含有新算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則學(xué)習(xí)的有效樣例設(shè)計(jì)*

(遼寧師范大學(xué)心理學(xué)院,大連 116029)

1 問(wèn)題提出

早期的樣例學(xué)習(xí)研究關(guān)注的是問(wèn)題解決樣例的學(xué)習(xí)對(duì)問(wèn)題解決的促進(jìn)作用。有研究發(fā)現(xiàn)(Cooper&Sweller,1987),與單純的問(wèn)題解決練習(xí)相比,學(xué)習(xí)問(wèn)題解決的樣例能夠減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷,有助于問(wèn)題解決規(guī)則的學(xué)習(xí)與運(yùn)用或問(wèn)題解決圖式的獲得。在問(wèn)題解決的樣例學(xué)習(xí)中,如果被試不能很好地理解其中的原理或規(guī)則,就傾向于使用一般的問(wèn)題解決策略(如手段-目的分析)和一些表面策略(如復(fù)制-修改策略,copy-and-adapt)(Renkl &Atkinson,2007),而這些策略往往會(huì)增加外在認(rèn)知負(fù)荷,影響問(wèn)題的解決。因此,在問(wèn)題解決的樣例學(xué)習(xí)中,如何根據(jù)具體的問(wèn)題情境,掌握和運(yùn)用具體的解題規(guī)則是至關(guān)重要的(Renkl,Hilbert,&Schworm,2009)。Carroll(1994)對(duì)高中生數(shù)學(xué)樣例學(xué)習(xí)的研究發(fā)現(xiàn),高分組學(xué)生能夠從樣例中更快地概括出其中的規(guī)則并應(yīng)用于問(wèn)題解決中,而低分組的被試則難以進(jìn)行規(guī)則的總結(jié)和相似問(wèn)題的解決。Renkl(2002)的研究也發(fā)現(xiàn),成功的學(xué)習(xí)者在樣例學(xué)習(xí)時(shí)所經(jīng)常使用的一個(gè)自我解釋策略就是基于規(guī)則進(jìn)行推理,即試圖去確定樣例中的目標(biāo)結(jié)構(gòu)并對(duì)達(dá)到目標(biāo)的規(guī)則進(jìn)行精細(xì)加工。這些樣例學(xué)習(xí)的研究結(jié)果表明,問(wèn)題解決樣例學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是能否領(lǐng)悟和正確運(yùn)用隱含在樣例中的問(wèn)題解決規(guī)則。

為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟和運(yùn)用隱含在樣例中的問(wèn)題解決規(guī)則,學(xué)者們已經(jīng)開(kāi)發(fā)出一些樣例設(shè)計(jì)方法,例如：子目標(biāo)編碼(Catrambone,1996;邢強(qiáng),莫雷,2002;張奇,林洪新,2005)、完整與不完整的樣例(Atkinson &Renkl,2007)、樣例學(xué)習(xí)的自我解釋(Chi,Bassok,Lewis,Reimann,&Glaser,1989)、正誤樣例的對(duì)比(Kopp,Stark,&Fischer,2008;Tsovaltzi,Melis,McLaren,Meyer,Dietrich,&Goguadze,2010)、正誤樣例的組合(Groβe &Renkl,2007),等等。這些樣例設(shè)計(jì)方法在問(wèn)題解決樣例的學(xué)習(xí)中發(fā)揮了一定的作用,并得到一些實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。

可是,如果在數(shù)學(xué)運(yùn)算樣例中出現(xiàn)被試沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的新的代數(shù)運(yùn)算符號(hào)(以下簡(jiǎn)稱為“新算符”)時(shí),由于被試不理解新算符的運(yùn)算涵義,就影響了樣例學(xué)習(xí)的效果。例如,在小學(xué)生代數(shù)運(yùn)算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)研究中發(fā)現(xiàn),六年級(jí)學(xué)生中只有少數(shù)被試能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用“完全平方和”代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,多數(shù)被試不能學(xué)會(huì)運(yùn)用“平方差”代數(shù)運(yùn)算規(guī)則(林洪新,張奇,2007)。究其原因,可能是由于小學(xué)生不理解樣例中所包含的代數(shù)運(yùn)算符號(hào)(如a和b)的運(yùn)算涵義。

如何在運(yùn)算樣例中幫助學(xué)生領(lǐng)悟新算符的運(yùn)算涵義,從而掌握新的運(yùn)算規(guī)則,這是樣例設(shè)計(jì)中要解決的一個(gè)新課題。當(dāng)然可以在新算符的旁邊加上注釋或說(shuō)明,用來(lái)解釋新算符的運(yùn)算含義并說(shuō)明其運(yùn)算規(guī)則。但是,這樣做既增加了樣例學(xué)習(xí)的認(rèn)知負(fù)荷,又降低了樣例學(xué)習(xí)的難度,不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)。所以,如何采用更為簡(jiǎn)捷而有效的方法設(shè)計(jì)新算符,幫助學(xué)生利用已知的運(yùn)算規(guī)則領(lǐng)悟新算符所表示的運(yùn)算規(guī)則,是一個(gè)有待探索的研究課題。張奇、萬(wàn)瑩、林洪新和曲可佳(2012)經(jīng)過(guò)對(duì)一些算符的認(rèn)真分析后明確指出,任何新的或?qū)W生未知的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)都可以用學(xué)生已知的運(yùn)算規(guī)則或標(biāo)記來(lái)表示,并幫助學(xué)生理解新算符的運(yùn)算涵義。例如：a可以用a=a×a來(lái)表示,這樣可以幫助未學(xué)過(guò)乘方運(yùn)算的學(xué)生理解 a的涵義,從而理解和掌握乘方運(yùn)算的規(guī)則。這種新算符的樣例設(shè)計(jì)方法稱之為“解釋法”,即用學(xué)生已知的乘法運(yùn)算規(guī)則來(lái)理解未知的乘方運(yùn)算符號(hào)。這種“解釋法”不同于以往所采用的文字解釋和標(biāo)注性解釋,它可以直接寫(xiě)在運(yùn)算樣例中。采用“解釋法”設(shè)計(jì)運(yùn)算樣例中的新算符能否提高樣例學(xué)習(xí)的效果,需要實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。

用“解釋法”可以設(shè)計(jì)一些運(yùn)算樣例中的新算符,但并不是所有含有新算符的樣例設(shè)計(jì)都適合解釋法。例如,指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算樣例中的對(duì)數(shù)符號(hào)就很難用解釋法進(jìn)行設(shè)計(jì)。因此,必須開(kāi)發(fā)出適應(yīng)各種新算符樣例學(xué)習(xí)的多種設(shè)計(jì)方法。目前開(kāi)發(fā)出的新算符設(shè)計(jì)方法除了“解釋法”還有“逆運(yùn)算法”和“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”等。本研究的目的就是采用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”設(shè)計(jì)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的運(yùn)算樣例、采用“解釋法”設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)運(yùn)算的樣例,并分別考察這兩種設(shè)計(jì)方法是否能夠促進(jìn)被試對(duì)新算符及其所隱含的運(yùn)算規(guī)則的領(lǐng)悟和運(yùn)用。

所謂“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”是從“子目標(biāo)編碼”發(fā)展而來(lái)的。子目標(biāo)編碼是Catrambone(1994)、Catrambone,Jones,Jonides和Seifert(1995)提出的一種促進(jìn)問(wèn)題解決樣例學(xué)習(xí)效果的樣例設(shè)計(jì)方法。所謂“子目標(biāo)編碼”,最初是將問(wèn)題解決樣例中的每個(gè)解題步驟(子目標(biāo))采用解題順序的編碼“標(biāo)記”出來(lái),使學(xué)生更容理解每步運(yùn)算的子目標(biāo)以及與問(wèn)題解決總目標(biāo)的關(guān)系,這樣做可以幫助學(xué)生更好地掌握問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和解決問(wèn)題各個(gè)步驟之間的關(guān)系,從而幫助他們更好理解和運(yùn)用解決問(wèn)題的規(guī)則。該方法在問(wèn)題解決樣例的學(xué)習(xí)中收到明顯效果,在二年級(jí)小學(xué)生學(xué)習(xí)四則混合運(yùn)算規(guī)則等研究中也取得明顯效果(Catrambone,1996;邢強(qiáng),莫雷,2002;張奇,林洪新,2005)。我們進(jìn)一步設(shè)想,如果在指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算的樣例中把兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系“標(biāo)記”出來(lái),可能更利于學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)換規(guī)則的理解和掌握。其實(shí),這種“標(biāo)記”方法已經(jīng)不同于“子目標(biāo)編碼”了。它標(biāo)記的不是解題的步驟或順序,而是轉(zhuǎn)換運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢园阉Q為“子目標(biāo)編碼”的發(fā)展或一種變式。該方法是否有效有待下面實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。

基于上述設(shè)想,本研究以初三學(xué)生為被試,實(shí)驗(yàn)一考察“轉(zhuǎn)換標(biāo)記”在指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)中的有效性,實(shí)驗(yàn)二考察采用解釋法設(shè)計(jì)的對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例在對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)中的遷移效果,同時(shí)考察學(xué)生的已有知識(shí)(指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則)對(duì)其遷移效果的影響。

根據(jù)上述分析,提出以下實(shí)驗(yàn)假設(shè)：(1)采用轉(zhuǎn)換標(biāo)記的樣例能夠促進(jìn)被試指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的遷移效果;(2)采用解釋法設(shè)計(jì)的對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例,能夠有效地提高被試對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的遷移成績(jī),且已掌握相關(guān)基礎(chǔ)運(yùn)算規(guī)則的被試其學(xué)習(xí)遷移效果優(yōu)于未掌握相關(guān)基礎(chǔ)運(yùn)算規(guī)則的被試。

研究的創(chuàng)新意義在于,在已有樣例設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)上,開(kāi)發(fā)出兩種新的用于設(shè)計(jì)含有新算符運(yùn)算樣例的方法——“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”和“解釋法”,并分別在指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算的樣例學(xué)習(xí)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的樣例學(xué)習(xí)中驗(yàn)證其學(xué)習(xí)遷移的效果,即新方法的有效性。

2 實(shí)驗(yàn)一 轉(zhuǎn)換標(biāo)記樣例對(duì)轉(zhuǎn)換運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用

2.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h3>

考察初中三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)采用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”設(shè)計(jì)的指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算樣例的遷移效果是否優(yōu)于學(xué)習(xí)普通樣例的遷移效果。

2.2 實(shí)驗(yàn)方法

2.2.1 被試選取

從某城市普通中學(xué)的初中三年級(jí)學(xué)生中通過(guò)“前測(cè)”篩選出120名被試,男生60名,女生60名,將其編號(hào)隨機(jī)分為4個(gè)樣例學(xué)習(xí)組：第一組和第二組的被試學(xué)習(xí)采用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記”設(shè)計(jì)的樣例,第三組和第四組被試學(xué)習(xí)普通的運(yùn)算樣例,每組30人。

2.2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證有無(wú)轉(zhuǎn)換標(biāo)記和樣例的數(shù)量在樣例學(xué)習(xí)中的促進(jìn)作用,采用 2(樣例類型)×2(樣例數(shù)量)二因素被試間實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。樣例類型包括“有標(biāo)記”樣例和“無(wú)標(biāo)記”樣例兩種。有標(biāo)記樣例用紅色虛線箭頭標(biāo)示出指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換,無(wú)標(biāo)記樣例沒(méi)有任何標(biāo)示,除此之外,兩種樣例完全相同。樣例數(shù)量有兩種,一種是3個(gè)樣例;另一種是6個(gè)樣例。實(shí)驗(yàn)以樣例學(xué)習(xí)后的遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)作為因變量,遷移測(cè)驗(yàn)包括6道測(cè)驗(yàn)題,近遷移和遠(yuǎn)遷移題目各3道。

2.2.3 實(shí)驗(yàn)材料：

(1)前測(cè)材料：共有 12道題目,前 6道是指數(shù)計(jì)算題,后6道題目是對(duì)數(shù)運(yùn)算題。

(2)樣例學(xué)習(xí)材料：樣例學(xué)習(xí)材料包括指數(shù)與對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算的樣例6個(gè)。一種是采用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”設(shè)計(jì)的指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的運(yùn)算樣例;另一種是指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算的普通樣例。

(3)遷移測(cè)驗(yàn)材料由 6道指數(shù)與對(duì)數(shù)相互轉(zhuǎn)換的運(yùn)算題組成,其中 3道近遷移題目,即指數(shù)向?qū)?shù)轉(zhuǎn)換的題目;3道遠(yuǎn)遷移題,即由對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)的題目。被試完全做對(duì)一個(gè)測(cè)題記1分,做錯(cuò)記0分,遠(yuǎn)、近遷移測(cè)驗(yàn)滿分各為3分。

2.2.4 實(shí)驗(yàn)程序：

(1)前測(cè)階段：事先將指導(dǎo)語(yǔ)和前測(cè)題用4號(hào)宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上。

組織待選被試安靜地坐在自己的座位上。兩名被試的前后左右各空出一個(gè)座位。實(shí)驗(yàn)期間被試不許交流。被試拿到測(cè)題紙后即可答題。答完題交卷走出教室。

選擇正式被試的標(biāo)準(zhǔn)是答對(duì)4道及以上指數(shù)計(jì)算題目、并且答錯(cuò)4道及以上對(duì)數(shù)計(jì)算題目的學(xué)生,被選取為正式被試。

(2)樣例學(xué)習(xí)階段：事先將指導(dǎo)語(yǔ)和運(yùn)算樣例用4號(hào)宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上。4組被試分別在不同的教室內(nèi)同時(shí)學(xué)習(xí)不同的樣例學(xué)習(xí)材料15 min。實(shí)驗(yàn)環(huán)境同前測(cè)環(huán)境。

(3)遷移測(cè)驗(yàn)階段：主試收回樣例學(xué)習(xí)材料后即可發(fā)給被試遷移測(cè)驗(yàn)材料。遷移測(cè)驗(yàn)材料用4號(hào)宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上。遷移測(cè)驗(yàn)的時(shí)間限定在30 min之內(nèi)。

2.3 結(jié)果分析

四組被試遠(yuǎn)、近遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均分與標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)表1。

表1 四組被試遷移成績(jī)的平均分與標(biāo)準(zhǔn)差

分別以遠(yuǎn)、近遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)橐蜃兞?以樣例的類型和數(shù)量為自變量,進(jìn)行二因素方差分析。結(jié)果表明,在近遷移成績(jī)上,樣例類型的主效應(yīng)差異顯著,

F

(1,116)=400.00,

p

＜0.05,在樣例數(shù)量上差異不顯著,

F

(1,116)=1.00,

p

＞0.05;兩者之間的交互作用不顯著,

F

(1,116)=0.03,

p

＞0.05。在遠(yuǎn)遷移成績(jī)上,樣例類型的主效應(yīng)差異顯著,

F

(1,116)=1.85,

p

＜0.01,樣例數(shù)量之間的差異不顯著,

F

(1,116)=25.00,

p

＞0.05,兩者之間交互作用不顯著,

F

(1,116)=0.01,

p

＞0.05。

3 實(shí)驗(yàn)二：“解釋法”樣例設(shè)計(jì)對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)遷移的促進(jìn)作用

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h3>

考察初中三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)采用解釋法設(shè)計(jì)的對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例的遷移效果是否優(yōu)于學(xué)習(xí)普通樣例的學(xué)習(xí)遷移效果。

3.2 實(shí)驗(yàn)方法

3.2.1 被試選取

從實(shí)驗(yàn)一的被試中選取60名遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)得滿分的學(xué)生,隨機(jī)分為第一組和第二組的被試;從未參加過(guò)實(shí)驗(yàn)一的初三學(xué)生中通過(guò)“前測(cè)”選取 60名學(xué)生隨機(jī)分為第三組和第四組的被試。每組被試30人。

3.2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用 2(被試類型)×2(樣例類型)二因素被試間實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。自變量是兩組不同的被試和兩種不同的運(yùn)算樣例,其中,被試包括學(xué)習(xí)過(guò)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則的學(xué)生和未學(xué)習(xí)過(guò)該規(guī)則的學(xué)生兩部分;樣例類型分為用解釋法設(shè)計(jì)的樣例和普通的樣例,因變量是遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)。

3.2.3 實(shí)驗(yàn)材料

(1)樣例學(xué)習(xí)材料分為二種：一種是采用“解釋法”設(shè)計(jì)的 6個(gè)對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例;另一種是用普通方法設(shè)計(jì)的6個(gè)對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例。兩種樣例只是運(yùn)算步驟的設(shè)計(jì)不同,其他均相同。

(2)遷移測(cè)驗(yàn)材料由6道對(duì)數(shù)運(yùn)算題組成,測(cè)驗(yàn)題與樣例題目相似但不同。被試完全做對(duì)一個(gè)測(cè)題記1分,做錯(cuò)記0分,遷移測(cè)驗(yàn)滿分為6分。

3.2.4 實(shí)驗(yàn)程序

(1)樣例學(xué)習(xí)階段：事先將指導(dǎo)語(yǔ)和運(yùn)算樣例用4號(hào)宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上。兩組被試分別在不同的教室內(nèi)同時(shí)學(xué)習(xí)不同的樣例學(xué)習(xí)材料20 min。實(shí)驗(yàn)環(huán)境同實(shí)驗(yàn)一。

(2)遷移測(cè)驗(yàn)階段：主試收回樣例學(xué)習(xí)材料后即可發(fā)給被試遷移測(cè)驗(yàn)材料。遷移測(cè)驗(yàn)材料用4號(hào)宋體字、1.5倍行距打印在A4白紙上。遷移測(cè)驗(yàn)的時(shí)間限定在30 min之內(nèi)。

3.3 結(jié)果分析

四組被試遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均分與標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)表2。

表2 四組被試遷移成績(jī)的平均分與標(biāo)準(zhǔn)差

以樣例類型和被試類型為自變量,遷移成績(jī)?yōu)橐蜃兞?進(jìn)行二因素方差分析。結(jié)果表明,樣例類型的主效應(yīng)差異顯著,

F

(1,116)=4.90,

p

＜0.05,“解釋法”樣例的學(xué)習(xí)遷移成績(jī)明顯優(yōu)于普通樣例;被試類型的主效應(yīng)差異顯著,

F

(1,116)=50.04,

p

＜0.001,學(xué)過(guò)轉(zhuǎn)換規(guī)則被試的樣例學(xué)習(xí)遷移成績(jī)明顯優(yōu)于未學(xué)過(guò)該規(guī)則的被試;兩者之間交互作用差異顯著,

F

(1,116)=7.01,

p

＜0.01。簡(jiǎn)單效應(yīng)檢驗(yàn)的結(jié)果表明,對(duì)于學(xué)過(guò)轉(zhuǎn)換規(guī)則的被試來(lái)說(shuō),“解釋法”樣例的學(xué)習(xí)遷移成績(jī)明顯優(yōu)于普通樣例,

F

(1,117)=8.32,

p

＜0.01;而對(duì)于未學(xué)過(guò)轉(zhuǎn)換規(guī)則的被試來(lái)說(shuō),普通樣例與解釋法樣例的學(xué)習(xí)遷移成績(jī)沒(méi)有顯著差異,

F

(1,117)=0.07,

p

＞0.05。此外,在“解釋法”樣例和普通樣例中,兩種類型學(xué)生的樣例學(xué)習(xí)遷移成績(jī)均存在顯著差異,

F

(1,117)=45.73,

p

＜0.001;

F

(1,117)=9.48,

p

＜0.01,即學(xué)習(xí)過(guò)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則被試的遷移測(cè)驗(yàn)成績(jī)顯著高于未學(xué)過(guò)該規(guī)則的被試。

4 討論

4.1 “轉(zhuǎn)換標(biāo)記”樣例及其數(shù)量對(duì)樣例學(xué)習(xí)效果的影響

在高中數(shù)學(xué)教材中,指數(shù)與對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則的運(yùn)算例題都沒(méi)有運(yùn)用轉(zhuǎn)換標(biāo)記,指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算一般是經(jīng)過(guò)教師的課堂講解傳授給學(xué)生的。本研究考察了有轉(zhuǎn)換標(biāo)記與無(wú)轉(zhuǎn)換標(biāo)記樣例的學(xué)習(xí)遷移效果,結(jié)果發(fā)現(xiàn),有轉(zhuǎn)換標(biāo)記樣例的學(xué)習(xí)遷移效果顯著優(yōu)于無(wú)轉(zhuǎn)換標(biāo)記樣例的遷移效果。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步表明,不僅在問(wèn)題解決樣例和運(yùn)算樣例中加入“子目標(biāo)編碼”可以明顯提高問(wèn)題解決和運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)遷移效果(Catrambone,1996;邢強(qiáng),莫雷,2002;張奇,林洪新,2005),而且在轉(zhuǎn)換運(yùn)算樣例中加入“轉(zhuǎn)換標(biāo)記”也能有效促進(jìn)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí),并提高學(xué)習(xí)遷移成績(jī)。其原因是,在運(yùn)算樣例中一般都包括多步運(yùn)算,利用“子目標(biāo)編碼”標(biāo)記運(yùn)算步驟既可以注明運(yùn)算步驟的先后順序,也可以引起被試對(duì)每步運(yùn)算前因與結(jié)果之間邏輯關(guān)系的注意。明顯的運(yùn)算標(biāo)記可以幫助學(xué)生清楚地注意到每步運(yùn)算的結(jié)果,進(jìn)而通過(guò)對(duì)每步運(yùn)算前后因果關(guān)系的推理,理解該步運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則,有助于對(duì)運(yùn)算規(guī)則的理解和運(yùn)用。在轉(zhuǎn)換運(yùn)算樣例中加入“轉(zhuǎn)換標(biāo)記”可以使初學(xué)轉(zhuǎn)換運(yùn)算的學(xué)生更清楚地注意到轉(zhuǎn)換運(yùn)算前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系,有利于初學(xué)者理解轉(zhuǎn)換運(yùn)算的邏輯關(guān)系,從而提高對(duì)轉(zhuǎn)換規(guī)則的理解,并提高學(xué)習(xí)效率和效果。

該研究結(jié)果對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和教材編寫(xiě)有一定啟示意義。在一些有轉(zhuǎn)換運(yùn)算的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中,教師應(yīng)該采用轉(zhuǎn)換標(biāo)記法幫助初學(xué)者明確轉(zhuǎn)換前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使學(xué)生更容易理解轉(zhuǎn)換運(yùn)算的規(guī)則和意義。同理,在教材設(shè)計(jì)上可以采用轉(zhuǎn)換標(biāo)記來(lái)幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)換關(guān)系,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效率和效果。

關(guān)于樣例的數(shù)量對(duì)樣例學(xué)習(xí)效果的影響往往受規(guī)則的復(fù)雜程度和規(guī)則變式的數(shù)量等多種因素的制約。在以前的有關(guān)研究結(jié)果中,運(yùn)算樣例的學(xué)習(xí)效果受樣例數(shù)量的影響,即學(xué)習(xí)較簡(jiǎn)單的運(yùn)算規(guī)則需要的樣例數(shù)量較少;而學(xué)習(xí)比較復(fù)雜的樣例需要的樣例數(shù)量較多(張奇等,2005)。本研究的結(jié)果表明,學(xué)習(xí)3個(gè)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換樣例與學(xué)習(xí)6個(gè)樣例的遷移效果沒(méi)有顯著差異。這是因?yàn)闃永臄?shù)量對(duì)樣例學(xué)習(xí)效果的影響受指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則變式數(shù)量的制約。在3個(gè)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算樣例中,每個(gè)樣例是一種轉(zhuǎn)換類型(即一種轉(zhuǎn)換變式);在6個(gè)樣例中每個(gè)轉(zhuǎn)換類型各有兩個(gè)轉(zhuǎn)換樣例,但兩者的轉(zhuǎn)換類型數(shù)量沒(méi)有變化。被試不論是學(xué)習(xí) 3個(gè)樣例還是 6個(gè)樣例都是學(xué)習(xí)3種類型的指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換。如果被試只通過(guò)一個(gè)樣例的學(xué)習(xí)就可以掌握一種類型的轉(zhuǎn)換,那么,與學(xué)習(xí)兩個(gè)樣例的學(xué)習(xí)效果就不會(huì)有明顯的差異。

4.2 “解釋法”樣例和基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)效果的影響

以前的研究表明,小學(xué)生通過(guò)運(yùn)算樣例的學(xué)習(xí),很難學(xué)會(huì) “平方差”等代數(shù)運(yùn)算規(guī)則(林洪新,張奇,2007)。經(jīng)分析認(rèn)為,可能是學(xué)生不理解乘方運(yùn)算的新算符。為此,開(kāi)發(fā)出有助于學(xué)生學(xué)習(xí)新算符的樣例設(shè)計(jì)方法：“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”和“解釋法”。實(shí)驗(yàn)一的結(jié)果驗(yàn)證了轉(zhuǎn)換標(biāo)記法的樣例設(shè)計(jì)可以有效促進(jìn)對(duì)數(shù)運(yùn)算符號(hào)涵義的學(xué)習(xí);實(shí)驗(yàn)二的結(jié)果則驗(yàn)證了解釋法的有效性。在運(yùn)算樣例中采用解釋法設(shè)計(jì)新算符,可以利用學(xué)生已知的運(yùn)算規(guī)則理解新算符的涵義。例如：學(xué)習(xí)過(guò)加法運(yùn)算的小學(xué)生可以通過(guò)采用解釋法設(shè)計(jì)的運(yùn)算樣例(2×3=2+2+2;3×2=3+3)學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算符號(hào)的涵義,并學(xué)會(huì)乘法運(yùn)算規(guī)則。同理,學(xué)習(xí)過(guò)乘法運(yùn)算的學(xué)生也可以通過(guò)采用解釋法設(shè)計(jì)的運(yùn)算樣例(a=a×a;b=b×b )學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算符號(hào)的涵義,并學(xué)會(huì)乘方運(yùn)算規(guī)則。這種方法可以推廣到許多新算符的樣例設(shè)計(jì)中,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的課堂教學(xué)和教材編寫(xiě)有參考價(jià)值。

實(shí)驗(yàn)二還考察了相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)新運(yùn)算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)效果的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,學(xué)習(xí)過(guò)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換運(yùn)算的被試(即實(shí)驗(yàn)二中的一、二組被試)明顯比沒(méi)有相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的三、四組被試在對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例學(xué)習(xí)上的遷移成績(jī)好。該結(jié)果表明,基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握是學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ),尤其在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中,沒(méi)有相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),學(xué)習(xí)新知識(shí)就會(huì)遇到困難。在運(yùn)算樣例的學(xué)習(xí)中,被試沒(méi)有相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)就很難理解新算符的涵義,“解釋法”也就失去了作用。Rittle-Johnson,Durkin和 Star(2009)對(duì)美國(guó)城市中學(xué)生代數(shù)運(yùn)算知識(shí)水平與教學(xué)方法之間的相互作用效果進(jìn)行了研究,結(jié)果發(fā)現(xiàn),代數(shù)運(yùn)算知識(shí)水平較高的學(xué)生能夠更多地從樣例對(duì)比的方法中獲益。由此可見(jiàn),在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)是知識(shí)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律,在樣例學(xué)習(xí)中更是如此。

4.3 含有新算符的代數(shù)運(yùn)算樣例的設(shè)計(jì)原則

在代數(shù)運(yùn)算樣例中如何設(shè)計(jì)新算符以及含有新算符的運(yùn)算樣例,可以開(kāi)發(fā)出多種設(shè)計(jì)方法,例如,在問(wèn)題提出部分提到的和在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中用過(guò)的方法。然而,究竟用什么方法設(shè)計(jì)運(yùn)算樣例中的新算符和含有新算符的運(yùn)算樣例,要根據(jù)新算符的性質(zhì)和學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)確定。某種設(shè)計(jì)方法可能只適用于某類新算符的樣例設(shè)計(jì),而不適用另一類新算符的設(shè)計(jì)。目前,我們正在根據(jù)不同的新算符和被試的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)尋找、嘗試一些新的設(shè)計(jì)方法,并驗(yàn)證其是否有效。

不論用什么方法設(shè)計(jì)代數(shù)運(yùn)算樣例中的新算符和含有新算符的運(yùn)算樣例,其基本原理(或基本原則)是相同的,即利用新舊算符之間的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),將新算符及其所代表的運(yùn)算規(guī)則用學(xué)生已知的舊算符的運(yùn)算或有助于學(xué)生理解新運(yùn)算規(guī)則的標(biāo)記來(lái)“解釋”或“說(shuō)明”,這樣就有利于學(xué)生對(duì)新算符和新運(yùn)算規(guī)則的理解或同化,從而提高運(yùn)算樣例的學(xué)習(xí)效果。當(dāng)然,如何運(yùn)用這個(gè)基本原理還要注意到學(xué)生對(duì)新算符及運(yùn)算規(guī)則的理解能力和知識(shí)基礎(chǔ)。運(yùn)用轉(zhuǎn)換標(biāo)記法和解釋法設(shè)計(jì)的樣例既可適當(dāng)降低樣例學(xué)習(xí)的難度,又不會(huì)使學(xué)生失去在樣例學(xué)習(xí)中自主領(lǐng)悟新算符的涵義以及發(fā)現(xiàn)、概括和運(yùn)用新規(guī)則的機(jī)會(huì)。相反,如果對(duì)含有新算符和新規(guī)則的運(yùn)算樣例不加任何“解釋”或“標(biāo)記”的設(shè)計(jì),那么,學(xué)生在理解新算符或新規(guī)則上就會(huì)有一定的困難,從而影響樣例學(xué)習(xí)的效果。如果要讓學(xué)生從中理解新算符和新規(guī)則的涵義,除非學(xué)生有足夠聰明的理解能力(這樣做只適用于個(gè)別理解能力強(qiáng)的學(xué)生);要么就要增加學(xué)習(xí)樣例的數(shù)量(實(shí)驗(yàn)表明,增加樣例的數(shù)量可以增加樣例之間對(duì)比的機(jī)會(huì),從而有助于領(lǐng)悟新算符和新規(guī)則)。

5 結(jié)論

(1)學(xué)習(xí)采用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記”設(shè)計(jì)的運(yùn)算樣例比學(xué)習(xí)普通樣例明顯提高了初三學(xué)生初學(xué)指-對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則的學(xué)習(xí)遷移效果。

(2)學(xué)習(xí)采用“解釋法”設(shè)計(jì)的對(duì)數(shù)運(yùn)算樣例比學(xué)習(xí)普通樣例明顯提高了樣例學(xué)習(xí)的遷移效果,并與被試的基礎(chǔ)知識(shí)有關(guān)。

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