具有脈沖收獲的Gompertz模型的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題

楊 娜, 竇家維

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引言

由于可再生生物資源優(yōu)化管理問(wèn)題的研究直接關(guān)系到資源的可持續(xù)發(fā)展，故近年來(lái)在這些方面的研究受到廣泛地關(guān)注.關(guān)于種群模型的脈沖優(yōu)化開(kāi)發(fā)問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究并取得一些重要的成果[1-4].

Gompertz 模型是可再生資源管理中最常用的模型之一,對(duì)于以Gompertz增長(zhǎng)率描述的種群系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]和[6]研究了比例脈沖收獲情形下以最大可持續(xù)產(chǎn)量為目標(biāo)的優(yōu)化收獲問(wèn)題.注意到上面的問(wèn)題都是選擇收獲努力量為控制變量的周期控制問(wèn)題,考慮的時(shí)間范圍都是無(wú)限的,但在實(shí)際中遇到的很多問(wèn)題更關(guān)注的是在給定的時(shí)間范圍內(nèi)的優(yōu)化收獲問(wèn)題[7].

本文主要考慮在一個(gè)有限時(shí)間周期內(nèi)由Gompertz模型描述且具有脈沖常量收獲的種群系統(tǒng)，在收獲量給定的前提下,尋求最優(yōu)的脈沖收獲時(shí)刻，使得種群在周期末的存儲(chǔ)量達(dá)到最大.

對(duì)于所考慮的問(wèn)題，利用下面的脈沖微分系統(tǒng)描述：

(1)

由于脈沖收獲時(shí)刻變化時(shí)，種群在周期末的存儲(chǔ)量也隨之改變，本文將考慮如何選擇收獲時(shí)刻ti，使得當(dāng)種群數(shù)量按照(1)在時(shí)間周期t∈[0,T]內(nèi)發(fā)展變化時(shí)，在收獲量相同的情形下，種群在周期末的存儲(chǔ)量達(dá)到最大.

顯然，在無(wú)任何收獲發(fā)生時(shí)，系統(tǒng)(1)具有正初值的解在[0,T]內(nèi)為正.如果在[0,T]內(nèi)進(jìn)行n次收獲，假設(shè)每次收獲量為常數(shù)E，收獲時(shí)刻分別為0≤t1≤t2≤…≤tn≤T，記π=[t1,t2,…,tn]為一個(gè)收獲策略，在這個(gè)收獲策略之下，系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的解記為N(t)[t1,t2,…,tn]或N(t)[π].一個(gè)策略π是可行的，當(dāng)且僅當(dāng)N(t)[π]>0，t∈[0,T)且N(T)[π]≥0.

下文中，記Sn為[0,T]內(nèi)n次收獲情形下所有可行策略π=[t1,t2,…,tn]的集合.

假設(shè)可行集Sn非空，如果有n次收獲策略π*=[τ1,τ2,…,τn]，使得

N(T)[π*〗 =maxπ∈Sn>N(T)[π]

(2)

則稱(chēng)π*是一個(gè)n次最優(yōu)收獲策略.

定理1 如果Sn非空，則n次最優(yōu)收獲策略一定存在.

證明：在初始種群N(0)=N0給定的情況下，如果可行策略集Sn非空，則種群在周期末的存儲(chǔ)量N(T)[t1,t2,…,tn]是[t1,t2,…,tn]∈Sn的函數(shù)，并且系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足脈沖微分系統(tǒng)關(guān)于解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性條件，所以N(T)[t1,t2,…,tn]是收獲時(shí)刻ti(i=1,2,…,n)的連續(xù)函數(shù)，又因?yàn)閷?duì)于所有的i=1,2,…,n，ti∈[0,T]，因而一定存在最優(yōu)收獲策略π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，使得

N(T)[π*〗=maxπ∈Sn>N(T)[π].

證畢.

1 充分長(zhǎng)時(shí)間周期情形下的優(yōu)化收獲問(wèn)題

本部分主要討論下面問(wèn)題: 假定時(shí)間周期[0,T]充分長(zhǎng)，以保證有足夠的時(shí)間選擇實(shí)施n次最優(yōu)收獲策略π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，在此情形下，確定最優(yōu)收獲策略中τi(i=1,2,…,n)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，并由此獲得該情形下相應(yīng)的最優(yōu)收獲策略.對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題，時(shí)間周期[0,T]至少需要多長(zhǎng)才能滿(mǎn)足要求，本節(jié)末將給出其確切值.

這里所要討論的優(yōu)化收獲問(wèn)題(1)～(2)為一個(gè)脈沖優(yōu)化控制問(wèn)題，我們將應(yīng)用文獻(xiàn)[8]和[9]中關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)的極值原理研究解決.在文獻(xiàn)[8]中，作者首先提出并證明了脈沖微分系統(tǒng)的極值原理，文獻(xiàn)[9]對(duì)該極值原理在某些特殊情形下的應(yīng)用條件和證明進(jìn)行了簡(jiǎn)化.

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的記號(hào)，有

f0=0,g0=0,

f1(N)=rN(lnK-lnN),g1(N)=-E.

首先容易證明函數(shù)f1(N)和g1(N)滿(mǎn)足對(duì)優(yōu)化控制問(wèn)題(1)～(2)應(yīng)用極值原理時(shí)所要求的條件(參看文獻(xiàn)[8]和[9]).為了直接應(yīng)用文獻(xiàn)[8]中的極值原理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-N(T)[π] 的極小值問(wèn)題，即尋求π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，使得對(duì)于任意的π∈Sn，有

-N(T)[π*〗=minπ∈Sn>(-N(T)[π]).

若以H表示“連續(xù)”Hamilton函數(shù)，Hc表示“脈沖”Hamilton函數(shù)，則有

H(λ,N)=rλN(lnK-lnN)

(3)

(4)

其中，λ=λ(t)為協(xié)態(tài)變量.

由于在所討論的問(wèn)題中，只需考慮最優(yōu)脈沖收獲時(shí)刻的選擇，由文獻(xiàn)[8]中的定理2可知，如果π*=[τ1,τ2,…,τn]是脈沖控制問(wèn)題的最優(yōu)收獲策略，并且N(t)是系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的解曲線，則存在協(xié)態(tài)變量λ(t)，滿(mǎn)足協(xié)態(tài)方程:

(5)

并且對(duì)任意的i=1,2,…,n，當(dāng)τi=0時(shí)，應(yīng)有

(6)

當(dāng)τi>0時(shí)，應(yīng)有

(7)

下面進(jìn)一步討論由(6)及(7)所確定的條件(由于(7)為(6)式中取等號(hào)的情形，僅討論(6)即可).

將H的表達(dá)式(3)代入(6)，得到

rλ(τi)N(τi)[lnK-lnN(τi)]

(8)

f1(N(τi)-E)≥f1(N(τi))

(9)

故由上面討論可知，使得N(T)[π]取最大值的最優(yōu)收獲策略應(yīng)滿(mǎn)足:

如果在t=0時(shí)的種群數(shù)量N(0)滿(mǎn)足(9)式，則應(yīng)在τi=0時(shí)進(jìn)行收獲；如果在t=0時(shí)種群數(shù)量N(0)不滿(mǎn)足(9)，則應(yīng)該在τi>0 時(shí)進(jìn)行收獲，這時(shí)τi應(yīng)滿(mǎn)足條件N(τi)=A，這里A由下式確定:

f1(A-E)=f1(A).

(10)

下文中，記

F(N)=f1(N-E)-f1(N)(N>E)

關(guān)于F(N)的有關(guān)性質(zhì)，有下面結(jié)論:

命題1F(N)(N>E)是單調(diào)增加的，它有唯一零點(diǎn)N=A，滿(mǎn)足EA時(shí)F(N)>0，當(dāng)N

證明：當(dāng)N>E時(shí)，

F′(N)=r[lnN-ln(N-E)]>0,

故函數(shù)是單調(diào)遞增的;

又由于

limN→E+F(N)=-f1(E)<0,

F(K)=f1(K-E)>0，

故知F(N)=f1(N-E)-f1(N)=0有唯一解N=A，滿(mǎn)足E

(11)

下面，將根據(jù)不同的初值情況，確定具體的優(yōu)化收獲策略.

定理2 對(duì)于給定的初始種群N0，一定存在整數(shù)p≥0，滿(mǎn)足A-E≤N0-pE

τ1=τ2=…=τn=0

(12)

如果p

(13)

由此所得到的策略π*=[τ1,τ2,…,τn] 是n次最優(yōu)收獲策略.

證明：由命題1，如果N0≥A，則有f1(N(0)-E)≥f1(N(0))，滿(mǎn)足(9)式，故應(yīng)取τ1=0.

同理，如果還有N1=N0-E≥A,…,Np-1=N0-(p-1)E≥A, 則仍有f1(Ni-E)≥f1

(Ni)(i=1,2,…,p-1)，即(9)式仍然成立，故應(yīng)該相應(yīng)地取τ2=τ3=…=τp=0.

進(jìn)一步，由于Np=N0-pE

由式(12)和(13)所確定的收獲時(shí)刻滿(mǎn)足極值原理中最優(yōu)策略需滿(mǎn)足的必要條件，且容易驗(yàn)證其它可行策略均不滿(mǎn)足該必要條件，又由于最優(yōu)策略存在，所以所求策略即為最優(yōu)收獲策略.

證畢.

注從上面定理的證明過(guò)程看到，對(duì)于給定的初值N0，為保證定理中獲得的n次優(yōu)化策略可行，如果p

而如果p≥n時(shí)，則對(duì)任意T>0均可.

2 給定時(shí)間周期內(nèi)的最多收獲次數(shù)與最優(yōu)收獲策略

上一節(jié)討論了當(dāng)時(shí)間周期足夠長(zhǎng)時(shí)，在收獲次數(shù)相同情況下，使得周期末種群存儲(chǔ)量最大的最優(yōu)收獲時(shí)刻的選擇.那么，在給定的時(shí)間周期[0,T]內(nèi)，在初始種群確定的情形下，如果每次收獲量均為常量E，這時(shí)需要研究最多收獲次數(shù)問(wèn)題，及在相同收獲次數(shù)情形下，使周期末種群存儲(chǔ)量最大的優(yōu)化收獲策略問(wèn)題.注意到，在[0,T]內(nèi)最多可收獲n次意味著可行集Sn非空，而可行集Sn+1為空集.

首先給出下面結(jié)果：

由于

因此

顯然只要證明下面的(14)式成立即可.

f1(N(1)(t))

(14)

進(jìn)一步，

(15)

以及

(16)

由(15)可知

進(jìn)一步由命題2及命題1得到：

這與(16)矛盾.

證畢.

由上面結(jié)果可知，如果定理3的條件成立，則收獲越晚，周期末種群的存儲(chǔ)量越多，因此有

推論1 如果定理3的條件成立，則對(duì)于任意[t]∈S1,N(T)[t]≤N(T)[T].

為了研究在給定的時(shí)間周期[0,T]內(nèi)的最多可收獲次數(shù)及最優(yōu)收獲策略問(wèn)題，需逐步進(jìn)行下面的討論和計(jì)算：

(Ⅰ)設(shè)初始種群為N0，一定存在整數(shù)p≥0，滿(mǎn)足A-E≤N0-pE

τ1=τ2=…=τp=0.

(Ⅱ)進(jìn)一步，計(jì)算下面積分：

如果α

T-β<α+(q-1)β≤T.

則令

τp+1=α,τp+2=α+β,τp+3=α+2β,…,τp+q=α+(q-1)β.

如果α≥T，則令q=0.

(Ⅲ)再計(jì)算

如果γ≤T-τp+q，一定存在正整數(shù)s,

滿(mǎn)足

0≤N(T)[τ1,…,τp,τp+1,…,τp+q]-sE

則令

τp+q+1=…=τp+q+s=T.

如果γ>T-τp+q，則令s=0.

記M=p+q+s,π*=[τ1,τ2,…,τM]，則有下面結(jié)果：

定理4 如果初始種群為N0，每次收獲量為常數(shù)E，其中M以及τi(i=1,2,…,M)由上面討論及計(jì)算過(guò)程(Ⅰ)～(Ⅲ)所確定.

則有：(ⅰ)在收獲次數(shù)相同的情況下，收獲時(shí)刻依次取τ1,τ2,…,τM時(shí)是最優(yōu)的收獲策略，即對(duì)于任意的m≤M及收獲策略[t1,t2,…,tm]∈Sm，下面結(jié)論成立：

N(T)[τ1,τ2,…,τm]≥N(T)[t1,t2,…,tm].

(ⅱ)在[0,T]周期內(nèi)最多可收獲M次，即M+1次收獲可行集SM+1為空集.

證明：(ⅰ)如果m≤p，則由定理2知，[τ1,τ2,…,τm]是最優(yōu)收獲策略.

如果q≥1，且p

N(T)[τ1,τ2,…,τm]≥N(T)[t1,t2,…,tm].

如果s≥1，且p+q

N(t)[t1,t2,…,tp+q]

≤N(t)[τ1,τ2,…,τp+q]

(17)

進(jìn)一步，當(dāng)tp+q<τp+q且t∈[tp+q,τp+q]時(shí)，

N(t)[t1,t2,…,tp+q]

≤N(τp+q)[τ1,τ2,…,τp+q]

(18)

結(jié)合(17)和(18)，對(duì)于所有t∈[tp+q,T],有N(t)[t1,t2,…,tp+q]

N(T)[t1,t2,…,tp+q,tp+q+1]

≤N(T)[t1,t2,…,tp+q]-E

≤N(T)[τ1,τ2,…,τp+q]-E

(19)

類(lèi)似地，可得

N(T)[t1,t2,…,tp+q,tp+q+1,…,tm]

≤N(T)[τ1,τ2,…,τp+q] -(m-p-q)E

(20)

注意到

N(T)[τ1,τ2,…,τm]

=N(T)[τ1,τ2,…,τp+q] -(m-p-q)E

(21)

所以(ⅰ)得證.

(ⅱ)由(ⅰ)可知，對(duì)于任意的收獲策略[t1,t2,…,tM+1]，如果[t1,t2,…,tM]不屬于SM，則[t1,t2,…,tM+1]不屬于SM+1;如果[t1,t2,…,tM]屬于SM，考慮下面2種情形.

情形1：假設(shè)tM≥τM，這時(shí)有N(tM)[t1,t2,…,tM]≤N(tM)[τ1,τ2,…,τM].對(duì)于任意的tM+1，由于τM≤tM≤tM+1≤T，由s的選擇知N(tM+1)[t1,t2,…,tM]≤N(tM+1)[τ1,τ2,…,τM]

情形2：假設(shè)tM<τM，則由定理3知，對(duì)所有t∈(tM，τM]，N(t)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[τ1,τ2,…,τM]

最后，對(duì)于任意的tM+1>τM，由于N(τM)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[τ1,τ2,…,τM],并且對(duì)于所有的t∈(tM，τM],有

N(t)[t1,t2,…,tM]≤N(t)[τ1,τ2,…,τM]

綜上可知，任意的M+1次收獲策略[t1,t2,…,tM+1]均是不可行的.

證畢.

3 數(shù)值模擬及結(jié)論

下面，通過(guò)對(duì)一個(gè)實(shí)際模型進(jìn)行數(shù)值模擬以解釋驗(yàn)證前面得到的理論結(jié)果.

假設(shè)一個(gè)實(shí)際生態(tài)系統(tǒng)由下面的具體模型描述：

(22)

在模型(22)中，f1(N)=0.3N(ln100-lnN)首先利用Matlab的fsolve函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到A≈47.242 7.下面，設(shè)時(shí)間周期為[0,6]，對(duì)于不同的初始種群數(shù)量，分別考慮脈沖收獲情形下的最優(yōu)收獲策略.首先應(yīng)用定理4求得優(yōu)化收獲策略π*，再取兩組可行策略π1及π2，對(duì)應(yīng)各種收獲策略繪出解曲線的圖形，由圖形可觀察比較三組不同收獲策略下周期末種群存儲(chǔ)量的差異.

下面各圖中實(shí)線為采取最優(yōu)收獲略π*情形下的解曲線，點(diǎn)劃線和虛線分別為采取其它兩組可行策略π1,π2時(shí)對(duì)應(yīng)的解曲線.

圖1：取N0=50.

圖1(a)表示脈沖收獲3次時(shí)的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[0,1.578 3,3.413 3],并取π1=[0,1,2]，π2=[1,2,3].

圖1(b)表示最多收獲5次時(shí)的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[0,1.578 3,3.413 3,5.248 3,6]并取π1=[0,1,2,4,6]，π2=[1,2,3,4,6].

圖2：取N0=25.

圖2(a)表示脈沖收獲3次時(shí)的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[2.048 3,3.883 3,5.718 4],并取π1=[2,3,4]，π2=[3.5,4.5,5.5].

圖2(b)表示最多收獲4次時(shí)的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[2.048 3,3.883 3,5.718 4,6],并取π1=[2,3,4,6]，π2=[3.5,4.5,5.5,6].

圖1 N0=50時(shí)的最優(yōu)收獲策略

圖2 N0=25時(shí)的最優(yōu)收獲策略

由上面圖形可知，當(dāng)按照最優(yōu)策略π*確定的時(shí)刻進(jìn)行收獲時(shí)，在周期末種群的存儲(chǔ)量最大.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了在有限時(shí)間周期內(nèi)，假設(shè)每次以固定常量進(jìn)行脈沖收獲時(shí)，如何選擇最優(yōu)收獲時(shí)刻以獲得最多的收獲次數(shù)，以及在收獲量一定的情形下，使周期末種群存儲(chǔ)量最大的脈沖優(yōu)化收獲問(wèn)題.對(duì)于具體的初始種群和周期長(zhǎng)度，獲得了完全確定的優(yōu)化收獲策略.

由上面的討論可知，當(dāng)脈沖收獲發(fā)生在周期內(nèi)部時(shí)，即τi∈(0,T)時(shí)，這時(shí)由極值原理獲得了最優(yōu)收獲時(shí)刻τi，在這些時(shí)刻，種群量應(yīng)該達(dá)到值A(chǔ)，A應(yīng)滿(mǎn)足f1(A-E)=f1(A)，該條件的生物意義非常明顯，由于當(dāng)N屬于區(qū)間(A-E,A)時(shí)，種群的增長(zhǎng)率f1(N)相對(duì)較快，種群數(shù)量從A-E增加到A所需時(shí)間最短，因此，在相同的收獲量情形下周期末的存儲(chǔ)量自然最多.

我們也看到在這種情況下，最優(yōu)脈沖收獲時(shí)刻的時(shí)間間隔僅依賴(lài)于種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率r、環(huán)境容納量K和脈沖收獲量E.因此，在周期內(nèi)部實(shí)施收獲的最優(yōu)時(shí)刻與初始種群和時(shí)間周期長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，而在初始時(shí)刻和周期末實(shí)施收獲的次數(shù)分別與初始種群量及周期末的種群量密切相關(guān).

[1] Zhang X，Shuai Z,Wang K.Optimal impulsive harvesting policy for single population[J].Nonlinear Anal.:Real World Application,2004,4(4):639-651.

[2] Xiao Y,Cheng D,Qin H.Optimal impulsive control in periodic ecosystem[J].Systems & Control Letters,2006,55(7):558-565.

[3] Angelova J,Dishliev A.Optimization problems for one-impulsive models from population dynamics[J].Nonlinear Anal.Ser.A:Theory Methods,2000,39(4):483-497.

[4] Zhisheng Shuai,Ling Bai,Ke Wang.Optimization problems for general simple population with n-impulsive harvest[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,329(1):634-646.

[5] Dong L Z,Chen L S,Sun L H.Optimal harvesting policies for periodic Gompertz systems[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2007,8(2):572-578.

[6] 王麗敏,譚遠(yuǎn)順.周期Gompertz生態(tài)系統(tǒng)中的最優(yōu)脈沖控制收獲策略[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2007,27(4):520-528.

[7] Xue Y,Tang S Y,Liang J H.Optimal timing of interventions in fishery resource and pest management[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2012,13(4):1 630-1 646.

[8] Blaquiere A.Differential games with piece-wise continuous trajectories[J].Lecture Notes in Control and Information Science.Springer Verlag,1997,(3):34-69.

[9] Rempala R,Zabczyk J.On the maximum principle for deterministic impulse control problems[J].Journal of Optimizatin Theory and Applications,1988,59(2):281-288.