一種考慮應力洛德角剪切變形的三維雙屈服面模型的初步研究

王 碩， 段新勝

(中國地質(zhì)大學(武漢) 工程學院， 湖北 武漢 430074)

本構模型的建立、計算及應用，在邊坡、地下巖石隧道、水電開發(fā)和鐵路、公路等工程建設中具有重要的實際應用意義。沈珠江[1]院士把現(xiàn)代土力學研究內(nèi)容劃分為應用土力學、實驗土力學、計算土力學、理論土力學，并指出本構模型是現(xiàn)代土力學科分支領域核心基礎。

自1963年，Rosco[2]等提出著名的劍橋模型，標志著土的本構理論發(fā)展進入新階段?，F(xiàn)在本構模型的種類已達到上百種，例如非線性彈性模型、內(nèi)時本構模型[3](無屈服準則，主要優(yōu)點不必建立不同材料的強度準則)、基于材料狀態(tài)相關臨界狀態(tài)理論的本構模型[4]、基于熱力學的本構模型[5]、統(tǒng)一硬化模型[6，7]、基于廣義塑性力學的本構模型[8]以及引入智能算法的本構模型[9]。大部分模型是建立在屈服準則基礎上，可以根據(jù)屈服面的多少，將模型簡單劃分為單屈服面、雙屈服面、三重屈服面和多重屈服面模型。

單屈服面模型有兩種：基于體積屈服面的劍橋模型和基于剪切變形的經(jīng)典彈塑性模型。對于“帽子”模型，如劍橋及修正劍橋模型、Khosla模型等，能較好地反映土的體積屈服變形，而不能較好地反映剪切變形。對于經(jīng)典彈塑性模型，如Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、 Lade-Ducan[10]的“錐形”剪切屈服面模型等主要反映了剪切屈服，卻沒有充分反映體積屈服。以上單屈服模型都不能較好地同時考慮剪切變形與體積變形即土的剪脹與剪縮基本特性。

針對以上單屈服面模型的局限性，Drucker較早地提出了雙屈服面模型概念，Prevost[11]、Baldi[12]、Lade[10]等發(fā)展了雙屈服面模型。國內(nèi)學者，沈珠江[13]提出了南水雙屈服面模型、殷宗澤[14]根據(jù)土體微觀變形機理提出一個實用的橢圓-拋物雙屈服面模型。

相比單屈服模型，雙屈面模型主要有兩方面優(yōu)點：一是能夠同時較好地反映土的剪脹與剪縮特性；二是能夠反映塑性應變增量方向與應力增量的相關性即相對于單屈服面，塑性應變增量方向不僅與土體單元所處的應力狀態(tài)有關，而且與應力增量相關。

為了更好地說明土的塑性變形性質(zhì)，沈珠江[15]基于“部分屈服面”的概念，提出了一個三重屈服面模型，楊光華[16]提出了土的本構模型的廣義位勢理論，對現(xiàn)有的各種建模理論探討了其數(shù)學上統(tǒng)一的聯(lián)系。鄭穎人等[8]提出了既適合于巖土材料，也適合于金屬的廣義位勢塑性力學。其中，廣義塑性力學理論根據(jù)矢量原理，采用三個線性無關的勢函數(shù)來擬合推導出廣義塑性力學及多重勢面理論。若采用為p,q,θσ塑性函數(shù)時， 相應的三個屈服面為：

(1)

(2)

此前，大部分雙屈服模型及沈珠江的三重屈服面模型均沒有體現(xiàn)出應力洛德角對屈服跡線的影響，未考慮到應力洛德角方向的剪切屈服面對土體塑性應變的影響。

圖1 偏平面上的剪切應力分量

圖2 π平面上塑性應變增量方向與屈服軌跡

以上傳統(tǒng)彈塑性模型包括單屈服面模型、雙屈服面模型、三重屈服面模型，均沒有考慮到洛德角θσ方向上剪切屈服面對土體變形的影響。大部分模型是建立在三軸壓縮試驗的基礎上，以平均正應力p和廣義剪應力q為變量的屈服方程，然后將模型推廣到三維應力條件下，其在π平面的屈服跡線是圓形，沒有考慮到應力洛德角對屈服面的影響。

本文提出一個基于廣義塑性力學的土體雙屈服面本構模型，與傳統(tǒng)沒有考慮洛德角影響的雙屈服面模型相比，此模型充分考慮了洛德角對本構模型的兩個方面的影響。通過基于SMP準則的變換應力法或g(θ)方法將模型三維化以考慮不同應力洛德角對屈服跡線的影響，實現(xiàn)偏平面上的剪切分量從三軸壓縮到拉伸的變化，同時構建了考慮洛德角θσ方向上塑性剪切應變的屈服面即式(1)中的第三式。該模型“等價”基于廣義塑性力學的土體三重屈服面模型，與其相比具有反映土體剪切變形、體積變形且考慮應力洛德角影響的基本相同的特性。

1 模型的建立

1.1 體積屈服面

體積屈服面一般可采用劍橋模型或修正劍橋模型、清華模型?；蛞胄螤顓?shù)R的修正劍橋模型：

(3)

式中，R為形狀參數(shù)；pc為前期固結壓力。

這里考慮較簡單的情況，選取殷宗澤[14]的壓縮屈服面即改進的適用于黏土材料的修正劍橋模型：

(4)

1.2 θσ方向上剪切屈服面

根據(jù)廣義塑性力學原理，采用的θσ方向上剪切屈服面一般形式可采用式(2)，孔亮根據(jù)殷宗澤[14]雙屈服面模型建議

(5)

(6)

式中，a，b為模型參數(shù)，可參考文獻 [22]，B同式(5)。

1.3 土體的剪脹性反映

(7)

(8)

1.4 本構模型三維化方法

為考慮屈服面函數(shù)在π平面的屈服跡線隨應力洛德角變化而不同對模型的影響，需對本構模型三維化。直接用廣義Mises方法，不會因應力洛德角的不同對土在三維應力狀態(tài)下的變形和強度產(chǎn)生影響。這里較簡單的方法可采用g(θ)方法和姚仰平[23,24]等提出的變換應力方法。

1.4.1變換應力法

(9)

式中，基于SMP準則的

I1,I2,I3為應力不變量；δij為Kronecker符號；

使用變換應力后的三維雙曲模型即下式

(10)

三維化后的模型形式與原模型相同，不增加模型參數(shù)，可在π平面的屈服面上，實現(xiàn)從剪切屈服到剪切破壞的連續(xù)性。

1.4.2g(θ)法

Zienkiewicz-Pand[25]提出了平面上形狀函數(shù)的方法，g(θ)方法簡單。

變換后的三維雙曲模型即下式

(11)

這里采用鄭穎人等提出的形式來逼近莫爾-庫侖不規(guī)則六角形

(12)

也可使用其他屈服函數(shù)的g(θ)，如Zienkiewicz- Pande準則的函數(shù)

(13)

(14)

對于模型式(11)和(14)，為簡單計，這里采用式(11)模型。此外，因g(θ)方法應用有一定限制，如Zienkiewicz-Pande準則的g(θ)函數(shù)中的內(nèi)摩擦角有限制，不能合理反映應力水平(摩擦發(fā)揮角)對變形和強度的影響，對此情況，采用變換應力法能夠同時考慮洛德角的影響和應力水平對變形和強度的影響。

2 雙屈服面彈塑性模型的應力-應變的剛度矩陣

為便于數(shù)值計算，現(xiàn)推導雙屈服面本構模型的剛度矩陣。記f1、f2為屈服面，g1、g2為塑性勢函數(shù)。對如圖3雙屈模型，將體積屈服面f1兩邊微分

圖3 子午平面上的屈服曲線

(15)

由相關流動法則

(16)

將式(15)帶入式(16)，可得

(17)

同理，對于θσ方向上剪切屈服面f2，可得

(18)

其中

對于雙屈服面模型的塑性應變增量

(19)

由應力應變關系并帶入式(19)，可得

{dσ}=[D]{dεe}=[D]({dε}-{dεp})

(20)

將式(20)分別帶入式(17)、式(18)，可得

(21)

以dλ1、dλ2為未知數(shù)解式(21)方程組，可得

(22)

其中

最后將本構方程寫成如下形式

{dσ}=[Dep]{dε}

(23)

其中，[Dep]為：

[Dep]=

(24)

至此，推導出了雙屈服面本構方程的應力-應變剛度矩陣[Dep]， 更便于數(shù)值計算分析。

3 結 論

本文提出的一種本構模型本質(zhì)上是基于廣義塑性力學的一個雙屈服面模型，具有嚴格數(shù)學推導基礎。該模型主要通過四個方面來實現(xiàn)：一是采用傳統(tǒng)雙屈模型的體積屈服面，較好地反映塑性體積；二是采用傳統(tǒng)雙屈模型所沒有考慮到的θσ方向上剪切屈服面，充分考慮到θσ方向上土體塑性剪切變形；三是在體積屈服面基礎上，通過硬化參數(shù)的積分變換方法來反映土體的剪脹剪縮特性；四是將本文雙屈模型通過g(θ)方法或基于SMP準則的變換應力法模型三維化，考慮到屈服面在偏平面上應力洛德角的影響。

該本構模型可以反映土體的壓硬性、剪脹性和摩擦性的基本特性，尤其是充分考慮到了應力洛德角對本構模型的兩方面影響即屈服面在偏平面上應力洛德角的影響和θσ方向上土體塑性剪切變形。同時能夠反映塑性應變增量方向與應力增量的相關性?？梢哉f該模型在一定程度上與基于廣義塑性力學原理的三重屈服面模型是等價的，兩者基本具有相同反映土體特性的功能。最后，文中推導給出了雙屈本構本構方程的應力-應變剛度矩陣，以便于數(shù)值計算。

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