一道高考題的兩種猜想

2012年全國普通高考（大綱版）文科第12題：正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE=BF=13.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角.當(dāng)點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（ ）.

A.8 B.6 C.4 D.3

圖1解：如圖1，如果第二次碰點為G，由△BEF∽△CGF得CGBE=CFBF，又BE=CF=23，BF=13，解得CG=43，DG=13.點G在CD的延長線上，點G不是第二次碰點，第二次碰點在AD上，設(shè)為H，因為△HGD∽△FGC，所以DHCF=DGCG，解得DH=16；設(shè)第三次碰點為I，根據(jù)對稱性得DI=13，則CI=23，同理可得CJ=13，BJ=23，BK=43，AK=13，AL=16，AE=13，所以M與E重合，即P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了6次.

圖2如果AE=BF=12，易知P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了4次.

如果AE=BF=14，以A為坐標(biāo)原點，AB、AD兩條邊所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系（如圖2）.設(shè)第二、三、四、五、六、七、八次碰點分別為G、H、I、J、K、L、M，則KEF=13，KFG=-13，F(xiàn)G所在直線方程為y-14=-13（x-1），解得點G的坐標(biāo)為（0，712），于是GH所在直線方程為y=13x+712，解得點H的坐標(biāo)為（1，1112）.同理可得I（34，1），J（0，34），K（1，512），L（0，512），M（14，0）.M與E重合，即P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了8次.

如果AE=BF=15，同理可得P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了10次.

由AE=BF=12，AE=BF=13，AE=BF=14，AE=BF=15時，同理可得P第一次碰到E時，P與正方形的邊分別碰撞了4次、6次、8次、10次.

[猜想1]正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，如果AE=BF=1n（n∈N*，n≥2），動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角.當(dāng)點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為2n次.

現(xiàn)將條件換一下：如果AE=BF=23，點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為多少次？

圖3建立直角坐標(biāo)系（如圖3），則E（23，0）、F（1，23），設(shè)第二、三、四、五、六次碰點分別為G、H、I、J、K，則可以求得G（56，1）、H（13，0）、I（0，23）、J（16，1）、K（23，0），K與E重合，即P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了6次.

如果AE=BF=34（因為24=12，所以選34），同理可得，P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了8次.如果AE=BF=25，同理可得P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了10次.如果AE=BF=56（因為26=13，36=12，46=23，所以選擇56）.同理可得，P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞了12次.

[猜想2]正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，如果AE=BF=mn（m，n∈N*且n≥2，n>m，m、n互質(zhì)），動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角.當(dāng)點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為2n次.

（責(zé)任編輯 金 鈴）