三種湍流模型對導管螺旋槳空化性能計算的比較

李 超，周其斗，潘雨村，陶 山

海軍工程大學艦船工程系，湖北武漢430033

0 引 言

空化是在水力機械中和高速水下航行體表面經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象。空化的發(fā)生常常導致水力機械過流部件表面嚴重破壞，并產(chǎn)生強烈的空化噪聲。與此同時，對于螺旋槳，還常伴隨著推進效率的下降。由于空化測試成本較高，如何準確地對空化流動進行數(shù)值模擬一直是計算流體動力學（CFD）領(lǐng)域關(guān)心的問題。目前，對于螺旋槳不考慮空化條件下的性能計算已經(jīng)比較成熟［1-2］。在近年的研究中，常采用在兩相流模型［3］的基礎(chǔ)上增加空化模型來進行空化模擬。在各種空化模型［4-5］中，Rayleigh-Plesset 空化模型應(yīng)用較廣泛，并獲得了較好的計算結(jié)果［6］。湍流模型常選擇標準k-ε 模型［7］，錢忠東等［8］對不同湍流模型對水翼性能數(shù)值計算的影響進行了對比分析，但對不同湍流模型對螺旋槳空化性能模擬計算精度的影響缺少必要的研究。

本文將以某單位設(shè)計的BD12+D4-70 型導管螺旋槳為例，借助通用計算流體力學軟件，采用Rayleigh-Plesset 空化模型和3 種不同的湍流模型，對該槳在3 個不同空化數(shù)條件下進行了數(shù)值模擬，得到在不同湍流模型、不同空化數(shù)條件下導管螺旋槳的空泡性能，并與已有試驗數(shù)據(jù)進行比對。同時，還將分析不同湍流模型、不同空化數(shù)對槳葉、導管相關(guān)空泡性能計算的影響，定性的比較3 種湍流模型對空化數(shù)的敏感程度。

1 數(shù)學模型

采用Rayleigh-Plesset 空化模型，在該空化模型的控制方程方面，連續(xù)方程為

動量方程為

空化過程描述方程為

式中：μt為渦粘系數(shù)；SM為流體質(zhì)點所受的質(zhì)量力；RB為氣泡半徑；pv為汽化壓力；p 為環(huán)境壓強；ρf為液體的密度；σ 為氣泡與液體之間的表面張力系數(shù)。

在確定渦粘系數(shù)μt時，將其與湍流時均參數(shù)聯(lián)系起來，即形成湍流模型。本文為了比較不同湍流模型對空化模擬結(jié)果的影響，分別采用了標準k-ε 模型、RNG k-ε 模型和k-ω 模型。

1.1 標準k-ε 模型

在標準k-ε 模型中，湍動能和耗散率的控制方程為

式中：Sk和Sε為用戶自定義的源項；μt為湍流粘性系數(shù)；模型常數(shù)為cμ=0.09，c1=1.44，c2=1.92，σk=1.0，σε=1.3。

1.2 RNG k-ε 模型

RNG k-ε 模型是基于重整化群（Renormaliza?tion Group）的理論提出，經(jīng)改進，其控制方程與標準k-ε 模型形式相同，但模型常數(shù)略有差異：cμ=0.085，c2ε=1.68，σk=σε=0.717 9 。主 要 區(qū)別在于，c1不再是常數(shù)，而是表示為η（湍流時間尺度與平均應(yīng)變率之比）的函數(shù)：

式中，η0=4.38；β=0.015。 RNG k-ε 模型增加了平均應(yīng)變率的影響。

1.3 k-ω 模型

式中：β′=0.09；α=5/9；β=0.075；σk=2；σω=2。

2 計算模型

本文的具體研究對象是由某單位設(shè)計的BD型導管+D 系列螺旋槳。導管的剖面形狀和螺旋槳葉片展開輪廓圖如圖1 所示。槳葉直徑為0.24 m，螺距比為1.4，盤面比為0.7，共有4 片槳葉，導管內(nèi)壁與槳葉葉梢間隙為1.5 mm。

在此基礎(chǔ)上，利用Gambit 對該導管螺旋槳進行了三維建模，如圖2 所示。本文的數(shù)值模擬采用多重參考系MFR 方法，將流域分為靜域和動域。螺旋槳所在區(qū)域（區(qū)域1）為動域，其余為靜域（區(qū)域2～區(qū)域5）。

圖1 導管剖面圖和螺旋槳葉片展開輪廓Fig.1 Section plane of duct and propeller blade

圖2 計算采用的導管螺旋槳的幾何外形、表面網(wǎng)格和流域劃分Fig.2 Geometry of ducted propeller，surface grids and partitions of fluid domain

導管螺旋槳所在的流域為一個長2.8 m，直徑1.6 m 的圓柱形區(qū)域，流域被分為5 個部分進行網(wǎng)格劃分。由于導管螺旋槳的幾何模型較復雜，因此，在區(qū)域1 和區(qū)域2 采用適應(yīng)性強的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進行劃分，而在區(qū)域3～區(qū)域5 則選用六面體單元劃分網(wǎng)格。此計算模型共有512 444 個節(jié)點，2 447 659 個體單元（其中無高度傾斜的體單元）。

進行數(shù)值計算時，均使用相同的邊界條件：進口為均勻來流，入流速度為3 m/s；出口選取CFX中outlet 的static pressure 條件；葉片、導管和槳轂采用無滑移絕熱壁面條件；遠場區(qū)域速度與來流相同；動、靜域之間采用CFX 中以GGI 方式連接的Frozen Rotor 參考坐標系轉(zhuǎn)換方法。在進行空化性能計算時，汽化壓力選為25℃時水的汽化壓力，為3 574 Pa。

3 數(shù)值計算結(jié)果

由試驗圖譜可知，在空化數(shù)為σ =2.4，3.3，4.5這3 種情況下，在進速系數(shù)J = 0.6～0.9 時，空化性能與無空化的敞水性能相差較大。因此，在進行計算時，進速系數(shù)的選取范圍為0.6～0.9?？赏ㄟ^保持入流速度不變，調(diào)整螺旋槳轉(zhuǎn)速來改變進速系數(shù)。

3.1 不考慮空化的敞水性能計算結(jié)果

由于空泡計算對計算的初始值要求較高，因此本文在進行數(shù)值模擬時先不考慮空泡，先采用3 種不同的湍流模型對導管螺旋槳的敞水性能進行計算，待其收斂后再以此時的值為初始值，分別用不同的湍流模型進行空泡性能計算。根據(jù)在不考慮空泡情況下的計算結(jié)果，得出在J = 0.6，0.7，0.8，0.9 處的敞水性能KT，KQ，η 與試驗所得的敞水性能曲線對比如圖3 所示。

3 種不同湍流模型計算的相對誤差如表1 所示。由表中可看出，推力系數(shù)KT、扭矩系數(shù)KQ及推進效率η 的計算結(jié)果誤差均約為5%，滿足工程預報的要求，同時，也證明了采用數(shù)值模擬計算導管螺旋槳敞水性能的可靠性。

表1 3 種不同湍流模型計算的相對誤差Tab.1 Calculation errors of different turbulence models

圖3 不同湍流模型的敞水性能計算結(jié)果Fig.3 Open water performance calculated by different turbulence models

3.2 不同空化數(shù)下的空泡性能計算結(jié)果

空化數(shù)σ 是空化流動的一個重要參數(shù)，直接影響著空泡的大小及空化發(fā)生的位置，進而影響到空化性能。本文對空化數(shù)σ = 2.4，3.3，4.5 這3種不同的情況進行了空泡性能計算。在定義出口為static pressure 條件時，輸入的相對壓力即為遠場的環(huán)境壓力，空化數(shù)的調(diào)整是通過改變此環(huán)境壓力來實現(xiàn)的。計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的對比如圖4～圖6 所示。

圖4 標準k-ε 湍流模型的空泡性能計算結(jié)果Fig.4 Cavitation performance calculated by standard k-ε model

圖5 RNG k-ε 湍流模型的空泡性能計算結(jié)果Fig.5 Cavitation performance calculated by RNG k-ε model

圖6 k-ω 湍流模型的空泡性能計算結(jié)果Fig.6 Cavitation performance calculated by k-ω model

4 計算結(jié)果對比與分析

4.1 相同空化數(shù)不同湍流模型的計算結(jié)果比較分析

在相同空化數(shù)條件下，對不同湍流模型計算結(jié)果的相對誤差進行了比較，如表2 所示（以σ =3.3 為例，其他空化數(shù)條件下的規(guī)律相似）。由表中數(shù)據(jù)可知，標準k-ε 模型與RNG k-ε 模型的計算結(jié)果相當接近；在計算槳葉的推力系數(shù)KTP和扭矩系數(shù)KQ時，k-ω 模型相比其他兩種模型計算誤差稍大，但仍在允許范圍內(nèi)，推進效率η 的計算誤差均在5%以內(nèi)，符合工程預報的要求。

另外，從表中還可以看到，隨著進速系數(shù)的增大，誤差逐漸減小。尤其是在計算扭矩系數(shù)時，當J ＜0.8 時，相對誤差較大，最大達到了10%以上（k-ω 模型，J = 0.6 時），而當J = 0.9 時，相對誤差則明顯較小。

表2 σ =3.3 時3 種不同湍流模型計算的相對誤差Tab.2 Calculation errors of different turbulence models at σ =3.3

在計算過程中，發(fā)現(xiàn)相對于另外兩種模型而言，k-ω 模型計算所用時間更短，并且更加容易收斂。這種情況與文獻［1］中計算螺旋槳敞水性能時的情況相似。

另外，對于導管螺旋槳的數(shù)值計算，還要考察導管推力系數(shù)的計算結(jié)果。同樣以σ =3.3 時的情況為例，3 種湍流模型的導管推力系數(shù)的計算結(jié)果相對誤差如表3 所示。由表中數(shù)據(jù)可以看出，在進速系數(shù)較低時，如J =0.6，0.7 時，標準k-ε 模型與RNG k-ε 模型的計算結(jié)果嚴重失真，誤差最大接近20%（RNG k-ε 模型，J =0.6時），而k-ω 模型的計算結(jié)果則比較穩(wěn)定，始終控制在10%左右。

綜合以上情況可知，k-ω 模型更適于導管螺旋槳空化性能的計算。

4.2 相同湍流模型不同空化數(shù)的計算結(jié)果比較分析

同一種湍流模型在不同空化數(shù)條件下的計算精度并不相同。其中，k-ω 模型對于不同空化數(shù)的計算精度如表4 所示，其余兩個模型的規(guī)律與之相似。由表4 可以發(fā)現(xiàn)，σ = 2.4 時的計算精度最差，隨著空化數(shù)的增大，計算精度隨之上升。眾所周知，在較低的空化數(shù)條件下，空化的發(fā)生與發(fā)展均相對較劇烈；在較低的進速系數(shù)（σ ＜0.7）下，槳葉推力系數(shù)的計算精度仍在10%以內(nèi)，而扭矩系數(shù)KQ的計算精度則較差，相對誤差最大達到13%（σ = 2.4，J = 0.6 時）。進速系數(shù)的減小，相當于入流速度不變，螺旋槳轉(zhuǎn)速增加，從而導致螺旋槳的空化愈發(fā)劇烈。以上兩種情況可以總結(jié)為，當空化較劇烈時，數(shù)值計算精度將會下降，其原因可以歸結(jié)為兩點：一是本文選用的Ray?leigh-Plesset 空化模型是一種簡化的空化模型，對于比較劇烈、復雜的空化，模型失真比較大，從而造成計算精度的下降；二是當空化發(fā)生劇烈時，對網(wǎng)格質(zhì)量的要求也進一步提高了，但原有的網(wǎng)格并沒有相應(yīng)改進，從而造成計算精度下降。

同樣，仍以k-ω 模型為例考察導管推力系數(shù)的計算精度。不同空化數(shù)條件下的計算相對誤差如表5 所示。由表中可以看出，當σ = 2.4時，計算結(jié)果誤差較大，隨著空化數(shù)的增大，誤差逐漸降低。這種情況同樣可以用上面所述的兩點原因解釋。

表4 k-ω 湍流模型不同空化數(shù)下數(shù)值計算相對誤差Tab.4 Calculation errors of k-ω turbulence model at different cavitation numbers

表5 不同空化數(shù)下k-ω 模型計算導管推力系數(shù)的相對誤差Tab.5 Calculation errors of duct's thrust coefficient by k-ω turbulence model at different cavitation numbers

4.3 不同湍流模型對空化數(shù)的敏感性

不同的湍流模型對空化數(shù)的敏感程度不同。以進速系數(shù)J = 0.7 為例，槳葉推力系數(shù)與扭矩系數(shù)的計算相對誤差的浮動情況如圖7 所示。由圖中可以看出，在計算槳葉推力系數(shù)時，在不同空化數(shù)條件下，3 種模型計算的相對誤差波動相似，但在扭矩系數(shù)的計算中，k-ω 模型的計算相對誤差隨空化數(shù)的改變而變化較大。這說明k-ω 模型對空化數(shù)比較敏感。因此，對于不同的空化數(shù)，計算精度相差會較大。相比k-ω 模型，k-ε 模型和RNG k-ε 模型對空化數(shù)不敏感，對于不同的空化數(shù)，計算時，計算精度相差較小。

圖7 J =0.7 時不同湍流模型計算相對誤差波動Fig.7 The variation of calculation errors of different turbulence models at J =0.7

表3 σ =3.3 時3 種不同湍流模型計算導管推力系數(shù)的相對誤差Tab.3 Calculation errors of duct's thrust coefficent by different turbulence models at σ =3.3

5 結(jié) 論

本文借助于CFD 軟件，采用結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格相結(jié)合的方法，對導管螺旋槳的空泡性能進行了數(shù)值模擬，對比分析了不同湍流模型、不同空化數(shù)條件下的計算結(jié)果精度，得出以下結(jié)論：

1）在對導管螺旋槳進行不考慮空化的敞水性能計算時，3 種湍流模型的計算精度均較好，滿足工程預報的精度要求。

2）對導管螺旋槳進行空化性能計算時，標準k-ω 模型更加穩(wěn)定，計算所用時間更短，且更加容易收斂。但對于槳葉推力系數(shù)的計算，k-ω 模型的計算精度不及標準k-ε 模型與RNG k-ε 模型，但是三者的計算相對誤差都在允許范圍內(nèi)。在對導管推力系數(shù)的計算中，尤其是在低進速系數(shù)下，標準k-ε 模型和RNG k-ε 模型嚴重失真，但是k-ω 模型的計算精度仍然能夠得到保證。綜合以上情況，k-ω 模型相比標準k-ε 模型和RNG k-ε 模型更加適合導管螺旋槳的空化性能計算。

3）在空化數(shù)或進速系數(shù)較低時，空化的發(fā)生相對來說會較劇烈，在這種情況下進行空泡性能的計算計算精度不理想。若想提高精度，需要選取更為精確的空化模型，或進一步調(diào)整網(wǎng)格，提高網(wǎng)格質(zhì)量。

4）在不同空化數(shù)條件下，標準k-ε 模型與RNG k-ε 模型計算的相對誤差波動較小，而k-ω模型則較大。這說明在計算時，k-ω 模型對空化數(shù)σ 比較敏感。

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