基于Winkler彈性地基梁模型的基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變形數(shù)值分析方法

陳燕賓， 王凡俊

(天津華北工程勘察設(shè)計(jì)有限公司，天津 300181)

在大城市地下空間的開(kāi)發(fā)過(guò)程中，由于土地資源的稀缺，場(chǎng)地范圍的不斷狹窄，隨著開(kāi)挖深度的不斷增加，基坑支護(hù)工程成為熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題。為了保證施工的安全，支護(hù)體系的作用顯得尤為重要。在天津市軟土地區(qū)，基坑支護(hù)方案一般采用連續(xù)排列的圍護(hù)結(jié)構(gòu)或者和支錨體系共同作用的設(shè)計(jì)形式?；又ёo(hù)結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法有很多種，對(duì)于懸臂式支護(hù)結(jié)構(gòu)常采用極限平衡法或Blum簡(jiǎn)化計(jì)算法，對(duì)于帶支錨體系的支護(hù)結(jié)構(gòu)常采用彈性支點(diǎn)法或等值梁法。常規(guī)方法沒(méi)有考慮支護(hù)結(jié)構(gòu)與土的共同作用影響，是比較粗略的計(jì)算方法。

在地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)中，Winkler彈性地基梁是比較成熟的理論，實(shí)際上是假設(shè)地基土為線彈性體，將地基視為無(wú)數(shù)不相聯(lián)系的彈簧組成的體系，對(duì)于某一種地基，基床系數(shù)為一定值。未知基底反力將因基礎(chǔ)與地基相對(duì)剛度、地基應(yīng)力-應(yīng)變性狀等假定的不同而有不同變化規(guī)律，而且僅考慮基礎(chǔ)的剛度。一般適用于地基較均勻，可以忽視上部結(jié)構(gòu)剛度的影響等較為簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)體系。

在基坑支護(hù)中，一般縱向尺寸遠(yuǎn)大于支護(hù)結(jié)構(gòu)尺寸，較為符合平面應(yīng)變的力學(xué)假定。支護(hù)結(jié)構(gòu)上的荷載主要是水平力，本文將支護(hù)結(jié)構(gòu)視為基礎(chǔ)，支護(hù)結(jié)構(gòu)前基坑內(nèi)側(cè)部分(包括開(kāi)挖部分、支錨結(jié)構(gòu)及支護(hù)結(jié)構(gòu)前坑底的土體)視為廣義的地基，相當(dāng)于將條形基礎(chǔ)的彈性地基梁計(jì)算模型旋轉(zhuǎn)90°，由于此廣義的地基分為開(kāi)挖部分、支錨結(jié)構(gòu)及豎向的成層土，地基并不均勻，因此基床系數(shù)為變量，采用等效的水平抗力系數(shù)。

1 基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型

假設(shè)支護(hù)結(jié)構(gòu)的受力符合平面應(yīng)變的力學(xué)假定，假定土體為線性彈性體，忽略土體的水平向剪應(yīng)力，該假定比較符合天津市軟土地區(qū)。Winkler地基模型是對(duì)于豎向荷載下基礎(chǔ)梁與地基土共同作用的假設(shè)模型，基床系數(shù)為定值。對(duì)于支護(hù)結(jié)構(gòu)，將水平向土壓力視為荷載，將基坑內(nèi)的土體視為地基，基床系數(shù)即地基水平抗力系數(shù)，為深度x的函數(shù)，適用于常數(shù)法、k法、m法和c法，開(kāi)挖面以上地基水平抗力系數(shù)視為零。從支護(hù)結(jié)構(gòu)上在豎直方向取一微分段dx，水平方向取寬度為b，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1。

圖1 支護(hù)結(jié)構(gòu)微分體受力分析

由微分體的靜力平衡得：

V+bkydx-qdx-(V+dV)=0

(1)

得到微分方程：

(2)

根據(jù)材料力學(xué)理論：

(3)

綜上可得支護(hù)結(jié)構(gòu)的撓曲微分方程：

(4)

式中：EI為支護(hù)結(jié)構(gòu)的抗彎剛度，對(duì)于鋼筋混凝土支護(hù)樁，可參考JGJ 94-2008《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》第5.7.2條；b為支護(hù)結(jié)構(gòu)的寬度；k為地基水平抗力系數(shù)，無(wú)土部分k=0；q為水平荷載。其中k、q為x的函數(shù)，以下同理。

2 支護(hù)結(jié)構(gòu)的有限差分方程組

將各階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行差分，支護(hù)結(jié)構(gòu)沿x方向等分為n段，每段長(zhǎng)為λ，并引入虛節(jié)點(diǎn)0，1，n+3，n+4(圖2)，得

(5)

圖2 支護(hù)結(jié)構(gòu)差分節(jié)點(diǎn)

代入撓曲微分方程可得支護(hù)結(jié)構(gòu)的撓曲有限差分方程：

(6)

由此可以建立支護(hù)結(jié)構(gòu)的有限差分方程組，為了結(jié)構(gòu)緊湊，以矩陣形式表達(dá)，

(7)

上式中，[K]為有限差分方程租的剛度矩陣；[Y]為有限差分方程租的效應(yīng)矩陣；{Q}為有限差分方程租的作用向量。

3 有限差分方程組的求解

在迭代過(guò)程中，由于差分方程中關(guān)于位移的參數(shù)有5項(xiàng)，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的約束條件可列兩個(gè)線性差分方程，再加上撓曲差分方程本身，可知所列的線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，為了求解可設(shè)

yi=Aiyi-1-Biyi-2+Ci

(8)

同理可設(shè)

(9)

3.1 一般情況下的有限差分解

將(8)、(9)代入撓曲有限差分方程可得迭代公式

yi=Aiyi-1-Biyi-2+Ci

(10)

其中，

以上為一般情況，該迭代公式對(duì)于i=2到i=n成立。

3.2 虛節(jié)點(diǎn)的迭代公式和位移的初始值求解

3.2.1支護(hù)結(jié)構(gòu)頂端虛節(jié)點(diǎn)的迭代公式

當(dāng)i=2時(shí)，

y2=A2y1-B2y0+C2

(11)

(12)

在支護(hù)結(jié)構(gòu)頂端，M=0，V=0，根據(jù)材料力學(xué)理論：

(13)

化為差分方程為，

(14)

當(dāng)i=1時(shí)，

y1=A1y0+C1

(15)

聯(lián)立以上方程，

(16)

3.2.2位移的初始值

當(dāng)i=0時(shí)，聯(lián)立方程

(17)

可得

(18)

其中

η=A2(A3-2)-B3+1

3.2.3支護(hù)結(jié)構(gòu)底端虛節(jié)點(diǎn)的迭代公式及其系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)的初始值

根據(jù)底端的約束條件，對(duì)于軟土地區(qū)可以假設(shè)底端自由支承，那么M=0，V=0同上可得，

(19)

可以看出，當(dāng)i=n+3時(shí)，

不是搶，是拿土地?fù)Q么。我的八斗丘不要了，隨你們政府處置。你們占便宜呢，一個(gè)破茶場(chǎng)，值不了幾個(gè)錢(qián)，抵給我你們也安神。

yn+3=An+3yn+2-Bn+3yn+1+Cn+3

(20)

其中

An+3=2，Bn+3=1，Cn+3=0

聯(lián)立撓曲差分方程，

(21)

求解得，當(dāng)i=n+4時(shí)，

yn+4=An+4yn+3-Bn+4yn+2+Cn+4

(22)

其中

An+4=2

當(dāng)i=n+2時(shí)，

yn+2=An+2yn+1-Bn+2yn+Cn+2

(23)

其中

An+2=4/ξn+2

Bn+2=2/ξn+2

當(dāng)i=n+1時(shí)，

yn+1=An+1yn-Bn+1yn-1+Cn+1

(24)

其中

An+1=(4-2Bn+2)/ξn+1

Bn+1=1/ξn+1

3.3 帶支錨體系的支護(hù)結(jié)構(gòu)

對(duì)于有內(nèi)支撐或者錨索的情況，可以將支撐或者錨索的剛度轉(zhuǎn)化成等效地基水平抗力系數(shù)，和前面的討論統(tǒng)一起來(lái)。

由材料力學(xué)理論，軸向受力構(gòu)件的變形，

(25)

對(duì)于水平內(nèi)支撐結(jié)構(gòu)N=KΔx，因此得出其等效剛度系數(shù)，

(26)

對(duì)于斜支撐或者錨桿、錨索等結(jié)構(gòu)的內(nèi)力(圖3)及變形幾何關(guān)系(圖4)，

(27)

圖3 內(nèi)力分解

圖4 變形幾何關(guān)系(對(duì)于小變形以切代弧法)

因此得出其等效剛度系數(shù)，

(28)

由于圍護(hù)結(jié)構(gòu)在x方向上的尺寸遠(yuǎn)大于支錨結(jié)構(gòu)與圍護(hù)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)高度尺寸，根據(jù)圣維南原理，可以將節(jié)點(diǎn)高度范圍內(nèi)正應(yīng)力均勻分布，

(29)

σ=kΔx

(30)

因此等效地基水平抗力系數(shù)，

k=K/(Sh0)

(31)

式(25)～(31)中：Δx為在軸向力作用下支錨結(jié)構(gòu)的變形；N為支錨結(jié)構(gòu)的軸力；N0為支錨結(jié)構(gòu)軸力的水平分力；k為等效地基水平抗力系數(shù)；E為支錨結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；A為支錨結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面面積；L為支錨結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度；θ為支錨結(jié)構(gòu)與水平向的夾角；K為等效剛度系數(shù)；σ為節(jié)點(diǎn)高度范圍內(nèi)正應(yīng)力；S為支錨結(jié)構(gòu)的水平向間距；h0為支錨結(jié)構(gòu)的截面高度。

4 算例

天津市格蘭云天大廈基坑支護(hù)工程，主樓基坑深度15.2 m，基坑外側(cè)地面距坑邊2.0 m外作用寬度為3.5 m的均布荷載10 kPa，距坑邊5.5 m處寬度10 m的均布荷載40 kPa，設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)

采用排樁加兩道鋼筋混凝土支撐支護(hù)，樁直徑1.1 m，樁間距1.4 m，嵌固深度10.5 m。樁頂卸荷，卸荷平臺(tái)寬1.0 m，坡寬0.5 m，坡高1.2 m。第一道支撐截面800 mm×800 mm，支撐中心標(biāo)高-2.800 m，第二道支撐截面1400 mm×1000 mm，中心標(biāo)高-9.600 m(地表標(biāo)高0.000)，支撐長(zhǎng)度50 m，間距8 m。

根據(jù)本文結(jié)論，該方法不必考慮在開(kāi)挖面處支護(hù)結(jié)構(gòu)的連續(xù)性及邊界條件，只需要考慮支護(hù)結(jié)構(gòu)底端的邊界條件。作為彈性地基梁，其錨入土中部分實(shí)際上相當(dāng)于無(wú)數(shù)次的超靜定結(jié)構(gòu)，內(nèi)力分布相對(duì)較為均勻，與建筑結(jié)構(gòu)中的彈性地基梁不同的是，樁底沒(méi)有與墻柱連接，在軟土中可以忽略約束作用，因此樁底按自由支承考慮。根據(jù)式(20)、(22)～(24)得到迭代公式的初值(為定值)，即可實(shí)現(xiàn)支護(hù)結(jié)構(gòu)各處的位移及內(nèi)力的求解(圖5，表2)。

圖5 有限差分法得到的位移及彎矩

計(jì)算方法差分段長(zhǎng)度/m最大位移/mm有限差分法結(jié)果0.0143.7實(shí)際工程結(jié)果-40.7

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)出了基于Winkler彈性地基梁模型的基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變形的有限差分解。該方法的優(yōu)點(diǎn)有：

(1)將外界所有的條件視為廣義的荷載或地基，考慮了支護(hù)結(jié)構(gòu)與土相互作用的因素，與實(shí)際情況更接近一些；

(2)不必考慮在開(kāi)挖面處的連續(xù)性及邊界條件，從而免去復(fù)雜的求解，理論上可以求解在任何工況下支護(hù)結(jié)構(gòu)各處的內(nèi)力和變形；

(3)有著連續(xù)介質(zhì)有限元的優(yōu)點(diǎn)。

本文采用的方法由于將土體視為線彈性體，不考慮土體的塑性變形(支護(hù)結(jié)構(gòu)不允許有過(guò)大的變形)，計(jì)算結(jié)果偏于安全。從文中可以看出，由迭代方程、節(jié)點(diǎn)約束條件和差分方程本身組成的關(guān)于位移的線性方程組系數(shù)矩陣應(yīng)為滿秩矩陣，而且從迭代公式的初值均為定值可以得到驗(yàn)證，因此計(jì)算結(jié)果一定是收斂的。

與有限元方法一樣，線性的迭代計(jì)算也可以發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，采用常用的EXCEL計(jì)算即可，使用方便。有限單元法必須假定位移模式以反映位移的連續(xù)性，而該方法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮數(shù)值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，并且無(wú)需建立剛度矩陣，與有限單元法相比計(jì)算量更小，只要差分段劃分足夠小，總可以滿足工程上的精度要求。

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