卷積型小波變換實(shí)現(xiàn)及機(jī)械早期故障診斷應(yīng)用

羅 榮，田福慶，李克玉，丁慶喜

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系，武漢 430033)

機(jī)械故障診斷領(lǐng)域中通常采用內(nèi)積型小波變換，并利用Mallat算法實(shí)現(xiàn)其快速運(yùn)算。但Mallat算法用于機(jī)械故障診斷存有缺陷:① 該算法引入下采樣環(huán)節(jié)使分解長度隨分解層數(shù)的增加依次減半，從而使概貌信號信息量減少，時(shí)間分辨率降低，不利于機(jī)械故障特征提?。?］。若對Mallat算法分解后的頻帶進(jìn)行單支重構(gòu)，不僅會增加計(jì)算量，還會使信號產(chǎn)生畸變［2-3］。②任何實(shí)際濾波器組的幅頻特性與理想幅頻特性有一定差距使各濾波器頻帶有一定重疊及Mallat算法特有的上下抽樣環(huán)節(jié)，共同造成Mallat算法分解后的子帶存在頻率折疊，并非原信號的真實(shí)分量，會影響分析結(jié)果的可讀性，頻率折疊嚴(yán)重時(shí)還會造成誤判［4-6］。

為消除Mallat算法固有缺陷對機(jī)械故障特征提取的不利影響，更好應(yīng)用小波變換進(jìn)行機(jī)械故障診斷，文獻(xiàn)［4-5］提出單子帶重構(gòu)改進(jìn)算法，用FFT濾波原理強(qiáng)制型去掉多余頻率成分;文獻(xiàn)［6］提出的巴特沃斯小波變換算法基于性能優(yōu)良的巴特沃斯濾波器組實(shí)現(xiàn)無下抽樣環(huán)節(jié)的小波變換快速算法。本文提出摒棄內(nèi)積型小波變換，采用卷積型小波變換進(jìn)行機(jī)械故障診斷?；诖?，本文首先推導(dǎo)出卷積型小波變換快速分解算法，并給出基于濾波器組的遞歸分解實(shí)現(xiàn)方法。與Mallat算法相比，該快速算法不存在隔點(diǎn)取樣過程，只對上一尺度分解結(jié)果進(jìn)行移位，無論信號被分解多少層，每層分解所得逼近信號與細(xì)節(jié)信號長度始終與原始信號一致。因此該快速算法進(jìn)行故障特征提取無須單子帶重構(gòu)過程，計(jì)算量少，便于工程實(shí)現(xiàn)。更重要的是，由于不存在隔點(diǎn)取樣過程，該快速算法分解所得各子帶信號為信號的真實(shí)分量，不存在頻率折疊，有利于提取故障特征?？梢?，卷積型小波變換完全克服了內(nèi)積型小波變換不利于機(jī)械故障診斷問題。文獻(xiàn)［7］通過詳?shù)乇容^認(rèn)為卷積型小波變換對信號的處理效果優(yōu)于內(nèi)積型小波變換，不僅頻帶分離效果較內(nèi)積型小波變換優(yōu)越，且所提故障特征信息也較內(nèi)積型小波變換明顯。因此卷積型小波變換更適合機(jī)械故障特征提取。

針對滾動軸承早期故障診斷與定量識別難題與共振解調(diào)法、沖擊脈沖法的不足，本文提出將卷積型小波變換與共振解調(diào)法、沖擊脈沖法相結(jié)合的新方法對滾動軸承早期故障進(jìn)行診斷與定量識別，并給出具體實(shí)現(xiàn)過程。仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)例分析表明，卷積型小波變換能消除Mallat算法對機(jī)械故障特征提取的不利影響，用于機(jī)械故障診斷較內(nèi)積型小波變換優(yōu)勢明顯。本文所提新方法可有效實(shí)現(xiàn)對滾動軸承早期故障診斷與定量識別，具有一定應(yīng)用價(jià)值。

1 卷積型小波變換及快速分解算法

設(shè){Vj}j∈Z為空間L2(R)的正交多分辨率分析，φ(x)∈V0為{Vj}j∈Z的正交尺度函數(shù)，φ(x)∈W0為{Vj}j∈Z的正交小波函數(shù)，Wj為Vj在Vj-1中的正交補(bǔ)。由于Vj?Vj-1，Wj?Wj-1，所以Vj中元素 2-j/2φ(2-jx)與Wj中元素2-j/2ψ(2-jx)可分別用Vj-1的基表示:

設(shè)f(t)∈L2(R)，記ψ(t)以s為尺度的擴(kuò)張函數(shù)為:ψs(t)=1/sψ(t/s)，則f(t)與ψs(t)的卷積型連續(xù)小波變換定義為［8］:

令s=2j，x=k2j得:

可證明Wjf(k)與內(nèi)積型小波系數(shù)僅相差一個(gè)常數(shù)，故Wjf(k)即f(t)在Wj中的系數(shù)。

記φ(t)以s為尺度擴(kuò)張函數(shù)為:φs(t)=1/sφ(t/s)，且Ssf(x)=f(t)*φs(t)，再令s=2j，x=k2j，則有:

同樣可證明Sjf(k)與內(nèi)積型小波系數(shù)也僅相差一個(gè)常數(shù)，故Sjf(k)即f(t)在Vj中的系數(shù)。

1.1 卷積型小波變換快速分解算法推導(dǎo)

對Sjf(x)=f(t)*φj(t)等號兩邊對x求傅氏變換并將式(3)代入得:

將上式轉(zhuǎn)換到時(shí)域得:

令x=k2j得:

同理對細(xì)節(jié)系數(shù)有:

式(10)、(11)即為卷積型小波變換的快速分解算法，可采用基于濾波器組的遞歸分解方法實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)過程為:

對式(10)等號兩邊同時(shí)進(jìn)行z變換得:

同理:

式中:Wjf(k)為Sj-1f(k)通過濾波器1/G(z2j-1)后的輸出，G(z2j-1)由濾波器G(z)每兩點(diǎn)間插入2j-1-1個(gè)零所得。卷積型小波變換快速分解算法基于濾波器組的遞歸分解實(shí)現(xiàn)方法見圖1。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

通過兩個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)比較兩類小波變換對信號的處理效果。

圖1 卷積型小波變換快速分解算法基于濾波器組的遞歸分解實(shí)現(xiàn)方法Fig.1 The recursion realization of the fast decomposition algorithm of convolution type of wavelet transformation based on filter banks

2.1 兩類小波變換對多頻信號分解效果比較

設(shè)時(shí)間信號y(t)的表達(dá)式為:

即信號y(t)包含15 Hz，30 Hz，60 Hz，80 Hz，100 Hz，120 Hz，150 Hz等七個(gè)頻率成分。以512 Hz采樣率對此信號采樣512點(diǎn)，分別利用卷積型小波變換快速分解算法與Mallat算法對采樣信號進(jìn)行3層分解，所用小波均為db40小波，分解頻譜比較如圖2所示。信號y(t)的小波分解得到的各子帶理論上的頻率成分如表1所示。為便于比較，圖2內(nèi)積型小波分解頻譜為單支重構(gòu)頻譜。由圖2看出，卷積型小波變換所得各子帶無任何虛假頻率，為信號的真實(shí)分量，只因小波濾波器的非理想頻域截止特性造成子帶含相鄰子帶部分頻率成分。此因任何實(shí)際濾波器均不具有理想頻域截止特性所致。而Mallat算法分解所得子帶信號，不僅含相鄰子帶部分頻率成分，且存在頻率折疊，出現(xiàn)明顯的虛假頻率成分，如W1子帶 136 Hz，W2子帶 68 Hz，S3子帶34 Hz等。虛假頻率混在子帶信號中可致子帶信號發(fā)生畸變。如圖3中內(nèi)積型小波分解所得近似子帶S3提取的二倍頻信號出現(xiàn)明顯畸變，遠(yuǎn)不及卷積型小波變換提取的清晰，此因內(nèi)積型小波分解所得近似子帶S3中混有頻率34 Hz，幅值0.36的虛假成分所致。此仿真實(shí)驗(yàn)說明Mallat算法用于信號分解會產(chǎn)生嚴(yán)重頻率折疊，所得子帶信號并非信號的真實(shí)分量，不利于機(jī)械故障特征提取。而卷積型小波變換用于信號分解則不會產(chǎn)生任何頻率折疊，完全克服了Mallat算法產(chǎn)生頻率折疊缺陷。

表1 各子帶理論頻率成分Tab.1 Frequencys of bands under ideal conditions

圖2 兩類小波變換所得子帶頻譜比較Fig.2 The comparison between bands spectrums of two types of wavelet transformation

圖3 兩類小波變換所得近似子帶S3比較Fig.3 The comparison between approximate bands of two types of wavelet transformation

2.2 兩類小波變換對多載波調(diào)幅信號各調(diào)幅波及調(diào)制信息提取效果比較

由于軸承故障振動信號大多由復(fù)雜的具有多載波與多調(diào)制的調(diào)幅波，從中提取各調(diào)幅波并進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)即可提取故障特征信息進(jìn)行故障診斷。設(shè)多載波調(diào)幅信號為:

對式(15)信號以512 Hz采樣率采樣512點(diǎn)，如圖4所示。① 分別利用卷積型小波變換快速分解算法與Mallat算法對該信號進(jìn)行2層分解(用db40小波)，分解結(jié)果及頻譜如圖5、圖6所示。② 分別對兩類小波變換的分解結(jié)果進(jìn)行希爾伯特解調(diào)，所得包絡(luò)及包絡(luò)譜如圖7、圖8所示。比較圖5、圖6可知，卷積型小波變換分解所得各子帶未產(chǎn)生虛假頻率，較完美地提取出各調(diào)幅波;而Mallat算法分解所得子帶則有明顯虛假頻率，以致其對各調(diào)幅波的提取效果不及卷積型小波變換。比較圖7、圖8可知，卷積型小波變換分解結(jié)果包絡(luò)基本與各調(diào)幅波真實(shí)包絡(luò)一致，而內(nèi)積型小波變換分解結(jié)果包絡(luò)較粗糙并與真實(shí)包絡(luò)相差較大，甚至包絡(luò)譜中出現(xiàn)虛假譜峰。因此，卷積型小波變換對多載波調(diào)幅信號各調(diào)幅波及調(diào)制信息的提取效果好于內(nèi)積型小波變換。此仿真實(shí)驗(yàn)說明Mallat算法產(chǎn)生的頻率折疊會影響內(nèi)積型小波變換對各調(diào)幅波及調(diào)制信息的準(zhǔn)確提取，不利于機(jī)械特征提取。

由以上兩仿真實(shí)驗(yàn)可知，卷積型小波變換分解所得子帶是信號的真實(shí)分量，無頻率折疊;內(nèi)積型小波變換所得子帶則存在嚴(yán)重頻率折疊。頻率折疊嚴(yán)重時(shí)必會影響故障特征提取，導(dǎo)致機(jī)械故障診斷困難，甚至?xí)斐烧`診。故卷積型小波變換較內(nèi)積型小波變換更適合機(jī)械故障診斷。

圖4 多載波調(diào)幅信號及其頻譜Fig.4 The amplitude modulation signal and its spectrum

圖5 卷積型小波變換后各子帶信號及頻譜Fig.5 The results of convolution wavelet transformation and their spectrums

圖6 內(nèi)積型小波變換后各子帶及頻譜Fig.6 The results of traditional wavelet transformation and their spectrums

圖7 卷積型小波變換后各子帶包絡(luò)及包絡(luò)譜Fig.7 The envelopes of results of convolution wavelet transformation and their spectrums

圖8 內(nèi)積型小波變換后各子帶包絡(luò)及包絡(luò)譜Fig.8 The envelopes of results of traditional wavelet transformation and their spectrums

3 滾動軸承早期故障診斷與定量識別新方法提出

滾動軸承運(yùn)轉(zhuǎn)中會因各種原因?qū)е缕溥^早損壞，如裝配不當(dāng)、潤滑不良、水分及異物侵入、腐蝕等。即使安裝、潤滑及使用維護(hù)正常，經(jīng)過一段時(shí)間運(yùn)轉(zhuǎn)也會出現(xiàn)疲勞剝落及磨損而不能正常工作。因此，對滾動軸承早期故障進(jìn)行診斷、準(zhǔn)確判定其損傷的嚴(yán)重程度，預(yù)防重大事故發(fā)生，成為故障診斷領(lǐng)域中重要研究方向［9］。

共振解調(diào)法可將軸承缺陷信息從復(fù)雜的調(diào)幅振動中分離出來，是目前滾動軸承故障診斷中常用方法之一。共振解調(diào)技術(shù)關(guān)鍵在于帶通濾波的實(shí)現(xiàn)。但傳統(tǒng)的共振解調(diào)技術(shù)中，通常采用單一帶通濾波器濾除混雜在信息中的無用成分以提高信噪比。主要問題有:① 傳統(tǒng)帶通濾波器參數(shù)選擇取決于操作者經(jīng)驗(yàn)及歷史數(shù)據(jù)，獲得滿意結(jié)果前需多次嘗試，費(fèi)時(shí)費(fèi)力［10］;②滾動軸承發(fā)生故障時(shí)，通常不止一個(gè)載波頻率，用單一帶通濾波器進(jìn)行包絡(luò)分析，難全面提取隱含在振動信號各調(diào)制頻帶內(nèi)的故障信息特征，甚至包絡(luò)譜中出現(xiàn)非故障特征頻率的譜峰。因此，傳統(tǒng)的共振解調(diào)技術(shù)對滾動軸承中晚期故障診斷雖有一定效果，但不適合滾動軸承早期故障診斷［9］。

沖擊脈沖法是另一種簡單適用的滾動軸承故障檢測方法由瑞典SPM公司提出，被公認(rèn)為對診斷滾動軸承局部損傷故障工程實(shí)用性最強(qiáng)的方法［11］。滾動軸承各元件存在缺陷時(shí)，在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中損傷點(diǎn)會反復(fù)快速撞擊與之接觸的其它元件表面而發(fā)生沖擊，引起脈沖性振動。沖擊脈沖的強(qiáng)弱代表故障的嚴(yán)重程度，因此沖擊脈沖的大小可用于對故障程度進(jìn)行定量識別。沖擊脈沖法即通過檢測沖擊點(diǎn)處的沖擊波幅值判定軸承工作狀態(tài)及定量識別故障程度［9，11］。然而，沖擊脈沖值不僅與軸承的油膜厚度、操作程度有關(guān)，且與軸承幾何尺寸及轉(zhuǎn)速有關(guān)。為得到衡量各種滾動軸承狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)，SPM公司規(guī)定了只與軸承工作狀況有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)分貝值，即表示沖擊值的增加率，并給出標(biāo)準(zhǔn)分貝值的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式［9，12-13］:

式中:dBn為標(biāo)準(zhǔn)分貝值;N為軸轉(zhuǎn)速(r/min);D為軸承內(nèi)徑(m);SV為沖擊值(m/s2)。軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中最大標(biāo)準(zhǔn)分貝值dBn，max即可定量識別故障程度。實(shí)踐證明，對穩(wěn)態(tài)運(yùn)行設(shè)備，評定各類軸承的工作狀態(tài)的dBn，max為:

(1)0 dB≤dBn，max≤21 dB 正常狀態(tài)，軸承工作狀態(tài)良好;

(2)21 dB≤dBn，max≤35 dB 輕微故障，軸承早期損傷;

(3)35 dB≤dBn，max≤60 dB 嚴(yán)重故障，軸承已有明顯損傷。

沖擊脈沖法可有效判定軸承工作狀態(tài)及準(zhǔn)確定量識別故障，卻不能確定故障具體位置。卷積型小波變換與內(nèi)積型小波變換相同，為較精細(xì)的小波分解方法，具有良好時(shí)頻局域化功能及優(yōu)良帶通濾波功能，無須重構(gòu)過程，便于工程實(shí)現(xiàn)，分解的各子帶信號不存在頻率折疊，具有較內(nèi)積型小波變換更好的頻帶分離特性。因此，為彌補(bǔ)共振解調(diào)法與沖擊脈沖法不足，實(shí)現(xiàn)故障的準(zhǔn)確定位與定量識別，本文將卷積型小波變換引入共振解調(diào)法與沖擊脈沖法中，提出將卷積型小波變換與共振解調(diào)法、沖擊脈沖法相結(jié)合的新方法對滾動軸承早期故障進(jìn)行診斷與定量識別，具體過程如下:

(1)將原始振動信號按卷積型小波變換快速分解算法進(jìn)行分解;

(2)將分解所得各子帶進(jìn)行Hilbert包絡(luò)解調(diào)得各子帶包絡(luò)，對包絡(luò)進(jìn)行快速FFT變換得各個(gè)子帶包絡(luò)譜，即可從中提取滾動軸承早期故障特征，從而定位故障到具體元件;

(3)將各子帶包絡(luò)譜幅值作為沖擊值代入式(16)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分貝值，提取各子帶故障特征頻率處對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分貝值;

(4)選取各子帶中同一故障特征頻率對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)分貝值的最大值dBn，max，對滾動軸承故障進(jìn)行定量識別。

4 實(shí)例分析

據(jù)實(shí)驗(yàn)臺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)時(shí)用電火花制造支撐軸承外圈點(diǎn)蝕損傷模擬早期微弱損傷故障，為支撐軸承座加墊片模擬平行不對中故障。支撐軸承為6205深溝球軸承，幾何參數(shù)為:軸承節(jié)徑39.04 mm，滾動體直徑7.94 mm，滾動體9個(gè)，接觸角0°。實(shí)驗(yàn)時(shí)軸轉(zhuǎn)頻約29 Hz。據(jù)上述參數(shù)計(jì)算出外圈故障特征頻率為103 Hz。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采樣頻率8 kHz，數(shù)據(jù)長度為8 192點(diǎn)，數(shù)據(jù)單位為10 m/s2。

4.1 兩類小波變換對外圈故障特征提取效果比較及故障定量識別

圖9為所測故障振動信號及頻譜。對此故障振動信號分別進(jìn)行4層卷積型小波分解與內(nèi)積型小波分解，所用小波均為db40。卷積型小波分解所得細(xì)節(jié)子帶W1，W2，W3的包絡(luò)譜與內(nèi)積型小波分解所得細(xì)節(jié)子帶W1，W2，W3的包絡(luò)譜比較見圖10。由圖10知，卷積型小波分解所得細(xì)節(jié)子帶W1，W2，W3的包絡(luò)譜在外圈故障特征頻率103 Hz及2，3，4倍頻處均出現(xiàn)明顯譜線，而內(nèi)積型小波分解所得細(xì)節(jié)子帶W1，W2，W3的包絡(luò)譜僅在外圈故障特征頻率103 Hz及2倍頻處出現(xiàn)明顯譜線。說明卷積型小波提取的外圈故障特征好于內(nèi)積型小波。卷積型小波分解所得細(xì)節(jié)子帶W1，W2，W3的包絡(luò)譜分貝值見圖11。由圖11知，卷積型小波分解各子帶外圈故障特征頻率及倍頻對應(yīng)的分貝值最大為25.61 dB。說明滾動軸承外圈存在早期損傷故障。因此本文提出的卷積小波包絡(luò)解調(diào)方法可有效診斷并定量識別滾動軸承早期故障。

圖9 振動信號及頻譜Fig.9 The vibration signals and its spectrum

4.2 兩類小波變換對不對中故障特征提取效果比較

對此故障信號分別進(jìn)行6層卷積型小波分解與內(nèi)積型小波分解，所用小波均為db40。卷積型小波與內(nèi)積型小波分解所得第6層近似子帶S6及頻譜見圖12、圖13。由圖12知，卷積型小波分解所得子帶S6為基頻分量29.3 Hz與二次諧波分量57.62 Hz的疊加。說明經(jīng)卷積型小波“去粗存精，層層剝離”分解，所得近似信號即“骨架”較清楚地提取到不對中故障的兩倍頻振動現(xiàn)象。由圖13可知，內(nèi)積型小波提取的兩倍頻振動現(xiàn)象明顯不及卷積型小波提取到的清晰。因?yàn)閮?nèi)積型小波分解所得子帶S6中存在虛假頻率成分67.38 Hz。此虛假頻率經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)由Mallat算法中隔點(diǎn)插零環(huán)節(jié)由頻率折疊所致。67.38 Hz即為二次諧波分量57.62Hz關(guān)于S6子帶理論上最大頻率62 Hz的映像，該映像經(jīng)重構(gòu)低通濾波器后未完全濾掉而留在S6子帶中。由此可見，小波濾波非理想特性及Mallat算法上下抽樣環(huán)節(jié)共同造成了Mallat算法中的頻率折疊;而卷積型小波無上下抽樣環(huán)節(jié)，不會產(chǎn)生頻率折疊，且分解后的頻帶無須重構(gòu)。故卷積型小波變換無上下抽樣環(huán)節(jié)使其在機(jī)械故障診斷中較內(nèi)積型小波變換更具優(yōu)勢。

圖10 兩類小波變換后各子帶包絡(luò)譜比較Fig.10 The comparison between bands envelope spectrums of two types of wavelet transformation

圖11 卷積型小波變換后各子帶包絡(luò)譜分貝值圖Fig.11 The dB values of bands envelope spectrums of convolution wavelet transformation

圖12 卷積型小波變換后子帶S6及其頻譜Fig.12 The band S6 of convolution wavelet transformation and its spectrum

圖13 內(nèi)積型小波變換后子帶S6及其頻譜Fig.13 The band S6 of traditional wavelet transformation and its spectrum

5 結(jié)論

(1)與內(nèi)積型小波變換相比，卷積型小波變換無須重構(gòu)過程，便于工程實(shí)現(xiàn)，分解的各子帶不存在頻率折疊，具有較內(nèi)積型小波變換更好的頻帶分離特性，可消除Mallat算法存在頻率折疊等固有缺陷對機(jī)械故障診斷的不利影響。

(2)采用卷積型小波變換進(jìn)行機(jī)械故障診斷，推導(dǎo)出卷積型小波變換快速分解算法，給出基于濾波器組的遞歸分解實(shí)現(xiàn)方法。

(3)提出的將卷積型小波變換與共振解調(diào)法、沖擊脈沖法相結(jié)合的新方法及具體實(shí)現(xiàn)過程，彌補(bǔ)了滾動軸承早期故障診斷與定量識別難題及共振解調(diào)法、沖擊脈沖法的不足。

(4)卷積型小波變換能消除Mallat算法存在頻率折疊等固有缺陷對機(jī)械故障診斷的不利影響，用于機(jī)械故障診斷較內(nèi)積型小波變換更有優(yōu)勢。本文所提新方法可有效實(shí)現(xiàn)對滾動軸承早期故障診斷與定量識別，具有一定工程應(yīng)用價(jià)值。

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