基于改進變密度法的飛機垂尾拓撲優(yōu)化設計研究

邱福生，季武強，徐厚超

(沈陽航空航天大學遼寧省數(shù)字化工藝仿真與測試技術重點實驗室，沈陽110136)

按照設計變量的不同，結構拓撲優(yōu)化可以分為以下3種:尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化［1］。拓撲優(yōu)化能在給定的約束和邊界條件下，通過改變結構布局使結構的設計要求及性能達到最優(yōu)。與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比，拓撲優(yōu)化的經濟效果明顯，發(fā)展前景廣闊，應用范圍廣泛，在優(yōu)化中能產生新的構型，是結構實現(xiàn)自動化智能設計廣泛采用的設計方法。按照不同的優(yōu)化對象的性質，拓撲優(yōu)化可分為離散體拓撲優(yōu)化和連續(xù)體拓撲優(yōu)化兩種方法［2］。連續(xù)體拓撲優(yōu)化與離散體拓撲優(yōu)化相比，有更加廣泛應用范圍的同時，也存在模型描述困難，設計變量較多，計算量較大，對載荷的敏感度較強等各種問題。

為了實現(xiàn)飛機的減重目標，本文通過拓撲優(yōu)化技術實現(xiàn)飛機垂尾減重目標。一直以來連續(xù)體拓撲優(yōu)化技術發(fā)展的比較緩慢，直到1988年Bendson等人［3］提出均勻化方法之后，它才得以快速發(fā)展。目前比較常用的連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法有均勻化方法［3］、變厚度法［4］、變密度法［5］、漸進結構優(yōu)化方法［6］等。以上各種連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法都有各自的優(yōu)勢和擅長處理的問題，但是又都有一定的局限性。

本文主要以變密度法的研究為主，通過引入約束因子的方法改進變密度法實現(xiàn)飛機垂尾的拓撲優(yōu)化設計;同時與ANSYS拓撲優(yōu)化模塊對垂尾簡化模型進行優(yōu)化設計和結果分析比較，發(fā)現(xiàn)帶約束因子的變密度法在處理飛機垂尾的拓撲優(yōu)化問題時，不僅僅可以找到新的構型，同時較ANSYS軟件簡便、有效。

1 帶約束因子變密度法

帶約束因子變密度法是在變密度法的基礎上引入約束，通過約束因子優(yōu)越的控制性，使得優(yōu)化過程中對飛機垂尾多約束的控制更加簡便有效，更加符合復雜垂尾結構拓撲優(yōu)化的實現(xiàn)要求。變密度法是一種已經被證明的并且十分可靠的拓撲優(yōu)化算法，但是它有一定的局限性:設計變量只包含單元的偽密度(Pseudo-density)，難以在優(yōu)化過程中根據(jù)實際設計要求控制多約束情況，例如單元的刪除和保留選擇、多種位移約束、或者其他更復雜的優(yōu)化設計要求等;當優(yōu)化結束后不能直接刪除單元，需要根據(jù)設計要求人為給定一個偽密度值來刪除單元，進而得到最終的結構形式。因此本文通過引入約束因子，對變密度拓撲優(yōu)化設計法進行改進，使其可以更好地完成飛機垂尾的拓撲優(yōu)化設計。帶有約束因子的偽密度數(shù)學模型:

式(4)中:C(x)是拓撲優(yōu)化的目標函數(shù)，表示結構柔度(結構應變能大小)，Ue和分別是結構節(jié)點位移向量和節(jié)點位移向量的轉置，用式(1)中的代替式中的偽密度xe。其他的變量參數(shù)與式(1)和式(2)中相同。

2 建模

2.1 模型的簡化

飛機的垂尾大都是由垂直安定面和方向舵組成的，對垂尾的設計就要充分考慮上述兩部分的功能和受載荷情況。以客機為例，客機的飛行狀態(tài)相對平穩(wěn)，在模型簡化過程中只考慮飛機飛行時受到的氣動載荷，并且該載荷只作用在垂尾前緣，因此對客機的飛機垂尾進行模型簡化，將氣動載荷簡化為垂尾前緣結點載荷，垂尾的垂直安定面下端固定在機身上，將三維的垂尾簡化成二維的模型來分析，其運算得到的結果也比較符合實際的垂尾情況。

根據(jù)拓撲優(yōu)化設計要求定義飛機垂尾的設計域:按照垂尾的邊界條件，將模型的下端從0～4內的所有節(jié)點固定，其在x和y方向上均沒有位移;對氣動載荷簡化，在機翼前緣各個節(jié)點上加載指向x軸正向的大小為100N。

2.2 模型的建立

2.2.1 ANSYS 模型

ANSYS軟件可用來實現(xiàn)拓撲優(yōu)化的二維單元有plane2和plane82，本文選取plane82為有限元分析單元。嘗試使用ANSYS進行飛機構件模型的建立，但是由于成型軟件的固定形式，比較難以處理垂尾邊框和控制方向舵的控制桿安裝等細節(jié)問題。將模型的下端從0～4內的所有節(jié)點固定，其在x和y方向上均沒有位移;對氣動載荷簡化，在機翼前緣各個節(jié)點上加載指向x軸正向的大小為100N;則使用ANSYS簡化的飛機垂尾模型如圖1所示。

圖1 ANSYS建立的飛機垂尾模型

圖2 帶約束因子變密度法優(yōu)化模型

2.2.2 約束因子變密度法優(yōu)化模型

根據(jù)飛機垂尾的設計要求簡化模型，使用三角形常應變單元劃分網格，其單元數(shù)量為(2*50*50);定義飛機垂尾的設計域;按照垂尾的邊界條件，將模型的下端從0～4內的所有節(jié)點固定，其在x和y方向上均沒有位移;對氣動載荷簡化，在機翼前緣各個節(jié)點上加載指向x軸正向的大小為100N;考慮到機翼框架的完整性，周圍邊框處必須保留，而且必須保留安裝控制方向舵的控制桿空間(如附錄initialization函數(shù))。

在用帶約束因子變密度法進行建模時，則可根據(jù)具體的設計要求來定義約束因子，這里我們?yōu)榱撕唵握f明問題，僅僅使用如(2)式的約束因子的定義，保留區(qū)的約束因子ˉω=1，例如圖2模型中白色部分;刪除區(qū)的約束因子ˉω=－1，如圖2模型中兩個黑色方塊;優(yōu)化區(qū)的約束因子ˉω=0，如圖2模型中的暗灰色部分。而在ANSYS軟件建模時我們很難做到邊框全部保留的情況，只能通過定義不同的單元編號屬性，即只有優(yōu)化區(qū)和非優(yōu)化區(qū)的區(qū)別。

3 拓撲優(yōu)化

3.1 模型拓撲優(yōu)化結果

根據(jù)上面建立的幾何優(yōu)化模型，定義材料及其附加屬性，包括彈性模量E=2.5*109GPa，泊松比υ=0.33;同時定義拓撲優(yōu)化的體積比率因子f=0.5，即僅保留50%的設計域內結構質量。使用ANSYS軟件拓撲優(yōu)化模塊進行飛機垂尾的結構拓撲優(yōu)化，優(yōu)化結果如圖3所示，目標函數(shù)變化曲線如圖4所示。使用帶約束因子變密度法確定的偽密度值(如附錄中的 changex函數(shù))的MATLAB程序進行飛機垂尾結構的拓撲優(yōu)化設計，優(yōu)化結果如圖5所示，目標函數(shù)變化曲線如圖6所示:

圖3 ANSYS拓撲優(yōu)化結果

圖4 ANSYS拓撲優(yōu)化目標函數(shù)變化曲線

圖5 帶約束因子變密度法拓撲優(yōu)化結果

圖6 帶約束因子變密度法目標函數(shù)曲線

3.2 結果分析

從3.1的優(yōu)化結果中可以看出，ANSYS拓撲優(yōu)化模塊雖然可以處理簡單的結構拓撲優(yōu)化問題，但是對于飛機垂尾的拓撲優(yōu)化問題，需要考慮到機翼框架的完整性，周圍邊框處必須保留，而且必須保留安裝控制方向舵的控制桿空間等問題時有一定的局限性。但是對于帶約束因子變密度法而言則比較容易，只需要對拓撲優(yōu)化模型的設計變量在初始化過程中根據(jù)設計要求定義不同的約束因子(如附錄initialization函數(shù))，即可輕松、簡便、準確的完成垂尾的拓撲優(yōu)化，如圖5所示。

表1 拓撲優(yōu)化結果

從表1中容易看出，帶約束因子變密度法拓撲優(yōu)化的運算次數(shù)較ANSYS軟件增加了一倍以上，這是由于一方面使用了約束因子增加設計變量的約束;另一方面因為自己編寫的有限元程序相較成熟的ANSYS軟件稍有不足之處，進而加大了運算量和迭代次數(shù)。但是從目標函數(shù)的優(yōu)化結果來分析，帶約束因子變密度法較ANSYS拓撲優(yōu)化初始的目標函數(shù)值稍大，而優(yōu)化后的結果則相反，帶約束因子變密度法的目標函數(shù)值比ANSYS的結果更小，這進一步體現(xiàn)了帶約束因子變密度法的優(yōu)越性，越小的目標函數(shù)值則說明結果剛度強，因而認為帶約束因子變密度法處理垂尾問題時則更加有效、實用、簡便。

4 結論

本文通過ANSYS軟件的拓撲優(yōu)化模塊和引入帶約束因子改進變密度法拓撲優(yōu)化技術完成簡單飛機垂尾模型的拓撲優(yōu)化設計。通過優(yōu)化結果可以發(fā)現(xiàn)，帶約束因子變密度法較ANSYS的拓撲優(yōu)化模塊能夠更方便、準確的實現(xiàn)飛機垂尾復雜結構的拓撲優(yōu)化設計，具有較強的適用性和更加廣泛的應用價值，可以嘗試將其推廣到其他結構設計領域。

附錄:部分程序

［1］王偉.機翼結構拓撲優(yōu)化的一種新漸進結構拓撲優(yōu)化方法［J］.飛機設計，2007，27(4):17 －20.

［2］夏天翔，姚衛(wèi)星.連續(xù)體機構拓撲優(yōu)化方法評述［J］.航空工程進展，2011，2(1):1 －11.

［3］Bendsoe M P，Kikuchi N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method［J］.Computer Methods，1988，71:197 －224.

［4］周克民，胡云昌.利用邊厚度單元進行平面連續(xù)體的拓撲優(yōu)化［J］.天津城市建設學院學報，2001，7(1):33－35.

［5］Mlejnek H P，R Schirrmacher.An engineer`s approach to optimal material distribution and shape finding computer method in applied mechanic and engineering［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1993，106(1 －2):1 －26.

［6］Xie Y M，Steven G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］.Computers and Structures，1993，106(1 －2):1 －26.

［7］Rozvany G I N，Kirsch U，Bendsoe M P，et al.Layout optimization of structures［J］.Apply Mech Rev，1995，48:41－119.

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