相似的概率統(tǒng)計(jì)模型，然后進(jìn)行隨機(jī)模擬、求解。

文獻(xiàn)[4]對(duì)木里圖石英砂做了顆粒分布測(cè)試試驗(yàn)，通過(guò)對(duì)該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、篩選，得到了砂子粒徑呈正態(tài)分布，并就此得到粒徑的平均估計(jì)量值為：0.180，標(biāo)準(zhǔn)差為：0.027。故本文中磨料的幾何參數(shù)設(shè)為正態(tài)分布，在磨料面中的位置參數(shù)服從均勻分布。在圖3中，磨料的相關(guān)參數(shù)確定如下：

磨料底面中心在磨料面上位置的橫坐標(biāo)值x：均勻分布；

磨料底面中心在磨料面上位置的縱坐標(biāo)值y：均勻分布；

磨料底面半徑R：正態(tài)分布；

磨料頂面半徑r：正態(tài)分布；

磨料高度H：正態(tài)分布。

2 磨料面生成方法研究

2.1 磨料面隨機(jī)模型

在建立磨料面模型時(shí)，需要用到正態(tài)分布和隨機(jī)分布兩種分布規(guī)律。在用Monte Carlo方法進(jìn)行仿真的過(guò)程中，只要已知統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從理論上來(lái)說(shuō)就可以通過(guò)變換得到所需要的任何隨機(jī)變量。而當(dāng)以離散分布的隨機(jī)數(shù)代替連續(xù)分布的隨機(jī)數(shù)時(shí)，實(shí)際上計(jì)算機(jī)隨即發(fā)生器產(chǎn)生的是周期性出現(xiàn)的偽隨機(jī)數(shù)[5~6]。從表面上看和真正的隨機(jī)數(shù)是違背的，但是只要我們將得到的偽隨機(jī)數(shù)的數(shù)值序列數(shù)通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，就可以以此代替真正的隨機(jī)數(shù)。然后利用反函數(shù)法可以將偽標(biāo)準(zhǔn)分布的隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)換成所需要任何數(shù)值區(qū)間的正態(tài)分布和均勻分布的隨機(jī)變量。

式中，

準(zhǔn)為正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量；

γ1、γ2為（0，1）之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；

μ為正態(tài)分布N（μ，σ2）的均值。

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量所具有的概率密度為

則x在區(qū)間(m，n)上服從均勻分布，要得到該區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，將(0，1)區(qū)間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)的區(qū)間變換為(m，n)，有

式中，

φ為區(qū)間(m，n)上均勻分布的隨機(jī)變量；

γ為(0，1)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

通過(guò)上述關(guān)系的建立，從數(shù)學(xué)關(guān)系上可以實(shí)現(xiàn)磨料磨損過(guò)程中磨料參數(shù)的隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，真實(shí)地反映了磨料的分布情況。并且通過(guò)檢驗(yàn)區(qū)間(0，1)上的均勻分布的參數(shù)是否顯著，以此來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性。

2.2 磨料面生成算法研究

當(dāng)磨料隨機(jī)模型的參數(shù)確定后，需要考慮磨料在磨料面上的分布情況。磨料面的生成包括磨料本身幾何參數(shù)及磨料和平面之間的相對(duì)位置，以計(jì)算機(jī)模擬磨料面的生成需要算法實(shí)現(xiàn)在平面上的取點(diǎn)，并且放置新的磨料時(shí)候，需要去除上一磨料所占用的區(qū)域。除此之外，還要考慮具體的磨料的面密度情況來(lái)實(shí)現(xiàn)磨料的疏密程度，盡可能的避免磨料之間的重疊現(xiàn)象。本文以打靶法實(shí)現(xiàn)了磨料在磨料面上的取點(diǎn)，以圓臺(tái)型磨料底面位置參數(shù)作為程序控制點(diǎn)，首先指定第一點(diǎn)坐標(biāo)(x1，y1)及底面直徑D1，并判斷該點(diǎn)是否處在所處的區(qū)域內(nèi)，如果是則存儲(chǔ)該點(diǎn)參數(shù)值到預(yù)定義的結(jié)構(gòu)單元中，反之，則重新生成隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù)。在產(chǎn)生第二點(diǎn)坐標(biāo)(x2，y2)及底面直徑D2時(shí)，判斷第二點(diǎn)是否在指定區(qū)域內(nèi)，而且需要判斷第二點(diǎn)是否與第一點(diǎn)存在相交區(qū)域，如果兩個(gè)條件都滿足則存儲(chǔ)第二點(diǎn)到結(jié)構(gòu)體中，以此進(jìn)行直到達(dá)到所要求磨料密度值為止，圖4為磨料在磨料面上找點(diǎn)算法圖示。

圖4 磨料位置求點(diǎn)算法圖示

3 仿真實(shí)例驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)給定數(shù)值的磨料參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，使相對(duì)誤差控制在0.3%以內(nèi)，該方法在工程上是可行的。為了更準(zhǔn)確的驗(yàn)證該方法在磨料磨損仿真應(yīng)用上的可靠性，以MatLab軟件為平臺(tái)，利用MatLab自帶圖形函數(shù)并編寫算法程序?qū)崿F(xiàn)了圖5所示的磨料面形貌，可以對(duì)磨料面進(jìn)行三維觀察。圖中給出了3.0×3.0 mm范圍內(nèi)的磨料表面。

圖5 磨料面仿真形貌

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了磨料磨損過(guò)程中磨料面的形成規(guī)律，并利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法對(duì)磨料的參數(shù)進(jìn)行了建模，并以MatLab軟件為平臺(tái)編程仿真了磨料面的形成。通過(guò)仿真結(jié)果可以看出該方法為磨料磨損的仿真研究提供了方便、快捷及有效的手段。在以后的學(xué)習(xí)中將以此為基礎(chǔ)，進(jìn)行磨料磨損過(guò)程的仿真、有限元模型的研究。

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