預應力鋼束空間干涉快速計算方法

耿 杰

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司橋梁處,武漢 430063)

近年來，隨著鐵路建設大規(guī)模的開展，橋梁特殊結構比重大幅增加且設計周期越來越短。以混凝土箱梁而言，梁體幾何形狀趨于復雜，梁體內(nèi)預應力鋼束的布置也隨之變得更加困難，出現(xiàn)了大量平縱彎重疊的情況；與此同時，斜腹板梁由于能夠有效減小橋墩頂帽寬度，得到了廣泛的應用，在這種情況下，由于腹板傾斜，預應力鋼束的形狀變得愈發(fā)復雜。因此，如何準確、快速判斷鋼束之間、鋼束與普通鋼筋之間以及鋼束和梁體表面之間的距離是否滿足規(guī)范要求成為了一個需求。本文通過建立預應力鋼束的空間參數(shù)方程，運用數(shù)值計算方法求解鋼束之間、鋼束與梁體表面之間的最小間距，從而提高了設計效率，確保設計質(zhì)量。

1 預應力鋼束空間曲線方程

由于箱梁是縱向承載構件，預應力鋼束的曲線方程在縱向上一般為單值函數(shù)。故以箱梁小里程方向的頂面中點為原點，以縱向為X軸，以橫向為Y軸，按照右手法則建立空間坐標系。

工程上習慣用平面、立面投影來表達三維物體，在建立預應力鋼束空間方程的時候，也借鑒了這種思路。將復雜三維形狀拆分為2個平面圖形，進而用參數(shù)方程來表達。對于預應力鋼束而言，其投影圖形一般由直線和圓弧組成，可用分段函數(shù)表達。如對于直線段而言，確定了起點和終點坐標之后(圖1)，方程可表達如下

×(x-x0)+y0(1)

式中x0,y0——直線段起點坐標；

x1,y1——直線段終點坐標。

圖1 直線段方程示意

對于圓弧段而言，考慮到圓弧兩側均有直線相切這一約束條件(圖2)，方程可以表示如下

式中xc,yc——圓弧段圓心坐標；

y0——圓弧段起點Y坐標；

y1——圓弧段終點Y坐標；

ym——圓弧段中點Y坐標；

r——圓弧段半徑。

圖2 圓弧段方程示意

對某一鋼束立面(或平面)投影的二維平面方程可利用分段函數(shù)表達如下

X=x

利用立面曲線表示預應力鋼束到頂板(即XOY平面)的距離，用平面曲線表示鋼束到截面中心(即XOZ平面)的距離。特別的，當鋼束是腹板索時，考慮斜腹板的情況，平面曲線將表示鋼束到腹板外側的水平距離，在計算時需要做一次轉換，如圖3所示。

圖3 預應力鋼束空間模型

根據(jù)以上條件，建立預應力鋼束空間曲線的參數(shù)方程

X=x

Z=z(x)

式中hx——x處的截面總高度；

α——腹板傾角，rad；

bx——x處的截面底寬。

于是，對于給定的x坐標，能夠計算出對應的鋼束空間位置點P(X，Y，Z)。普通鋼筋的空間曲線方程也可以按照上述方法建立。

2 梁體表面曲面方程

一般而言，箱梁表面由一系列柱面組成，以箱梁梁底曲面為例，準線是圓弧或者拋物線，母線是平行于Y軸的直線。梁體空間模型可以利用放樣等操作生成，空間模型生成之后，各個表面的方程也隨之生成。大部分情況下，箱梁的表面均可以表示成為由以平行于Y軸的直線為母線和準線構成的柱面。其方程表達如下

f(x,z)=0

y=0(5)

3 空間干涉判斷算法原理

圖4 預應力鋼束空間干涉

判斷鋼束之間(或鋼束與普通鋼筋之間)是否干涉，抽象為數(shù)學模型就是計算曲線之間的最小距離，判斷該最小距離是否大于2倍的管徑(圖4)；同樣的，鋼束與梁體表面的距離可以轉換為求解曲線到曲面的最小距離。而最小距離可以通過最優(yōu)解算法解決，通過建立預應力鋼束空間參數(shù)方程，達到了將曲線方程消元的目的，從而使得三維最優(yōu)解問題轉換為二維最優(yōu)解問題，進一步使問題得到了簡化。

以鋼束之間的最小距離為例，即求解

f(x1,x2)=[(x1-x2)2+(y1(x1)-

y2(x2))2+(z1(x1)-z2(x2))2]1/2

由于鋼束空間方程采用分段函數(shù)表達，故上述最優(yōu)解問題難以求出理論解，只能采用數(shù)值分析方法解決。本文采用改進的Downhill Simplex Method， Nelder-Mead Simplex(下山單純形法，簡稱單純形法)求解此二元函數(shù)極值問題。單純形法的基本思想是構建n維空間(n是參數(shù)個數(shù))，在這個空間中初始化一個n+1邊形(通常為等邊形)，通過對此多邊形進行相關操作，使多邊形的最佳頂點的評價函數(shù)值最終達到用戶的要求，從而使問題得到解決。標準的下山單純形法，每一步變換的尺度是固定的，而在本文中，首次引入了遺傳算法思想，即通過罰函數(shù)來控制變換的尺度，使計算能夠更加快速地收斂。

對于二元函數(shù)，單純形即為三角形。首先，比較函數(shù)在三角形各頂點處的值，最大值的頂點為最差頂點，值最小的頂點為最佳頂點，另一個頂點為次最佳頂點，同時記錄三點之間距離與函數(shù)值，定義一個基本罰函數(shù)；隨后通過一系列變化(反射、開拓、收縮)在函數(shù)值遞減的方向產(chǎn)生新的頂點，用以代替最差頂點，形成新的三角形，在這個過程中，每一步都將生成一個新的罰函數(shù)，來決定下一步變形(反射、開拓和外延)的尺度，然后重復這一過程。這一過程將生成一系列可能具有不同形狀的三角形，頂點處的函數(shù)值越來越小，隨著三角形的減小函數(shù)值趨于極小值，極值點的坐標隨之確定?？梢钥闯?，單純形法的搜索過程是模式化的，其優(yōu)點是緊湊有效，收斂速度快，程序設計簡單。

4 結果及性能分析

基于該方法編制的子程序集成在“混凝土箱梁輔助設計系統(tǒng)” 中[4]。以杭長客運專線(50+80+50)m標準連續(xù)箱梁為例，在布置縱向預應力鋼束的時候，當用戶指定鋼束橫向分布之后，程序將調(diào)用該模塊進行空間干涉檢算，如果發(fā)現(xiàn)存在干涉情況，將提示用戶進行修改,如圖5所示。

注：8號、9號為程序內(nèi)部編號，對應鋼束名稱為T9、T11

該模塊在武廣高速鐵路、鄭武客運專線、杭長客運專線等項目的連續(xù)箱梁設計過程中廣泛運用，使用過程中程序能夠快速判斷預應力鋼束的干涉情況，有效地提高了設計效率與質(zhì)量。如果在干涉計算之前，加上三維實體空間包圍盒的疊加判斷，效率將會得到進一步提升。表1為算法性能的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

表1 算法在不同情況下的時間復雜度

5 結語

三維設計是鐵路橋梁設計的趨勢所在，將鐵路橋梁設計從二維平面拓展至三維空間之后，在帶來技術進步的同時，也引發(fā)一些依靠常規(guī)手段難以解決的問題。例如本文中提到的預應力鋼束空間干涉等問題，這些問題往往要依靠跨學科的技術手段及強大的數(shù)學分析工具來解決，這也是工程設計專業(yè)軟件開發(fā)的一項關鍵支撐性技術。

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