利用功能關系處理“連接體”問題探究

潘鐵鵬

(江蘇省沛縣中學 江蘇 徐州 221600)

“連接體”問題在高中物理中隨處可見，常見的有“輕桿連接體”“輕繩連接體”“輕彈簧連接體”及“軟繩、軟鏈、液體類”等.以這些“模型”為基礎設計的題目歷來是考查的重點和難點，在歷屆高考題中屢見不鮮，且難度較大.利用功能關系如何處理此類問題？處理過程中又有哪些事項需要注意？筆者就此問題通過實例探究，歸納了題型特點，強調(diào)了注意事項，總結了解題的一般規(guī)律和方法.

1 輕桿連接體

1.1 繞某一固定軸轉動

題型特點：通過輕桿相連的物體在繞固定轉軸轉動時，物體的角速度相等.

【例1】一質(zhì)量不計的直角三角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B，支架兩直角邊長分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉動，如圖1(a)所示，開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，則

B.A球速度最大時，兩小球的總重力勢能最小

C.A球速度最大時，兩直角邊與豎直方向的夾角為45°

D.A,B兩球最大速度之比為2∶1

圖1

解析：設輕桿與豎直方向成θ角時，如圖1(b)，系統(tǒng)動能最大，由機械能守恒可得

mg2Lcosθ-2mgL(1-sinθ)=

(1)

vA=2vB

(2)

由式(1)、(2)得

由以上分析可知本題答案為選項B,C,D.

點評：此類問題一般根據(jù)機械能守恒定律或動能定理處理，處理過程中要注意因輕桿轉動造成的“連接物體”間的角速度相等這一牽連關系.

1.2 無固定轉軸 沿某一支撐物滑動

題型特點：連接體做各點角速度、速度都不同的一般性滑動.

【例2】一長為l的輕桿，兩端分別固定有質(zhì)量為m的小球A和B，豎直立在墻壁處，已知豎直墻壁與水平面均光滑,受一微小擾動后，輕桿由靜止開始下滑，當桿與水平面成θ角時，如圖2所示，求此時A球的速度大小.

圖2

(3)

由兩球沿桿方向速度相同有

vAsinθ=vBcosθ

(4)

由式(3)、(4)可得

點評：此種情況往往要在利用功能關系的基礎上，對被連接物體的速度進行分解，利用物體沿桿的速度相等來分析不同物體間速度的關系.

2 輕繩連接體

2.1 利用輕繩約束物體運動形式

題型特點：物體的運動受繩的約束，只能沿著特定的軌跡運動，有時由于繩瞬間的“繃緊”還會造成機械能的損失.

【例3】如圖3所示，一根長為l的輕繩，一端固定在O點，另一端拴一個質(zhì)量為m的小球.用外力把小球提到圖示位置，使繩伸直，與水平面成θ=30°角.從靜止釋放小球，求小球通過O點正下方C時繩中的拉力大小.

解析：以小球為研究對象，其運動過程可分為三個階段，如圖4所示.

圖3 圖4

(1)從A點到B點的自由落體運動

但我們也應當清醒地意識到，與發(fā)達國家相比，在綠色農(nóng)藥的新結構、新品種、環(huán)境友好新劑型的研究開發(fā)方面，與國際先進水平仍有較大的差距。同時，行業(yè)長期以來的粗放式發(fā)展，安全環(huán)保事故頻發(fā)，處于產(chǎn)業(yè)鏈低端，且大宗產(chǎn)品產(chǎn)能過剩，使得部分地方與民眾對農(nóng)藥生產(chǎn)持有強烈的抵觸情緒和反對態(tài)度，使行業(yè)發(fā)展蒙上陰影。但是，目前不加區(qū)別的一刀切式強令停工停產(chǎn)，迫使農(nóng)藥制造有加速向印度等國轉移的趨勢。一旦失去了包括農(nóng)藥工業(yè)在內(nèi)的中國制造業(yè)優(yōu)勢，可能再也回不來了。中國改革開放以來巨大的進步和發(fā)展證明：“化工及農(nóng)藥生產(chǎn)解決了我們的衣食住行，改善并將繼續(xù)改善我們美好的生活”。

據(jù)機械能守恒定律有

(5)

(6)

(3)小球由B點到C點的曲線運動，機械能守恒,有

(7)

在C點由牛頓第二定律得

(8)

聯(lián)立式(5)～(8)解得

點評：處理這種問題時,要注意系統(tǒng)的機械能是否守恒，是整個過程守恒，還是某一過程守恒.“突變點、臨界點”的尋找和判定往往是正確解決問題的關鍵.

2.2 不同運動物體間依靠輕繩相互牽連

題型特點：物體間的相對運動關系靠輕繩牽連，不同于輕桿的地方在于它只能“拉”而不能“推”.

【例4】如圖5所示，輕質(zhì)長繩水平地跨在相距為2l的兩個小定滑輪A,B上，質(zhì)量為m的物塊懸掛在繩上的O點，O與A,B兩滑輪的距離相等.在輕繩兩端C,D分別施加豎直向下的恒力F=mg.先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態(tài)，靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C,D兩端的拉力F不變.求物塊下落過程中的最大速度vm和最大距離Hm.

圖5

解析：物體所受合外力為零時，加速度為零,此時物體有最大速度vm，設此時物塊下降距離是h.

又因繩中拉力F恒為mg，所以,此時懸點所受的三個拉力的方向成夾角2θ=120°.

由圖6可知

當物塊下落h時，C端上升距離

克服C端恒力F做功

由動能定理得

解得最大速度

圖6

物塊下落最大距離Hm時，系統(tǒng)速度為零，由機械能守恒可得

所以

點評：處理該類問題時要注意牽連物沿繩方向速度相等，及由于物體運動造成的繩長變化和物體運動距離之間的幾何牽連關系.

3 輕質(zhì)彈簧連接體

題型特點：物體間依靠輕質(zhì)彈簧連接，注意彈簧彈性勢能的變化、代換關系.

【例5】如圖7所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為κ，A，B都處于靜止狀態(tài).一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤.開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向.現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止狀態(tài)釋放，已知它恰能使B離開地面但不繼續(xù)上升.若將C換成另一個質(zhì)量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態(tài)釋放，則這次B剛離地時D的速度大小是多少？已知重力加速度為g.

圖7

解析：開始時，A,B靜止，設彈簧壓縮量為x1有

κx1=m1g

(9)

掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x2，有

κx2=m2g

(10)

B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到最低點.由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增加量為

ΔEp=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)

(11)

C換成D后，當B剛離地時,彈簧彈性勢能的增量與前一次相同，設此時A,D的速度大小為v，由能量關系得

(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔEp

(12)

由式(9)～(12)得

點評：(1)彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)κ和彈簧長度變化量有關，同一彈簧長度變化量相同時，儲存的彈性勢能大小相等.

4 軟繩 軟鏈 液體類

題型特點：因為“軟”，物體在運動過程中不存在因碰撞導致的機械能損失.

【例6】如圖8所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面(斜面體固定不動).AB,BC間用一小段光滑圓弧軌道相連.一條長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜止放在ABC面上，其一端D至B的距離為L-a.現(xiàn)自由釋放鏈條，則鏈條的D端滑到B點時，鏈條的速率為多大？

圖8

圖9

解析：鏈條機械能守恒.水平面上鏈條長度減少，斜面上的長度增加.設鏈條質(zhì)量為m.初、末狀態(tài)重力勢能的變化，可等效認為是由于L-a段的重心直接下降高度h引起的，如圖9，且有

并且該部分的質(zhì)量為

重力勢能的減少量為

(13)

軟鏈動能增量為

(14)

由機械能守恒得

ΔEp減=ΔEk增

(15)

由式(13)～(15)得

解得

點評：本題利用“等效平移法”計算出了鏈條重力勢能的減少量，也可以通過確定鏈條初、末狀態(tài)重心的位置計算重力勢能的減少.