任意性和存在性問題的教學(xué)思考

任意性、存在性問題，是高考常考題型之一，我們教師在高考復(fù)習(xí)時多以“題海”戰(zhàn)術(shù)來突破，不僅效率低，同時也加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，使相當(dāng)一部分學(xué)生“喪失”了學(xué)習(xí)的興趣.如何有效地指導(dǎo)學(xué)生突破是擺在每一位高三數(shù)學(xué)教師面前的任務(wù).精選好題目，再適當(dāng)?shù)貙⒃瓉淼念}目變形，這樣既可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又能激發(fā)學(xué)生解答問題時思維的積極性、主動性，培養(yǎng)學(xué)生深入探究的思維品質(zhì)，幫助學(xué)生更好地掌握所學(xué)的知識，達(dá)到舉一反三的目的.下面就由一道例題展開，闡述自己的教學(xué)看法.

【例題】 已知函數(shù)f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

解析：（1）f（x）=mxx2+n（m，n∈R），f′（x）=m（x2+n）-mx·2x（x2+n）2=mn-mx2（x2+n）2.

因為f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2，所以f′（1）=0，

f（1）=2.

解得m=4，

n=1，或m=0，

n=-1，經(jīng)檢驗m=0，

n=-1不合題意，舍去；m=4，

n=1符合題意，所以f（x）=4xx2+1.

（2）f′（x）=4-4x2（x2+1）2=-4（x+1）（x-1）（x2+1）2，令f′（x）=0得x=-1或x=1.

當(dāng)x<-1時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減；當(dāng)-10，函數(shù)f（x）在（-1，1）單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減.又因為x<0時，f（x）<0；x>0時，f（x）>0，所以當(dāng)x=-1時，f（x）取得最小值-2，當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值為2.

因為對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

因為g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2，

當(dāng)a≤-1時，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a<-2，得a<-1；

當(dāng)a≥1時，g（x）的最小值為g（1）=1-a，由1-a<-2，得a>3；

當(dāng)-1

綜上，a∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，把任意性、存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系問題.例題的第（2）問，是對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

思考：把第（2）問條件改為“對于任意x2∈[-1，1]，總存在x1∈R”，又該如何解決？

變式1：已知函數(shù)f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2ax+a，若對于任意x2∈[-1，1]，總存在x1∈R，使得g（x2）

解析：對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

因為g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2，

當(dāng)a≤0時，g（x）的最大值為g（1）=1-a，由1-a<2，得-1

當(dāng)a>0時，g（x）的最大值為g（-1）=1+3a，由1+3a<2，得0

綜上，a∈（-1，13）.

思考：把第（2）問條件再改為“對于任意x1∈R，任意x2∈[-1，1]”，又如何解決？

變式2：已知函數(shù)f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2ax+a，是否存在實數(shù)a，對于任意x1∈R，x2∈[-1，1]，g（x2）

解析：對于任意x1∈R，x2∈[-1，1]，都有g(shù)（x2）

當(dāng)a≤0時，g（x）的最大值為g（1）=1-a，1-a<-2，無解；

當(dāng)a>0時，g（x）的最大值為g（-1）=1+3a，1+3a<-2，無解.

綜上，不存在實數(shù)滿足條件.

思考：把第（2）問條件改為“存在x1∈R，x2∈[-1，1]”，又如何解決？

變式3：已知函數(shù)f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2ax+a，若存在x1∈R，x2∈[-1，1]，使得g（x2）

評析：若存在x1∈R，x2∈[-1，1]，使得g（x）

當(dāng)a≤-1時，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a<2，得a≤-1；

當(dāng)a≥1時，g（x）的最小值為g（1）=1-a，由1-a<2，得a≥1；

當(dāng)-1

綜上，a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）.

本題通過互換任意性及存在性、全部變換為任意性、全部變換為存在性等變形，循序漸進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生處于一種愉悅的探索歷程中，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、變通性.通過這樣的復(fù)習(xí)，還能使學(xué)生對如何解決任意性、存在性問題有了更深刻的理解.

一道題在手，若能打開思維的窗扉，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力及知識遷移能力，還可以開闊學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和想象力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)課堂的有效性.精選、會用、善變，通過對一道數(shù)學(xué)題目的“變化”，讓學(xué)生體會出“數(shù)學(xué)美”.教師借助一題多變進(jìn)行教學(xué)，是提高教學(xué)質(zhì)量、發(fā)展學(xué)生思維能力和增強(qiáng)學(xué)生解題能力的重要途徑.

（責(zé)任編輯 金 鈴）