挖掘“圖形”本質(zhì) 凸顯“運(yùn)動”變化——由《圖形的旋轉(zhuǎn)》兩次教學(xué)設(shè)計(jì)帶來的思考

周華紅

（句容市華陽中心小學(xué)，江蘇 句容 212400）

一、初步感知，《圖形的旋轉(zhuǎn)》的案例設(shè)計(jì)

（一）教材和學(xué)情分析

本節(jié)課是蘇教版四年級下冊第八單元《對稱、平移和旋轉(zhuǎn)》的第三課時圖形的旋轉(zhuǎn)，這部分內(nèi)容主要教學(xué)在方格紙上把一個簡單圖形按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°。教材例題聯(lián)系日常生活中的收費(fèi)站道口的轉(zhuǎn)桿打開和關(guān)閉的過程，分別教學(xué)順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)桿打開和關(guān)閉，從這種現(xiàn)象本身能比較清楚地看出旋轉(zhuǎn)的中心、方向和角度這三個關(guān)鍵要素，有助于學(xué)生進(jìn)一步體會圖形旋轉(zhuǎn)的特征。考慮到教學(xué)的難點(diǎn)，教材精心選擇有60°角的直角三角形作為操作對象，再通過動手時間實(shí)踐積累經(jīng)驗(yàn)，既練習(xí)了在方格紙上旋轉(zhuǎn)圖形的方法，又為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中探索平面圖形的面積公式作了初步的準(zhǔn)備。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)片段

片段一：準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)

1.從生活中找一找哪些物體的運(yùn)動方式屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

2.在方格紙上嘗試畫一條線段或圖形的旋轉(zhuǎn)，并說一說是怎樣旋轉(zhuǎn)的。

片段二：探究性學(xué)習(xí)

1.實(shí)物感知，研究線段的旋轉(zhuǎn)

（1）出示例1情境圖（見教材）。

汽車進(jìn)入小區(qū)大門，轉(zhuǎn)桿打開、關(guān)閉時是怎樣運(yùn)動的？先用手勢比劃，再說一說。

（2）仔細(xì)觀察并想象轉(zhuǎn)桿打開和關(guān)閉的過程，轉(zhuǎn)桿旋轉(zhuǎn)有什么相同和不同的地方？

（3）出示鐘面，轉(zhuǎn)桿打開與關(guān)閉，哪一種與時針的旋轉(zhuǎn)方向相同？介紹順時針旋轉(zhuǎn)、逆時針旋轉(zhuǎn)。

（4）你能描述轉(zhuǎn)桿打開和關(guān)閉時的旋轉(zhuǎn)方向和角度嗎？

（5）小結(jié)：通過剛才的學(xué)習(xí)我們知道了一個圖形圍繞一個中心點(diǎn)按一定的方向旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)就形成了旋轉(zhuǎn)。

2.實(shí)踐操作，研究面的旋轉(zhuǎn)

（1）出示例2（見教材）。

①說說旋轉(zhuǎn)90度你是怎樣理解的？②先想象一下旋轉(zhuǎn)后的位置嗎？③在方格紙上把三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度。

（2）畫一畫：把三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度后的圖形畫下來。學(xué)生操作，組織交流。

片段三：延展性學(xué)習(xí)

1.基本應(yīng)用

（1）旋轉(zhuǎn)長方形：如果把這個長方形繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90度，你能想象出旋轉(zhuǎn)后的圖形嗎？

（2）旋轉(zhuǎn)三角形：要將這個三角形繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

2.拓展應(yīng)用

把三角形繞A點(diǎn)順時針連續(xù)三次旋轉(zhuǎn)90°，它的運(yùn)動軌跡會是怎樣的呢？

3.綜合應(yīng)用

談話：其實(shí)今天學(xué)習(xí)的旋轉(zhuǎn)和我們前面學(xué)過的對稱平移在我們的生活中無處不在，下面我們一起去欣賞由它們構(gòu)成的多姿多彩的生活。（課件播放）

（三）團(tuán)隊(duì)評價

1.主要優(yōu)點(diǎn)

（1）利用信息技術(shù)的優(yōu)勢為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動、直觀、形象、快捷的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生樂于參與數(shù)學(xué)活動，較好地完成了教學(xué)任務(wù)。

（2）注重環(huán)節(jié)的銜接，細(xì)節(jié)處理比較到位。在設(shè)計(jì)中，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，體會圖形旋轉(zhuǎn)前后之間的變化。

（3）能正視學(xué)生的錯誤，善于變“錯”為寶，合理利用錯誤資源，在練習(xí)過程中引導(dǎo)學(xué)生自我判斷糾錯。

2.商榷之處

（1）在準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)階段的要求比較細(xì)碎而且偏高。在第二塊探究性學(xué)習(xí)對例1的小結(jié)中提到“一個圖形圍繞一個中心點(diǎn)按一定的方向旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)就形成了旋轉(zhuǎn)”。我們認(rèn)為，第一：語言偏于理性，超出了四年級學(xué)生理解的能力，第二：“一個中心點(diǎn)”說法有待商榷（旋轉(zhuǎn)是按一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不是中心點(diǎn)）。

（2）從對學(xué)情的分析來看，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力已經(jīng)比較強(qiáng)了，在基本應(yīng)用環(huán)節(jié)中，長方形旋轉(zhuǎn)后圖形的畫法指導(dǎo)是可以放手給學(xué)生自主交流。同時根據(jù)已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對于“先確定哪條邊的位置和格數(shù)”這個問題，我們的意見是，第一：學(xué)生的空間注意力停留在長方形的整體上，不需要教師再次提醒將注意力關(guān)注在長方形的邊上；第二：先確定的邊有兩種選擇，不是單一的，所以這樣的提問欠妥當(dāng)。

二、再次感悟，《圖形的旋轉(zhuǎn)》的意義建構(gòu)

（一）我們的疑問

（1）旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)的三要素是讓學(xué)生體會到還是用語言概括出來？

（2）教學(xué)中是教師起主導(dǎo)作用要求學(xué)生畫旋轉(zhuǎn)圖形，還是以學(xué)生為主體感受到畫出旋轉(zhuǎn)圖形的必要？

（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中是由點(diǎn)、線、面結(jié)合分層教學(xué)，還是從整體出發(fā)學(xué)生直接嘗試圖形的旋轉(zhuǎn)？

（二）我們的思考

我們對原來的教學(xué)設(shè)計(jì)和課件重新進(jìn)行了整合，努力做到四個關(guān)注，關(guān)注過程：感受生活原型→探究知識形成；關(guān)注發(fā)展：技能訓(xùn)練→思維提升；關(guān)注情感：積累經(jīng)驗(yàn)→體驗(yàn)成功；關(guān)注整合：教材資源→生成資源。

（三）我們的設(shè)計(jì)

片段一：復(fù)習(xí)導(dǎo)入

在三年級的時候我們對平移和旋轉(zhuǎn)已經(jīng)有了一定的研究，你能說說在日常生活中你都見過哪些旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。老師這兒帶來了一個表，仔細(xì)看看這個表的指針發(fā)生了什么運(yùn)動？

片段二：感受、體會、操作圖形的旋轉(zhuǎn)

1.學(xué)生初步感知

在我們的身邊有許多美麗的圖形也都是利用旋轉(zhuǎn)制作出來的。下面，讓我們一起來欣賞兩個圖形的運(yùn)動過程，看看它們之間有什么相同點(diǎn)，又有哪些不同之處？（課件演示）

相同點(diǎn)：都是由一個簡單的圖形繞著一點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的。

不同點(diǎn)：所選用的簡單圖形不同。一個用的是橢圓形，一個用的是正六邊形。

2.由簡單到復(fù)雜

出示大風(fēng)車標(biāo)志，你認(rèn)為它是怎樣繪制出來的？

利用學(xué)具袋中的基本圖形1在方格紙上自己動手繪制一個《大風(fēng)車劇場》的標(biāo)志。請一位同學(xué)到前面的展臺上演示自己的操作方法。

3.由復(fù)雜到簡單（分析復(fù)雜圖形的形成過程）

其實(shí)在我們身邊還有很多的物品和圖案也都是通過對一個簡單的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)而制作出來的。下面就讓我們一起來看一看，分別說說由什么圖形怎樣旋轉(zhuǎn)而成的。

片段三：小組合作設(shè)計(jì)美麗的圖形

1.做一回設(shè)計(jì)師

設(shè)計(jì)要求

（1）每人從學(xué)具袋中任選一個圖形作為基本圖形。

（2）以這個圖形的一個頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，使這個圖形在方格紙上依次旋轉(zhuǎn)90°得到一組新的圖形。

（3）用水彩筆把你設(shè)計(jì)的新圖形在方格紙上畫出來。

2.展示學(xué)生的杰作

先讓其他同學(xué)猜想這個圖形的繪制方法，然后再由創(chuàng)作者本人點(diǎn)評。

三、系統(tǒng)定位，《圖形的運(yùn)動》的價值追問

（一）概念的理解

《圖形的旋轉(zhuǎn)》是《圖形的運(yùn)動》一個內(nèi)容，而《圖形的運(yùn)動》還包括平移、旋轉(zhuǎn)和對稱。學(xué)習(xí)“圖形的運(yùn)動”的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動變化的角度去探索和認(rèn)識空間與圖形，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

對于這部分內(nèi)容，小學(xué)生通過操作活動直觀感受到，平移就是沿著一定的方向移動了一定的距離；旋轉(zhuǎn)就是繞一個點(diǎn)轉(zhuǎn)動一定的角度。對于小學(xué)生就夠了，但是作為老師，這樣還是不行的，我們還要弄清它們的基本特征和構(gòu)成要素。無論平移還是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，我們關(guān)注的是其運(yùn)動過程，也就是說要看這個圖形是經(jīng)過一個什么樣的過程運(yùn)動到另一個位置的。

（二）目標(biāo)的把握

在課程標(biāo)準(zhǔn)的每一個學(xué)段對《圖形的運(yùn)動》都有具體的要求。從整體上看，整個小學(xué)階段都只是初步認(rèn)識圖形的運(yùn)動，都不要求對三種運(yùn)動做出一般化的描述，更不要求給出定義。具體目標(biāo)可概括為：積累感性認(rèn)識，形成初步表象，其外顯的表現(xiàn)就是“能識別”“會畫圖”，離定性的認(rèn)識、定量的研究還有一定距離。因此，學(xué)習(xí)的主要方式是結(jié)合實(shí)例，通過觀察與動手操作來進(jìn)行，而且還規(guī)定了畫圖的行為條件“在方格紙上”。兩個階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，呈現(xiàn)螺旋上升式的遞進(jìn)，但遞進(jìn)又是細(xì)微的。

（三）學(xué)習(xí)的價值

學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價值主要有兩方面：第一，現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的“圖形的運(yùn)動”的現(xiàn)象，希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認(rèn)識和把握這些現(xiàn)象。第二，需要特別強(qiáng)調(diào)的是，運(yùn)動對刻畫圖形的價值?，F(xiàn)在很多幾何主要研究的就是運(yùn)動下的不變量。比如小學(xué)主要接觸的是全等運(yùn)動，研究的是在全等運(yùn)動下不變的東西，這時我們把能夠重合的圖形看成是一樣的。

四、多維互動，《圖形的運(yùn)動》的策略探尋

（一）選取典型例子，感知圖形運(yùn)動的現(xiàn)象

教學(xué)圖形運(yùn)動時，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，由觀察實(shí)例切入教學(xué)。這一教學(xué)策略，符合兒童的思維特點(diǎn)和這部分內(nèi)容的教學(xué)定位。生活中有許多物體的運(yùn)動可以看作平移或旋轉(zhuǎn)。事實(shí)上，正是由于學(xué)生在生活中或多或少地接觸過平移或旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，他們認(rèn)識圖形的平移或旋轉(zhuǎn)才有了可靠的基礎(chǔ)。但另一方面，生活中的平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，并不是數(shù)學(xué)意義上的平移或旋轉(zhuǎn)。

我們來分析下面三種不同的教學(xué)活動設(shè)計(jì)。

活動一：請學(xué)生表演健美操的走步與轉(zhuǎn)身動作，作為平移、旋轉(zhuǎn)的觀察例子，一人表演，眾人觀察；

活動二：讓學(xué)生自己用各種動作表示平移、旋轉(zhuǎn)，同桌互相表演，再全班交流；

活動三：讓學(xué)生用鉛筆頭表示交通工具在方格紙上平移或旋轉(zhuǎn)。

教學(xué)實(shí)踐表明，三種活動都富有童趣，都能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，后兩種活動還做到了人人參與。差異表現(xiàn)在：

實(shí)施活動一時，學(xué)生對健美操走步時的跳躍現(xiàn)象產(chǎn)生了質(zhì)疑。爭論后形成的共識是走步才是平移，但實(shí)質(zhì)上跳躍與走步在這里并沒有本質(zhì)上的區(qū)別。

實(shí)施活動二時，學(xué)生大多數(shù)能夠自覺區(qū)分移動與轉(zhuǎn)動，但平移與旋轉(zhuǎn)的要素顯示不明顯，甚至似是而非。如不少學(xué)生以為旋轉(zhuǎn)就是轉(zhuǎn)圈。

實(shí)施活動三時，平移與旋轉(zhuǎn)的要點(diǎn)反映得比較清楚。特別是旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過討論，學(xué)生在教師指點(diǎn)下得到了以三種不同的旋轉(zhuǎn)中心（鉛筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點(diǎn)），進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

因此，從盡可能地接近數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)來看，活動三更具有數(shù)學(xué)的典型意義，它有利于我們避開干擾，把學(xué)生的注意力集中到平移與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的數(shù)學(xué)意義上來。

（二）重視操作活動，體會圖形運(yùn)動的特征

加強(qiáng)學(xué)生的操作活動，也是提高圖形運(yùn)動教學(xué)成效的一條重要策略。首先，這一教學(xué)策略迎合了小學(xué)生好動的年齡特征，把“好動”引導(dǎo)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上來。其次，它又切合了教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生主要是從運(yùn)動角度去認(rèn)識平移與旋轉(zhuǎn)的。

教學(xué)中除了用好教材提供的一系列活動，如折紙、剪紙，拉、轉(zhuǎn)、拼等之外，教師還可以根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，自行設(shè)計(jì)一些活動。例如，讓學(xué)生用橡皮表示小烏龜，在課桌上按指令移動，體驗(yàn)平移的特點(diǎn)。又如，讓學(xué)生站立并伸直右臂，向左轉(zhuǎn)、向右轉(zhuǎn)，獲得逆時針旋轉(zhuǎn)90度、順時針旋轉(zhuǎn)90度的切身感受。再比如，讓學(xué)生親自照鏡子，通過觀察鏡子內(nèi)外人的位置的關(guān)系感悟鏡面對稱的特點(diǎn)。

當(dāng)然，操作還應(yīng)該與適當(dāng)?shù)南胂笙嘟Y(jié)合。低年級可以先操作然后再去回想運(yùn)動的過程，到了高年級可以先去想象，然后再去操作，然后再回想，體會出運(yùn)動的特征。

（三）利用已有經(jīng)驗(yàn)，探索圖形運(yùn)動的方法

在方格紙上畫圖，是一種特殊的操作活動，它在圖形運(yùn)動初步認(rèn)識的教學(xué)過程中，具有不可或缺的作用。因?yàn)閷W(xué)會畫圖是學(xué)生必須達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時它又是反映學(xué)生是否理解有關(guān)概念，掌握有關(guān)特征的表現(xiàn)形式與檢測手段。

例如，教學(xué)在方格紙上畫出一個圖形的另一半，使它成為一個軸對稱圖形，可以先讓學(xué)生觀察方格紙上的軸對稱圖形，分析每一組對應(yīng)點(diǎn)與對稱軸的關(guān)系。找出規(guī)律之后，再讓學(xué)生獨(dú)立嘗試把圖畫完整。課堂上可以通過同學(xué)間的交流，讓他們自己總結(jié)畫軸對稱圖形的經(jīng)驗(yàn)，得出較為合理的步驟：先定頂點(diǎn)→再連線成形。

要具體指導(dǎo)在方格紙上把一個圖形進(jìn)行平移的方法。在方格紙上平移圖形時，平移的方向比較容易判斷，但平移的距離卻常常容易出錯，而且學(xué)生畫出的平移后的圖形也常常不能與原圖形全等。怎樣突破這一教學(xué)難點(diǎn)？指導(dǎo)具體的平移方法是關(guān)鍵。第一，選點(diǎn)。也就是在原圖形上選擇幾個能決定圖形形狀和大小的點(diǎn)。第二，移點(diǎn)。也就是按要求把選擇的點(diǎn)向規(guī)定的方向平移規(guī)定的格數(shù)。第三，連點(diǎn)成形。上述三個步驟既便于學(xué)生理解操作，又與平移運(yùn)動的本質(zhì)特征相一致。但教學(xué)時，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生先主動嘗試，在積累了一些操作經(jīng)驗(yàn)后，再逐步歸納出操作的步驟和要領(lǐng)。

第二學(xué)段，教學(xué)在方格紙上畫旋轉(zhuǎn)90°的圖形時，可以先讓學(xué)生用學(xué)具放在方格紙上，按要求轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，再畫下來。然后討論兩條邊轉(zhuǎn)動了哪里，由此逐步引出畫圖步驟。之所以先“轉(zhuǎn)”，再“畫”，是由于動手旋轉(zhuǎn)學(xué)具比畫圖容易。學(xué)生通過操作，看清楚了旋轉(zhuǎn)后圖形的位置，再來討論怎樣畫，就比較容易找到畫圖的方法。

（四）結(jié)合思維訓(xùn)練，加強(qiáng)圖形運(yùn)動的建模

在讓學(xué)生觀察生活中的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時，要注意引導(dǎo)他們忽略一些無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)，著重從圖形運(yùn)動的角度去觀察、去思考。

例如，觀察對稱現(xiàn)象時，常常使用天安門、蝴蝶等照片。就實(shí)物而言，它們除了關(guān)于直線的對稱，還有其他的對稱，因此，有必要把它們簡化、抽象成圖案（平面圖形），再來對折、研究。對事物的簡化與抽象也是數(shù)學(xué)建模的第一步，這樣既有利于學(xué)生感知軸對稱圖形的特點(diǎn)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。

此外，在觀察生活中的平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時，要引導(dǎo)學(xué)生著眼于整體，不要被一些細(xì)節(jié)所糾纏。如火車在一段平直的軌道上行進(jìn)的過程，可以看作是平移。但如果考慮到車輪的滾動，整個火車的運(yùn)動就不那么簡單了。為了避免學(xué)生誤解，教學(xué)時可以提醒學(xué)生關(guān)注事物的整體，也可以強(qiáng)調(diào)指出：火車車身的運(yùn)動可以看作平移?？梢?，舍去一些與研究主題無關(guān)的非本質(zhì)屬性，既是一種能力的培養(yǎng)，也是一種避免無謂糾纏的教學(xué)策略。

（五）挖掘有利因素，突出圖形運(yùn)動的價值

學(xué)習(xí)圖形與運(yùn)動內(nèi)容的一個重要目的是使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界，因此，教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生從運(yùn)動的角度欣賞圖形，設(shè)計(jì)圖案。例如，在生活中隨處可見的美麗圖案，學(xué)生在觀察這些圖案時，將發(fā)現(xiàn)其中包含的熟悉的圖形；將運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光分析圖案的組成，如是否運(yùn)用了運(yùn)動；將欣賞這些各具特色的圖案，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的對稱美、和諧美、簡明美；將以此為啟發(fā)，發(fā)揮自己的個性和創(chuàng)造力，親自動手設(shè)計(jì)圖案以靈活運(yùn)用所學(xué)知識和技能，并從中體會創(chuàng)造的艱辛與樂趣。

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