含參二次不等式的邏輯分類歌訣

含參數(shù)的二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)常見問題，處理此問題的通法是邏輯分類.為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)，給出含參數(shù)二次不等式的邏輯分類歌訣：含參二次不等式，十字相乘作指示；因式分解見兩根，邏輯分類有區(qū)分；首項系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負；首項系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負；不能分解誰做主，判別式，來幫助.

歌訣含義是：對于含參數(shù)的二次不等式，首先考慮十字相乘法分解因式；如果能因式分解，雖然能顯示方程的2個根，但分類時需要對首項系數(shù)是否含參數(shù)進行區(qū)分；如果首項系數(shù)含參數(shù)，就先討論首項系數(shù)零、正、負三種情形，如果首項系數(shù)無參數(shù)，就討論兩根的大小.對于不能因式分解的含參二次不等式，首先應(yīng)討論判別式為零、正、負的情況.下面舉例說明.

一、十字相乘能分解但首項不含參數(shù)的情形

【例1】 解關(guān)于x的不等式：x2+（a2+a）x+a3<0.

解：由歌訣“十字相乘作指示”，將原不等式化為（x+a）（x+a2）<0.由歌訣“首項系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負”，就-a和-a2的大小進行如下分類：（1）當(dāng)-a=-a2，即a=0或1時，不等式化為x2<0或（x+1）2<0，解集為；（2）當(dāng)-a<-a2，即0-a2，即a<0或a>1時，不等式的解集為（-∞，-a2）∪（-a，+∞）.

二、十字相乘能分解且首項含參數(shù)的情形

【例2】 解關(guān)于x的不等式：mx2+（m-2）x-2>0.

解：由歌訣“十字相乘作指示”，將原不等式化為（mx-2）（x+1）>0.

由歌訣“首項系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負”，進行如下分類：（1）當(dāng)m=0時，不等式化為-2（x+1）>0，解得x<-1；（2）當(dāng)m>0時，不等式化為（x-2m）（x+1）>0，不等式的解集為（-∞，-1）∪（2m，+∞）；（3）當(dāng)m<0時，原不等式化為（x-2m）（x+1）<0.又由歌訣“首項系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負”，進行如下分類：①若2m=-1，即m=-2時，不等式化為（x+1）2<0，解集為；②若2m>-1，即m<-2時，不等式的解集為（-1，2m）；③若2m<-1，即-2

綜上，當(dāng)m=0時，不等式的解為x<-1；當(dāng)m=-2時，不等式的解集為；當(dāng)m>0時，不等式的解集為（-∞，-1）∪（2m，+∞）；當(dāng)-2

三、十字相乘不能分解且首項不含參數(shù)的情形

【例3】 解關(guān)于x的不等式x2+4x+3+a≤0.

解：由歌訣“不能分解誰做主，判別式，來幫助”，進行如下分類：（1）當(dāng)Δ≤0，即a≥1時，不等式化為（x+2）2+a-1≤0，解集為；（2）當(dāng)Δ=0，即a=1時，不等式化為（x+2）≤0，解集為{-2}；（3）當(dāng)Δ>0，即a<1時，由（x+2）2+a-1=0得x1，2=-2±1-a，解集為[-2-1-a，-1+1-a].

四、十字相乘不能分解且首項含參數(shù)的情形

【例4】 解關(guān)于x的二次不等式：ax2+2x+1<0（a≠0）.

解：由歌訣“不能分解誰做主，判別式，來幫助”，一級分類如下：（1）當(dāng)Δ=0時，即a=1，不等式化為（x+1）2<0，解集為；（2）當(dāng)Δ<0時，即a>1，不等式化為a（x+1a）2+a-1a<0，解集為；（3）當(dāng)Δ>0時，即a<1且a≠0時，不等式化為a（x+1a-1-1a）（x+1a+1-1a）<0.由歌訣“首項系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負”（注意a≠0），二級分類如下：①當(dāng)0

綜上，當(dāng)a<0時，解集為（-∞，-1a-1-1a）∪（-1a+1-1a，+∞）；當(dāng)0

盡管含參數(shù)的二次不等式情形多、分類繁，但淺顯且押韻的歌訣不僅有助于在分類中思路清晰，而且便于學(xué)生輕松掌握分類的要領(lǐng)，確有化難為易的功效.

（責(zé)任編輯 金 鈴）