利用隱函數(shù)定理解高考中二次曲線的切線問題

導(dǎo)數(shù)給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.縱觀歷年高考，有很多導(dǎo)數(shù)試題與高等數(shù)學(xué)中的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)有關(guān).本文是在高三備考復(fù)習(xí)中，對(duì)近些年來全國(guó)和若干?。ㄊ校└呖紨?shù)學(xué)卷中的把關(guān)題和壓軸題做一些簡(jiǎn)單分析，旨在為備考初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接知識(shí)方面起拋磚引玉的作用.

一、隱函數(shù)定理

設(shè)函數(shù)F（x，y）在包含（x0，y0）的一個(gè)開集上連續(xù)可微，并且滿足條件F（x0，y0）=0，F(xiàn)y（x0，y0）≠0，則存在以（x0，y0）為中心的開方塊D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）對(duì)任何一個(gè)x∈D，恰好存在唯一的一個(gè)y∈E，滿足方程F（x，y）=0.這就是說，方程F（x，y）=0確定了一個(gè)從D到E的函數(shù)y=f（x）；（2）函數(shù)y=f（x）在D連續(xù)可微，它的導(dǎo)數(shù)可按下式計(jì)算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.

二、問題

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C上一點(diǎn)，求過P點(diǎn)的橢圓C的切線方程；（Ⅱ）點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C外一點(diǎn)，過P引橢圓C的切線PA、PB，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，求直線AB的方程.

解：（Ⅰ）根據(jù)隱函數(shù)定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，∴過P的切線斜率k=-x0b2y0a2，

∴過P的切線方程為y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切線PA：x1xa2+y1yb2=1，切線PB：x2xa2+y2yb2=1，由直線PA、PB的交點(diǎn)為P（x0，y0），所以直線AB的方程為x0xa2+y0yb2=1.

三、推廣

命題1 已知圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）點(diǎn)P（x0，y0）是圓C上一點(diǎn)，則過P點(diǎn)的圓C的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）點(diǎn)P（x0，y0）是圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一點(diǎn)，過P引圓C的切線PA、PB，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，則直線AB的方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

命題2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線C上一點(diǎn)，則過P點(diǎn)的雙曲線C的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.（2）點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一點(diǎn)，過P引雙曲線C的切線PA、PB，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，則直線AB的方程為x0xa2-y0yb=1.

命題3 已知拋物線C：x2=2py（p>0）.

（1）點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線C上一點(diǎn)，則過P點(diǎn)的拋物線C的切線方程為x0x=2p·y0+y2.

（2）點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線C：x2=2py（p>0）外一點(diǎn)，過P引拋物線C的切線PA、PB，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)，則直線AB的方程為x0x=2p·y0+y2.

四、在高考中的應(yīng)用

圖1【例1】 如圖1，以橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓.過橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）（c>b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A.連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B.設(shè)直線BF是小圓的切線.（Ⅰ）證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，證明OP·OQ=12b2.

解：（Ⅰ）F（c，0），則A（c，b），所以O(shè)A的方程為y=bcx.

由y=bcx，

x2+y2=b2得B（bca，b2a），

則根據(jù)隱函數(shù)定理，小圓O在B點(diǎn)的切線BF的方程為bcax+b2ay=b2，又該切線過點(diǎn)F（c，0），

所以c2=ab，M（0，a），

（Ⅱ）由（1）知切線BF的方程為cx+by=ab，

由方程組x2a2+y2b2=1，

cx+by=ab，

得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，

∴x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3

=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.

又c2=ab，a2=b2+c2，∴a2=b2+ab.

∴a+b=a2b，a-b=b2a.

∴x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3

=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，

所以O(shè)P·OQ=x1x2+y1y2=12b2.

圖2【例2】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1（0，-3）和F2（0，3）為焦點(diǎn)、離心率為32的橢圓.設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量OM=OA+OB.求點(diǎn)M的軌跡方程.

解：根據(jù)題意，橢圓半焦距長(zhǎng)為3，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a=ce=2，半短軸長(zhǎng)b=1，即橢圓的方程為x2+y24=1.

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（cosθ，2sinθ）（其中0<θ<π2），則根據(jù)隱函數(shù)定理，曲線C在P的切線方程為xcosθ+y2sinθ=1，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1cosθ，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2sinθ），點(diǎn)M坐標(biāo)為（1cosθ，2sinθ），

所以點(diǎn)M的軌跡方程為（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.

評(píng)析：例1是過圓上的點(diǎn)作圓的切線，例2是過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，都是研究切線的直線方程，是命題1的應(yīng)用.

【例3】 如圖3，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=410，求此時(shí)拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py（p>0）上，其中點(diǎn)C滿足OC=OA+OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)M（x0，-2p），則根據(jù)隱函數(shù)定理，直線AB的方程為x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.

由x0x-py+2p2=0，

x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①

圖3即2x0=x1+x2.

所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x0=2時(shí)，

直線AB的方程為2x-py+2p2=0，

方程①即為x2-4x-4p2=0，

因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.

由弦長(zhǎng)公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.

又|AB|=410，所以p=1或p=2，

因此所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，則y1+y2=2x20+4p2p.

由題意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.

當(dāng)x0=0時(shí)，則x1+x2=2x0=0，此時(shí)，點(diǎn)M（0，-2p）符合題意.

當(dāng)x0≠0時(shí)，設(shè)D（x3，y3），由題意可得x23=2py3，

y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，

x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.

解關(guān)于x0，x3，y3的方程組，經(jīng)驗(yàn)檢該方程組無解.

所以x0≠0時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).

綜上所述，僅存在一點(diǎn)M（0，-2p）符合題意.

圖4【例4】 設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）在直線x=m（y≠±m(xù)，0

解：（Ⅰ）設(shè)A（xA，yA），N（xN，xN），∵AN垂直于直線y=x，則，yA-xNxA-xN=-1，∴xN=xA+yA2，

∴N（xA+yA2，xA+yA2）.設(shè)G（x，y），則

x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，

y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，

解得xA=94x-34y-34m，

yA=-34x+94y+14m，

代入雙曲線方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G點(diǎn)所在的曲線方程為（x-13m）229-y229=1.

（Ⅱ）設(shè)P（m，y0），則根據(jù)隱函數(shù)定理得

過P的雙曲線切線方程為mx-y0y=1，

又M（1m，0）滿足上述方程，

∴A、M、B三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評(píng)：例3是過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩切線，例4是過雙曲線外一點(diǎn)作雙曲線的兩切線，都是研究切點(diǎn)弦所在的直線方程，是以上命題（2）的應(yīng)用.

五、評(píng)析

（1）在近幾年高考試題中有關(guān)過曲線上點(diǎn)的切線、曲線外一點(diǎn)引曲線的兩切線的切點(diǎn)弦問題出現(xiàn)頻率高，而且以壓軸題為主.（2）用隱函數(shù)定理解這種題型比用常規(guī)方法（判別式法、轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)數(shù)、解方程組等）要省事.（3）這種題型具有明顯的高等數(shù)學(xué)背景，它對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)來說是非常必須的，具有較好的選拔功能，同時(shí)也具有導(dǎo)學(xué)和導(dǎo)教功能.

（責(zé)任編輯 金 鈴）