開展數(shù)學(xué)變式教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生思維能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常常會發(fā)現(xiàn)當(dāng)問題的形式或題目稍加變化時，許多學(xué)生就束手無策.當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家G.波利亞說過：“我們?nèi)绻挥谩}目的變更’，幾乎是不能有什么進(jìn)展的.”這就是說，我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)關(guān)注變式問題，加強(qiáng)變式題的研究.在教學(xué)中不能就題論題，要以題論理，舉一反三，通過變式教學(xué)提高課堂教學(xué)的有效性.

所謂變式教學(xué)，就是在教學(xué)過程中，充分利用教材的例題和習(xí)題，有計劃、有目的、合理地變換命題的條件或結(jié)論，靈活轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式，但同時應(yīng)保留好問題中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生能更好地掌握其中的本質(zhì)屬性.采用的方法主要是改變問題的表達(dá)方式（如互換題設(shè)與結(jié)論，改變圖形的位置、形狀、大小等），規(guī)律及語言符號的互譯，最終在變化過程中使學(xué)生掌握問題的本質(zhì).

一、開展數(shù)學(xué)概念變式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，它比較抽象，學(xué)生容易感到乏味.所以在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，可以利用多樣化的變式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生參與概念形成過程的積極性，主動去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造，進(jìn)一步幫助學(xué)生弄清楚每個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，這樣能更好地培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析以及概括能力.

【例1】 學(xué)習(xí)“絕對值”時，首先讓學(xué)生理解絕對值的幾何意義、代數(shù)意義及它的數(shù)學(xué)符號表達(dá)式，然后讓學(xué)生通過下列的變式題掌握絕對值的概念.

變式題：判斷下列語句是否正確.

（1）沒有絕對值等于-3的數(shù).（2）絕對值等于本身的數(shù)是0.（3）任何有理數(shù)的絕對值是正數(shù).（4）0是絕對值最小的數(shù).（5）絕對值等于3的數(shù)是3.（6）若|a|=|b|，則a=b.

通過以上的變式教學(xué)，可以使學(xué)生對概念的理解逐漸加深，對概念的本質(zhì)理解透徹，可以避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，從而在有限的時間內(nèi)獲得最大的效益，大大提高課堂效率.

二、利用變式使學(xué)生認(rèn)知定理和公式中概念間的多種聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生多向變通的思維能力

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，還有賴于掌握、應(yīng)用定理和公式去進(jìn)行推理、論證和演算.定理和公式的實質(zhì)是人們對于概念之間存在的本質(zhì)聯(lián)系的概括，所以理解定理和公式中概念的聯(lián)系是學(xué)習(xí)定理和公式的關(guān)鍵.學(xué)生不能熟練、靈活運用定理和公式的根源是對定理和公式的機(jī)械理解和記憶，是缺乏多向變通思維能力的結(jié)果.所以，在定理和公式的教學(xué)中，可利用變式，指導(dǎo)學(xué)生深刻理解定理和公式中概念的多種聯(lián)系，從而做到靈活運用.

【例2】 在學(xué)習(xí)“平行線分線段成比例定理”時，學(xué)生對于“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段的比相等”理解不透，經(jīng)常在運用中出錯.實際上學(xué)生出錯的原因就在于沒有理解透這句話中的關(guān)鍵詞：截兩條直線、所得的對應(yīng)線段.因此，可以設(shè)計如下的變式題讓學(xué)生練習(xí).

1.已知，如圖1，l3∥l4∥l5，分別與直線l1、l2交于點A、B、C、D、E、F，則有：AB（ ）=（ ）EF，（ ）AC=DE（ ）.

2.如圖2，判斷下列式子是否正確.

（1）ADBD=CEAE （2）EDCB=ADDB （3）ABAC=CEDB

3.如圖3，若DC∥EF∥AB，則有（ ）.

A.ODOF=OCOE B.OFOE=OBOA

C.OAOC=ODOBD.CDEF=ODOE

通過上述的三個小練習(xí)，使學(xué)生對“所得的對應(yīng)線段”有了較為清晰的理解，學(xué)生的辨析能力得到提高，思維更加縝密.通過對定理的變式訓(xùn)練，使得學(xué)生對定理和公式能正確把握，從而有效地防止了機(jī)械地背誦、套用公式和定理，提高了學(xué)生變通思考問題和靈活應(yīng)用概念、公式以及定理的能力.

三、在解題教學(xué)中適當(dāng)應(yīng)用變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

解題教學(xué)中，變式常常表現(xiàn)為兩類：一類為解題變式，即一題多解，也就是G.波利亞的《怎樣解題》中提到的“你能不能用不同的方式重新敘述它……”；另一類為題型變式，即多題同解，也就是G.波利亞的《怎樣解題》中提到的：“這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題.你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？”教學(xué)中可以恰當(dāng)?shù)刈儞Q題目的條件或結(jié)論，變換題目的表現(xiàn)形式，但要注意題目本身的實質(zhì)不變.用這種方式進(jìn)行教學(xué)，可以避免學(xué)生受思維定式的束縛，從而實現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)變，使思維呈現(xiàn)發(fā)散的狀態(tài).

【例3】 一家商店銷售某種進(jìn)價為每件20元的服裝，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)y=-10x+500.如果想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？

解：依題意得：（x-20）y=2000，

即（x-20）（-10x+500）=2000，

解得x1=30，x2=40.

變式一：設(shè)該商店銷售這種服裝每月獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

變式二：若這種服裝的銷售單價不得高于32元，每月想要獲得的利潤不低于2000元，那么每月的成本最少需要多少元？

以上的變式是在原題的基礎(chǔ)上的自然引申，促進(jìn)學(xué)生把知識學(xué)活，從而提高了學(xué)習(xí)效率.

【例4】 如圖4，已知：A、C、B為同一直線上三點，分別以AC、BC為邊在線段同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F.若∠ACD=60°，則∠AFB= .

變式一：如圖5，若∠ACD=90°，則∠AFB= .

變式二：如圖6，若∠ACD=120°，則∠AFB= .

變式三：如圖7，若∠ACD=α，則∠AFB= .（用含α的式子表示）

這一系列問題的本質(zhì)，其實就是證明△ACE≌△DCB，然后利用全等三角形對應(yīng)角相等及三角形內(nèi)角和知識解決問題.

【例5】 人教版數(shù)學(xué)課本九年級（上）習(xí)題24.2第14題：如圖8，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.

這道題涉及圓的切線的知識，如果學(xué)生只停留在就題論題上，這道題就失去了真正的內(nèi)涵.所以教師要對此題進(jìn)行變式，拓寬學(xué)生思維，加深學(xué)生對知識的理解.

變式一：如圖8，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線交AD于D，AC平分∠DAB.求證：AD⊥CD.

變式二：如圖8，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點且AD⊥CD于D，AC平分∠DAB.求證：CD為⊙O的切線.

變式三：若A、B、C三點均在⊙O上，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，AC平分∠DAB.求證：AB為⊙O的直徑.

綜上可知，由“AB為⊙O的直徑”、“AD⊥CD”、“CD為⊙O的切線”、“AC平分∠DAB”四者中的任意三個條件可以推出第四個結(jié)論.

變式四：（2010·山東德州）如圖9，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，AE平分∠BAD交BC于點E，點O是AB上一點，⊙O過A、E兩點，交AD于點G，交AB于點F.

（1）求證：BC與⊙O相切；（2）當(dāng)∠BAC=120°時，求∠EFG的度數(shù).

有了上面知識作基礎(chǔ)，學(xué)生對于這道中考題的證明就得心應(yīng)手了.

總之，在教學(xué)實踐過程中，結(jié)合學(xué)生的心理發(fā)展程度和年齡特征，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，利用變式手法加強(qiáng)訓(xùn)練，能夠很好地鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、打破學(xué)生的思維定式，提高學(xué)生的分析和解決問題能力.變式訓(xùn)練對于培養(yǎng)學(xué)生敢于思考，敢于聯(lián)想、敢于質(zhì)疑的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力與創(chuàng)新精神起著重要作用.當(dāng)然，課堂教學(xué)中的變式題最好以教材為源，以學(xué)生為本，體現(xiàn)出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學(xué)中滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)中.問題變式要抓住變式教學(xué)的精髓，問題設(shè)計要符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，變式教學(xué)要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生也學(xué)會“變題”，使學(xué)生自己去探索、分析、綜合，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)；讓學(xué)生系統(tǒng)地、深層次地了解一類題的內(nèi)在聯(lián)系，整合那些零散、斷裂、孤立的知識點，使學(xué)生每做一道題都有一種豁然開朗的感覺，從而站得高、看得遠(yuǎn)，思維得到不斷升華.

（責(zé)任編輯 黃春香）