基于攝動理論的壓電阻抗損傷識別分析

李 潔

（上海城興市政工程設(shè)計有限公司，上海 200233）

0 前言

鋼筋混凝土梁是土木工程結(jié)構(gòu)中最常使用的一類構(gòu)件，然而由于其運營過程中材料老化、超載使用、環(huán)境侵蝕、缺乏合理管理養(yǎng)護(hù)等原因，這類構(gòu)件的性能隨時間劣化嚴(yán)重，因此需要開發(fā)有效的檢測手段診斷該類構(gòu)件的損傷情況為后續(xù)的結(jié)構(gòu)性能評估和管養(yǎng)方案的確定服務(wù)。盡管近些年來，國內(nèi)外研究人員在基于動力特性的損傷識別方法方面取得了許多理論和試驗進(jìn)展[1,2]，但是由于土木工程結(jié)構(gòu)的特殊性和復(fù)雜性，其在土木工程中的應(yīng)用受到了限制，特別是在診斷結(jié)構(gòu)的微損傷、弄清損傷演化規(guī)律、實現(xiàn)健康監(jiān)測方面還存在一系列問題無法解決。其中一個關(guān)鍵問題是結(jié)構(gòu)早期程度較小的損傷對結(jié)構(gòu)動力特性的影響很小。大量的研究表明[3]，即使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)較大損傷，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)也可能沒有明顯變化，再加上噪聲的影響，現(xiàn)有的許多方法就無法準(zhǔn)確識別小損傷，更何況像裂縫這樣的微損傷。

智能材料的發(fā)展為土木工程結(jié)構(gòu)長期實時健康監(jiān)測提供了新的研究方向。這些智能材料具有傳感、或者傳感與驅(qū)動的雙重功能，能夠與工程結(jié)構(gòu)融合在一起組成智能健康監(jiān)測系統(tǒng)?；趬弘娞沾桑╬iezoelectric ceramic，簡稱 PZT）電 -機(jī)阻抗技術(shù)（electro-mechanical impedance，簡稱 EMI）以其對結(jié)構(gòu)初始損傷敏感、對外界環(huán)境影響的免疫力強(qiáng)，實用成本低、適宜在線監(jiān)測的特點得到了越來越多的關(guān)注[4-6]。PZT質(zhì)量輕，對本體結(jié)構(gòu)影響很小，可以粘貼在已有結(jié)構(gòu)的表面或埋入新建結(jié)構(gòu)的內(nèi)部對結(jié)構(gòu)進(jìn)行監(jiān)測，是“主動”的健康監(jiān)測方法?；趬弘娮杩沟慕】当O(jiān)測技術(shù)從提出到現(xiàn)在已經(jīng)有上十年，其研究領(lǐng)域主要集中在航空和機(jī)械工程[7-11]，近年來在土木工程領(lǐng)域也開展了一定的研究，如Park[12]等采用阻抗法測試了幾種典型的土木結(jié)構(gòu)構(gòu)件，Soh[13]等人開展了壓電阻抗技術(shù)在混凝土材料和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中的研究，Tseng[14]采用有限元軟件研究了單個PZT粘貼混凝土梁表面識別損傷情況，并將有限元分析結(jié)果與實驗結(jié)果進(jìn)行對比，采取RMSD指標(biāo)評價損傷情況，Giurgiutiu[15]近來還對壓電片與基體結(jié)構(gòu)之間力相互作用進(jìn)行了有限元數(shù)值仿真研究，并將有限元分析結(jié)果與實驗結(jié)果進(jìn)行了對比，并且推導(dǎo)出PZT與梁的耦合振動的有效剛度公式，但是并沒有得到損傷梁的有效剛度公式。

梁結(jié)構(gòu)作為工程中經(jīng)常采用的結(jié)構(gòu)，在復(fù)雜的工作環(huán)境下可能會產(chǎn)生裂紋損傷，這些裂紋損傷對結(jié)構(gòu)的正常工作是相當(dāng)不利的，為了識別這些裂紋損傷，從理論上分析裂紋損傷對梁結(jié)構(gòu)動力特性的影響顯得十分必要。Lestari[16]根據(jù)δ函數(shù)性質(zhì)，給出了受損梁結(jié)構(gòu)的具體模態(tài)參數(shù)表達(dá)式，該表達(dá)式形式復(fù)雜，且普遍性不夠。本文利用一階攝動方法給出了攝動項的一般表達(dá)式，以此推導(dǎo)了受損簡支梁固有頻率和模態(tài)振型的解析表達(dá)式，然后代入PZT與梁的耦合動態(tài)剛度公式得到受損梁的阻抗值，從而得到PZT激勵受損梁的電導(dǎo)納信號，并與完整梁的電導(dǎo)納信號進(jìn)行比較，通過RMSD損傷指標(biāo)分析結(jié)構(gòu)損傷對電導(dǎo)納信號的影響。

1 受損簡支梁的模態(tài)振型

圖1為一矩形截面簡支梁模型，梁的長、寬、高分別為l、b、h。假定在梁的xd處有一裂紋損傷，裂紋深度為hd，寬度為△l，在損傷部分梁的截面轉(zhuǎn)動慣量為：

同理，令m0=ρbh，ρ為材料密度，在梁的損傷部分，單位長度梁的質(zhì)量為：

如果在梁的xd處的極小區(qū)域內(nèi)發(fā)生裂紋損傷，考慮在梁的全部長度上，其截面轉(zhuǎn)動慣量的函數(shù)表達(dá)式為：

式中：H（ξ）為 Heaviside函數(shù)，H（ξ）=0（ξ＜0），H（ξ）=1（ξ＞0），且 δ（ξ）=dH（ξ）/dξ，δ（ξ）為 δ函數(shù)。

根據(jù)式（4），在△l微小的情況下，梁在全部長度上的截面轉(zhuǎn)動慣量可以用δ函數(shù)表示：

同理，在梁的全長上，單位長度的質(zhì)量也可以表示為：

將式（5）和式（6）及彈性模量代入Euler-Bernoulli梁的自由振動方程，則受損梁的自由振動方程可表達(dá)為：

受損梁的自由振動特征值表達(dá)式為：

考慮到梁的局部微小損傷，因而ε、△l都是一個很小的量，假定損傷后結(jié)構(gòu)的特征值和模態(tài)振型是損傷前的一個微小擾動，根據(jù)一階攝動理論，損傷后的特征值和模態(tài)振型可表示為：

將式（9）和式（10）代入式（8），并按系數(shù)項展開，略去兩階以上的項，整理后可得[17]：

式（11）的解為：

式中：kp=pπ/l（p=1,2，…）為第 P 階主振動的波數(shù)。

將式（15）代入式（12），可得：

式（17）中右端的第一項積分部分可簡化為：

將式（18）代入式（17），并考慮式（13）可得：

由式（19）并考慮模態(tài)正交性可得：

由于模態(tài)振型具有正交性，即：

將式（6）和式（10）代入上式，并按系數(shù)項展開，略去兩階以上的項，整理后可得：

當(dāng)p=q時，式（25）可化簡為：

將式（24）代入式（26）可得：

將式（13）和式（20）代入式（9）可求得受損簡支梁的特征值為：

將式（14）、式（15）、式（21）、式（27）代入式（10）可求得受損梁的模態(tài)振型為：

2 受損簡支梁的阻抗模型

壓電效應(yīng)是Curie兄弟于1880年發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)對壓電元件施加外力產(chǎn)生機(jī)械變形時，會引起內(nèi)部正負(fù)電荷中心發(fā)生相對移動而產(chǎn)生點的極化，從而導(dǎo)致元件兩個表面上出現(xiàn)符號相反的束縛電荷，且電荷密度與外力成比例。這種現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)。正壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿哪芰?，檢測出壓電元件上的電荷變化即得知元件或元件埋入處結(jié)構(gòu)的變形量。因此利用正壓電效應(yīng)可將壓電材料制成傳感元件。反之，在壓電元件兩個表而上通以電壓，由于電場的作用，造成壓電元件內(nèi)部正負(fù)電荷中心產(chǎn)生相對位移，導(dǎo)致壓電元件的變形，即逆壓電效應(yīng)。逆壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的能力?？梢杂糜谥圃祢?qū)動器的，用來結(jié)構(gòu)變形或者改變應(yīng)力狀態(tài)。

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時能夠引起結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗發(fā)生變化，但結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗難以通過直接測試得到?；趬弘娞沾傻臋C(jī)械阻抗法就是應(yīng)用壓電陶瓷的力-電耦合特性，綜合考慮PZT的動態(tài)特性和被測結(jié)構(gòu)的阻抗信息而提出的一種實時監(jiān)測方法。給粘貼在結(jié)構(gòu)上的PZT施加交流電場，PZT產(chǎn)生機(jī)械振動（逆壓電效應(yīng)），結(jié)構(gòu)也會隨其一起變形并且對振動產(chǎn)生近處的動態(tài)響應(yīng)。單片PZT能夠激勵的面積區(qū)域因結(jié)構(gòu)和材料的不同而異。本體結(jié)構(gòu)的機(jī)械振動又傳遞到壓電材料中，機(jī)械振動能夠使PZT產(chǎn)生電響應(yīng)（正壓電效應(yīng)），表現(xiàn)為電阻抗的變化。由于不同程度的結(jié)構(gòu)損傷會導(dǎo)致的電響應(yīng)不同，所以可以通過分析這種電響應(yīng)的變化來判斷結(jié)構(gòu)受損情況。其實電響應(yīng)反映出來就是PZT的電阻抗，結(jié)構(gòu)受到損傷會造成PZT電阻抗幅值和相角的變化。通過與結(jié)構(gòu)在無損狀態(tài)時PZT的電阻抗信號進(jìn)行比較，可以診斷結(jié)構(gòu)內(nèi)部的損傷情況。

基于阻抗法的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)，建模時需考慮PZT的動態(tài)特征和本體結(jié)構(gòu)的阻抗。采用一維模型建立PZT與本體結(jié)構(gòu)之間的相互作用（見圖2）。PZT通常用高強(qiáng)度導(dǎo)電膠直接粘貼在本體結(jié)構(gòu)的表面，粘貼后的PZT在交變電壓作用下被看成一個薄片，僅能產(chǎn)生縱向膨脹和收縮。

其壓電方程可表示為：

式中：S1為產(chǎn)生的應(yīng)變；T1為所受的應(yīng)力（1+iη）為電場強(qiáng)度E3為零（或常數(shù)）時的復(fù)彈性模量，η為機(jī)械損耗因數(shù)；d31為壓電應(yīng)變常數(shù)；E3為所加電場強(qiáng)度；D3為產(chǎn)生的電位移（1-iδ）為應(yīng)力T1為零（或常數(shù)）時的復(fù)介電常數(shù)，δ為介電損耗因數(shù)。

由式（30）和（31）得到PZT與結(jié)構(gòu)耦合作用下的電導(dǎo)納公式[18]：

式中：i為虛數(shù)單位；ω為所加激勵的角頻率；wa、ha、la分別為 PZT的寬度、厚度和長度；κ=為PZT的密度；za為PZT的機(jī)械阻抗；zs為結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗。

由式（32）中可以看出，對圖2所示的模型，PZT耦合電導(dǎo)納不僅與PZT的幾何尺寸、介電常數(shù)、壓電常數(shù)、楊氏模量、機(jī)械阻抗有關(guān)，與所加激勵的角頻率有關(guān)，還與結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗有關(guān)。對于已經(jīng)確定的壓電系統(tǒng)來說，PZT自身的機(jī)械阻抗又是常數(shù)，外部結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗值則是唯一影響第二項的參數(shù)，從而控制壓電系統(tǒng)全部導(dǎo)納的變化。因為結(jié)構(gòu)健康狀況的破壞造成外部結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗的變化，則可通過壓電元件的導(dǎo)納反映出來，也就是說如果機(jī)械結(jié)構(gòu)因松動或裂紋等損傷而引起其機(jī)械阻抗zs變化，則PZT沿z方向的耦合電導(dǎo)納也會發(fā)生變化。

PZT在電場諧激勵作用下對梁產(chǎn)生一對平衡的軸向力和彎矩，本文只考慮PZT的軸向力，即PZT對梁施加平衡的軸向力，即：

式中：H（ξ）為 Heaviside函數(shù)，H（ξ）=0（ξ＜0），H（ξ）=1（ξ＞0），且 δ（ξ）=dH（ξ）/dξ，δ（ξ）為 δ函數(shù)。梁所受的 PZT激勵力

梁的軸向振動方程為：

將式（34）代入式（35）可得：

假設(shè)位移為：

式中：Xn（x）為正交模態(tài)振型；Cn為模態(tài)系數(shù)。模態(tài)振型滿足自由振動方程：

對方程同時乘以Xn（x）并在整個梁長度上積分，可得：

因此：

將式（40）代入式（41）可得：

從而梁的阻抗為：

結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷前后PZT電導(dǎo)納信號的差異只能定性分析出結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，但不能給出損傷的程度。因此需要定義一個指標(biāo)，并用它來衡量結(jié)構(gòu)破壞的程度。在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中所采用的結(jié)構(gòu)健康定量判定方法有很多，包括差值平均法、差方均法、均方根差值法等，基本上都是將結(jié)構(gòu)完好無損情況下的阻抗-頻率信息作為基線，然后將結(jié)構(gòu)受損情況下的阻抗-頻率信息與這個基線做定量比較，得出結(jié)構(gòu)健康判定結(jié)果。由于前兩種方法都要求結(jié)構(gòu)受損進(jìn)行測量時所采用的頻率范圍、頻率點等參數(shù)一樣，而且沒有對原結(jié)構(gòu)阻抗進(jìn)行對比分析。為了更精確地分析結(jié)構(gòu)的損傷情況，這里引入阻抗均方根差值（CC）來客觀地反應(yīng)損傷前后阻抗的變化：

式中：σM1和σM0分別為損傷和無損狀態(tài)時的導(dǎo)納的標(biāo)準(zhǔn)差；Cov（M1，M0）為 M1和 M0的協(xié)方差。

將式（29）代入式（43）即可求得受損簡支梁的阻抗，然后代入式（32）即可求得PZT與簡支梁的耦合電導(dǎo)納信號，并與完整梁的耦合電導(dǎo)納信號進(jìn)行比較，并通過CC損傷指標(biāo)識別損傷程度和位置。

3 數(shù)值算例

現(xiàn)以一個簡支梁結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例來研究損傷對PZT電導(dǎo)納信號的影響，其結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。PZT和梁的參數(shù)見表1和表2所列，PZT的激勵頻率為0～3 kHz。圖3和圖4為PZT位于梁的0.6 L處時的損傷深度ε=0.3、損傷位置xd=0.4的PZT和梁的耦合電導(dǎo)納信號的實部和虛部。圖5為局部放大后的導(dǎo)納信號的實部。圖6為PZT位于梁的0.6 L處時隨著損傷深度ε變化而變化的PZT和梁的耦合信號的損傷指標(biāo)，圖7為隨著損傷深度ε變化和損傷位置變化而變化的信號的損傷指標(biāo)。

表1 PZT的機(jī)電和幾何特性一覽表

表2 梁的材料特性一覽表

從圖3～圖5可以看出，梁出現(xiàn)微小裂紋時，PZT的電導(dǎo)納信號也隨之發(fā)生變化。從圖6、圖7可以看出，當(dāng)梁的損傷位置相同時，PZT的CC損傷指標(biāo)隨著損傷程度的增加有減小的趨勢。因此可以根據(jù)PZT對梁激勵產(chǎn)生電導(dǎo)納信號獲得的損傷指標(biāo)識別損傷的程度。

圖8為PZT分別位于梁的 0.2L、0.5L、0.8L處對梁激勵產(chǎn)生導(dǎo)納損傷指標(biāo)，損傷深度為ε=0.3，損傷位置分別為xd=0.1、xd=0.5、xd=0.9。從圖8可以看出隨著PZT距離損傷位置的逐步增大，損傷指標(biāo)逐步減小。因此可以采取多個PZT對梁激勵產(chǎn)生電導(dǎo)納信號，根據(jù)損傷指標(biāo)獲得損傷的大致位置。

4 結(jié)論

本文利用一階攝動方法給出了攝動項的一般表達(dá)式，推導(dǎo)了受損簡支梁的模態(tài)振型公式，并以此得到了受損簡支梁的阻抗計算公式，利用壓電阻抗方法得到了受損簡支梁的電導(dǎo)納信號公式。從計算公式可知PZT與簡支梁耦合作用下的電導(dǎo)納信號的變化量與損傷尺寸有直接的關(guān)系，從而定性和定量識別結(jié)構(gòu)的損傷程度和位置。

從數(shù)值算例得到的結(jié)果可以明顯地看出，當(dāng)梁的損傷位置相同時，PZT的CC損傷指標(biāo)隨著損傷程度的增加有減小的趨勢，因此可以根據(jù)PZT對梁激勵產(chǎn)生電導(dǎo)納信號獲得的損傷指標(biāo)識別損傷的程度。當(dāng)梁的損傷程度一定時，隨著PZT距離損傷位置的逐步增大，損傷指標(biāo)逐步減小，可以大致識別損傷的位置。

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