構(gòu)造圓錐曲線模型巧解不等式

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂.在平時(shí)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)思維的發(fā)散與收斂，知識(shí)的外延和內(nèi)涵訓(xùn)練都是培養(yǎng)學(xué)生思維的好方法.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的框架特征，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，往往可以使得解題方法新穎別致、獨(dú)到創(chuàng)新.現(xiàn)以一些不等式的解法為例加以說明.

一、構(gòu)造橢圓模型，巧解一類含絕對(duì)值的不等式

【例1】 解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.

分析：該不等式是含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，這類不等式可使用零點(diǎn)劃分區(qū)間法、構(gòu)造函數(shù)法、幾何意義法等.那么根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，該不等式的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.這也恰好符合橢圓的定義，用橢圓的知識(shí)來解釋該不等式就是代表橢圓及其橢圓外部的x的取值范圍，利用橢圓的有界性便可輕松求解.

解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.

根據(jù)橢圓的定義可知c=2，a=52，

∴a2=254，b=94，

因此橢圓的方程為x2254+y294=1.

根據(jù)橢圓的有界性可得x≤-52或x≥52，

∴不等式的解集為{x|x≤-52或x≥52}.

二、構(gòu)造雙曲線模型，巧解一類含絕對(duì)值的不等式

【例2】 解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.

分析：根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，該不等式的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.這也恰好符合雙曲線的定義，用雙曲線的知識(shí)來解釋該不等式就是代表雙曲線右支的x的取值范圍，利用雙曲線的有界性便可求解.

解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.

根據(jù)雙曲線的定義可知c=5，a=4，∴b=3.

因此雙曲線方程為x216-y29=1（x>0）.

由雙曲線的有界性可得x≥4，

∴不等式的解集為{x|x≥4}.

三、構(gòu)造拋物線模型，巧解一類無理不等式

【例3】 已知a∈R，求證：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析：該不等式含有兩個(gè)根式，并且根號(hào)內(nèi)表達(dá)式的次數(shù)高達(dá)4次，因此求解起來特別的困難.根據(jù)數(shù)學(xué)化繁為簡的整體思想，將其配方降冪，其左端可變形為（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的幾何意義是拋物線y=x2上點(diǎn)P（a，a2）到點(diǎn)A（3，2）與到點(diǎn)B（0，1）距離之差的最大值是10.

解：根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，可以將其左端變形為

（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，

此不等式的幾何意義是拋物線上點(diǎn)P（a，a2）到點(diǎn)A（3，2）與到點(diǎn)B（0，1）距離之差的最大值是10.

∵A（3，2），B（0，1），

∴|AB|=10.

由圖可知||PA|-|PB||≤|AB|=10，因此原不等式得以證明.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，若能根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，挖掘其蘊(yùn)含的內(nèi)在意義，不但能優(yōu)化解題過程，而且還可以大大提高思維能力.

（責(zé)任編輯 金 鈴）