一維方勢阱的擴展性討論及應用

胡一帆

(華中科技大學物理學院 湖北 武漢 430074)

1 引言

有關方形勢阱、半導體能帶理論和激光器的基本原理在理工科的大學物理課程里都有簡單的介紹[1]，但由于篇幅和課時的限制，學生很難深入了解方量子力學的實際應用價值，不可能理解勢阱這個物理模型與新型半導體元件(如超晶格類的元器件等)和半導體激光器之間的聯系．為了使學生對所學知識能夠融會貫通，更好地擴展他們的視野，而不是僅僅獲得一些支離破碎的脫離實際的膚淺知識.

本文從求解一維方形勢阱的薛定諤方程出發(fā)，介紹了單量子阱、超晶格、半導體激光器的基本的理論框架和實際應用．其目的是在條件容許的情況下，引導那些學有余力和對現代物理學特別感興趣的同學進行擴展性學習和討論．

2 有限深方勢量子阱與多量子阱

圖1 有限深方形勢阱及其波函數

有限深方形勢阱與無限深勢阱的主要不同之處在于它的波函數并不僅僅局限于勢阱內部，在隧道效應的作用下，有一部分波函數是可以存在于勢阱兩邊的勢壘之中的(圖1)．

這時的薛定諤方程為

(1)

由此方程可以求出在兩側勢壘區(qū)域內的波函數為[2]

(2)

圖2 由雙層異質結所形成的量子阱

如果A，B兩種材料依次重復，就形成多量子阱見圖2(b)．在這一種類型的多量子阱中，電子和空穴同時被限制在同一種勢阱材料A之中，它們的波函數是被分割在各個彼此孤立的勢阱中被局域化的．當然，此時能量也是量子化的，形成了分立的能級．而多量子阱模型是超晶格子能帶理論的基礎[4]．當圖2(b)中作為勢壘的B材料厚度也非常薄，薄到公式(2)中的波函數可以延伸到相鄰的勢阱中的時候，即不同勢阱中波函數可以借助隧道效應彼此耦合時，波函數開始交疊，與波函數相對應的各個子能級開始分裂，從而形成微能帶．這種結構就被稱之為超晶格．

圖3 超晶格中的微能帶, 本圖上部顯示由AB相間的兩種材料導帶底部對電子形成勢阱，被稱為n型勢阱，本圖下部顯示由兩種材料價帶頂部對空穴形成勢阱，被稱p型勢阱

3 量子阱和超晶格的物理效應

3.1 量子躍遷

這些存在于量子阱之中的子能級或子能帶之間同樣會產生受激輻射和受激躍遷，其輻射頻率取決于這些子能級的結構．而這些量子阱結構的子能級的級差，微能帶寬度和帶隙可以通過改變勢阱的深度和勢壘厚度來調節(jié)．當一個光子入射到勢阱區(qū)域中可以發(fā)生不同能級之間或不同微能帶之間的受激躍遷．因此人們可以根據需要，通過制作不同的單量子阱或超晶格來獲得頻率的光源，包括紫外、可見光或紅外等．例如在制作用于光纖通訊的光源時，需要的是波長在10 μm量級的紅外波，與此對應的大約是0.1 eV躍遷能量，這種躍遷發(fā)生在n型勢阱之中．利用這種類型的量子阱或超晶格的吸收光子效應還可以制作紅外探測器[如圖4(a)]．波長更短的光發(fā)射與吸收，也可通過如圖4(b)中所顯示的發(fā)生在n型勢阱和p型勢阱之間的躍遷來獲得[5]．

圖4 量子阱中子能級之間的受激躍遷

3.2 激子效應

僅僅有了受激吸收和受激輻射還不能產生激光，還必須實現粒子數反轉和建造諧振腔．對于某些材料的量子阱來說，電子在高能級上的壽命非常長，例如利用GaAs/AlGaAs異質節(jié)所形成的量子阱的高能級壽命就特別長．需要指出的是，在反應電子和空穴能級結構的圖4中，縱坐標是能量，橫坐標是空間坐標，如果n型勢阱和p型勢阱上下對齊，也就是說它們同處在一個空間區(qū)域內．發(fā)生受激吸收后上下對齊的量子阱把電子與空穴局限在一個很薄的近似二維的區(qū)域里，這時電子與空穴就會相遇并生成二維激子(2-D exciton)，也就是二維空間內的電子-空穴對．理論研究表明[6]： 2-D 量子阱的二維激子 束縛能比 3-D 體材料激子束縛能高3倍, 可以承受更高的干擾，維持長壽命，因此更易實現粒子數反轉．實際上量子器件的維度越低，對電子和空穴的限制就越強，也就越容易提高該量子器件的效率．根據這個思路，一維的量子線材料、零維的量子點材料(如圖5所示)和與這些材料為基礎的新型量子器件應運而生．

圖5 低維度量子材料

實現粒子數反轉后，下一步就是如何建造諧振腔了．這可以利用某些半導體晶體材料的解理面來實現．解里面對電磁波本身就具有反射作用，只要適當選擇解里面進行涂覆就可形成如諧振腔[7]．一個典型的半導體激光器如圖6所示．由超晶格組成的半導體激光器可發(fā)射中遠波段的激光，功率可達10 mW，足以滿足遠距離光纖通訊．

圖6 典型的半導體激光器結構圖

3.3 量子斯塔克效應

單量子阱制作的激光器如果功率不夠，還可以利用超晶格結構來制作級聯激光器．其原理是量子斯塔克效應．當無外場時，無論是電子的波函數還是空穴的波函數都位于勢阱的中心位置．因而電子和空穴都有較大躍遷幾率．然而，當對量子阱施加一外場時，由于電子逆電場而動，空穴順電場而動，從而使二者的波函數不再處于勢阱的中心位置，而是發(fā)生了一定程度的空間偏離．與此同時整個超晶格多勢阱結構在電場的作用下會發(fā)生如圖7所示傾斜．這種傾斜使得導帶與價帶能量間隔變窄，因而電子和空穴的躍遷幾率減小，其發(fā)光波長向波長方向移動．這時雖然單個量子阱躍遷幾率減小，但是傾斜也導致光子可在超晶格結構多個量子阱逐級激發(fā)，形成如圖7所示類似雪崩現象的級聯效應，從而使由超晶格組成的半導體激光器可發(fā)射中遠波段的激光，且效率增加，其功率可達10 mW，足以滿足遠距離光纖通訊[8]．

圖7 光子在超晶格結構中的級聯效應

4 結論

大學物理教學的一個重要任務是著重培養(yǎng)學生獨立思考的能力，以及把所學知識串聯起來獲取各個知識點相互之間的內在聯系的綜合分析能力．本文以方形勢阱為例，將有關量子力學、半導體和激光等內容的理論和實際應用結合起來進行擴展討論，是使學生全面地、融會貫通地理解和掌握相關知識的一個很好的嘗試，并且在實際教學中取得了很好的效果．

參考文獻

1 程守洙，江之永.普通物理學.北京：高等教育出版社，2006

2 D·特哈爾.量子力學習題集.北京：人民教育出版社，1965

3 J. P. Colinge.Physics of Semiconductor devices.Kluwer Academic Publishers, 1999

4 John.H.Davies The physics of low-dimensional semiconductors. Cambridge Press, 1998

5 R．F．Kazarinov，R．A．Suris.“possibility of the amplification of electromagnetic waves in a semiconductor with a supperlattice，”Soviet. Phys．Semiconductors，1971(5)：707～709

6 Paul Harrison.“Quantum Wells, Wires and Dots”.Wiley， 2010

7 J．G Kim，L Shterengas et a1．, “Room-temperatre 2.5 μm GaInAsSb/AlInAsSb diode lasers emitting lW continuous waves，”Appl．Phys．Lett．2002，81：2016～2019

8 J．Faist，F．Capasso，D.L.Sivco，C．Sirtori,A．L．Hutchinson, and A．Y Cho，‘'Quantum cascade 1aser”, Science，1994，264：553