在計(jì)算機(jī)環(huán)境中探索美妙的變換

[摘 要] 隨著現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的不斷深入，借助相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件讓學(xué)生更加直觀、生動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，積累更多的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)成為新一輪數(shù)學(xué)課程改革的趨勢(shì)。本文設(shè)計(jì)了兩則在“幾何畫板”中學(xué)習(xí)的小學(xué)第二學(xué)段“圖形與變換”的活動(dòng)課案例，并結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念分析了在計(jì)算機(jī)環(huán)境中讓學(xué)生探索美妙變換的意義和注意點(diǎn)，期望能對(duì)計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)環(huán)境中的數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有一定的借鑒作用。

[關(guān)鍵詞] 計(jì)算機(jī)；變換；幾何；小學(xué)生

[中圖分類號(hào)] G623.58 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1005-4634（2013）01-0110-02

目前，計(jì)算機(jī)正在對(duì)幾何課程產(chǎn)生越來(lái)越多的影響，它不僅可以有效提高幾何教學(xué)的效率，深化對(duì)幾何的猜想、討論、證明，而且可以為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概念和結(jié)構(gòu)創(chuàng)造環(huán)境、提供工具。讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)環(huán)境中探索生活中美妙的變換，更有利于學(xué)生形成自己的猜想、驗(yàn)證猜想，并在驗(yàn)證時(shí)“看到”自己的猜想，建立起“所想的”與“所見(jiàn)的”之間的聯(lián)系，這對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的頭腦中都會(huì)發(fā)出“咔嗒”一聲，使他們知道“哦，我得到了”。

本文以計(jì)算機(jī)中的“幾何畫板”軟件為探索工具，以生活中美妙的變換為背景，嘗試讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)環(huán)境中探索和創(chuàng)作自己喜歡的變換，使學(xué)生更好地理解什么是平移、什么是對(duì)稱、什么是旋轉(zhuǎn)，以及這些變換對(duì)生活的意義。

1 小學(xué)第二學(xué)段“圖形與變換”的活動(dòng)課 設(shè)計(jì)

案例1：《雪花人》——雪花片

設(shè)計(jì)意圖：把文學(xué)作品當(dāng)作日常生活中美妙變換的一個(gè)例子，讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)程序制作出自己創(chuàng)作的雪花片，其中要求體現(xiàn)和應(yīng)用提到過(guò)的相關(guān)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，如平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱。

教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生能應(yīng)用他們學(xué)到的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，如平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱，利用幾何畫板創(chuàng)作出美妙的雪花片。

教具、學(xué)具：計(jì)算機(jī)（給每位學(xué)生配備一臺(tái)裝有幾何畫板軟件的計(jì)算機(jī)）；空白紙（每位學(xué)生一張）；馬丁的《雪花人》。

教學(xué)過(guò)程：（1）請(qǐng)學(xué)生快速回顧已經(jīng)知道的和前面學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)。通過(guò)回答問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生想象出日常生活中用到變換概念的事物。（2）向全班同學(xué)講《雪花人》的故事，并呈現(xiàn)故事中的雪花照片和故事情節(jié)所需的輔助信息。（3）讓學(xué)生討論故事中的雪花片，使學(xué)生積極地投入到變換的探索中，并激發(fā)學(xué)生自己創(chuàng)作雪花片的欲望。（4）讓學(xué)生在紙上構(gòu)思自己的雪花片。（5）讓學(xué)生解釋他們將在幾何畫板上探索、創(chuàng)作的雪花片，并簡(jiǎn)單說(shuō)明使用的程序，同時(shí)提醒學(xué)生運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱這些工具。（6）學(xué)生在幾何畫板上創(chuàng)作自己的雪花片并寫下雪花片建構(gòu)的過(guò)程，使學(xué)生更加熟悉與變換有關(guān)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。（7）全班交流。

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：要求每個(gè)學(xué)生至少創(chuàng)作出5種不同的雪花片，并且用文檔描述每一種雪花片，包括用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描述是怎樣得到最后結(jié)果的。然后每個(gè)學(xué)生跟全班同學(xué)分享自己的作品，使大家看到很多自己沒(méi)有想到的創(chuàng)意。

案例2：國(guó)旗——旗幟

這節(jié)課適合在“圖形與變換”部分的最后進(jìn)行，要求學(xué)生運(yùn)用變換的性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)作。

設(shè)計(jì)意圖：將“圖形與變換”和日常生活中的事物聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生積極應(yīng)用“圖形與變換”中學(xué)到的知識(shí)創(chuàng)作能反映變換概念和思想的作品。

教學(xué)目標(biāo)：（1）學(xué)生能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)創(chuàng)作出獨(dú)一無(wú)二的旗幟，旗幟中要求包含已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的各種變換。（2）學(xué)生能將創(chuàng)作的旗幟直觀化（直接在紙上制作出來(lái)或通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)后再在紙上制作）。

教具、學(xué)具：世界各國(guó)國(guó)旗的照片；空白紙（每位學(xué)生一張，讓學(xué)生設(shè)計(jì)旗幟的草圖）；單元教學(xué)過(guò)程中討論過(guò)的圖案；裝有幾何畫板軟件的計(jì)算機(jī)（每位學(xué)生一臺(tái)）；彩色美術(shù)紙；蠟筆；膠水等（學(xué)生在制作旗幟時(shí)需要用什么就可以用什么）。

教學(xué)過(guò)程：（1）讓學(xué)生看3～4組國(guó)旗，并要求他們寫下每面國(guó)旗中用到的幾何形狀、顏色以及各國(guó)國(guó)旗的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。學(xué)生應(yīng)該能識(shí)別出國(guó)旗中的各種圖案。（2）列出清單之后，把全班同學(xué)聚在一起，相互交流各自的發(fā)現(xiàn)和想法。把學(xué)生討論出來(lái)的想法寫在黑板上，讓學(xué)生在創(chuàng)作自己的旗幟時(shí)可以參考。（3）學(xué)生各自創(chuàng)作自己的旗幟。有些學(xué)生在紙上繪制旗幟之前需要在幾何畫板上做實(shí)驗(yàn)，以徹底檢驗(yàn)他們頭腦中的圖片。學(xué)生應(yīng)該關(guān)注他們用什么形狀，制作成什么圖案，并用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描述他們是怎樣創(chuàng)作他們選擇的圖案的。這些旗幟應(yīng)該是獨(dú)一無(wú)二的，都是學(xué)生的代表作。（4）全班交流。

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：每面旗幟都必須包括至少2種變換。在每面旗幟的背后寫上運(yùn)用的變換類型、圖形的形狀和顏色。學(xué)生也應(yīng)該寫上他們從設(shè)計(jì)和編排過(guò)程中學(xué)到的知識(shí)或積累的經(jīng)驗(yàn)，以及這些變換在日常生活中的應(yīng)用途徑。

2 案例反思

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》指出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程；現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)作為學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去；同時(shí)要求學(xué)生在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中能“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”；“描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”；“依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形”，積累豐富的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；诖?，可以從以下三個(gè)方面對(duì)上述兩則案例進(jìn)行反思。

2.1 選取“兒童文學(xué)、雪花片、旗幟”為探索變 換的主要素材

教學(xué)“圖形與變換”時(shí)，通常會(huì)選用蜻蜓的翅膀、窗花、臉譜等作為探索變換的素材，很少將文學(xué)作品、國(guó)旗等融入變換的教學(xué)中。事實(shí)上，把文學(xué)作品當(dāng)作教學(xué)工具不僅可以抓住學(xué)生的注意力，使他們自覺(jué)地參與到各種探究活動(dòng)中，而且有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)概念[1]。

案例1 以馬丁的《雪花人》為背景，在故事中向?qū)W生介紹一朵朵獨(dú)一無(wú)二的雪花片。從威爾遜班提拍攝的雪花照片中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，每一片雪花幾乎都是六角形的，是由六個(gè)尖角構(gòu)成的一個(gè)對(duì)稱的完美造型，這使學(xué)生為這種精致的晶體深深著迷，自己動(dòng)手創(chuàng)作的欲望油然而生。

案例2以世界各國(guó)的國(guó)旗為背景，引導(dǎo)學(xué)生討論各國(guó)國(guó)旗中不同顏色排列所成的圖案、識(shí)別出各種幾何形狀、比較出這些幾何形狀的大小、探究其中的各種變換，激發(fā)學(xué)生自己創(chuàng)作旗幟的興趣以及在計(jì)算機(jī)里驗(yàn)證自己創(chuàng)意的欲望。同時(shí)，通過(guò)討論各國(guó)國(guó)旗的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)、本國(guó)元素的表達(dá)方式，可以使學(xué)生建立起數(shù)學(xué)與社會(huì)學(xué)科之間的聯(lián)系。

2.2 創(chuàng)設(shè)計(jì)算機(jī)環(huán)境，讓學(xué)生“看見(jiàn)”自己的創(chuàng)意

計(jì)算機(jī)環(huán)境可以通過(guò)讓學(xué)生操作幾何對(duì)象創(chuàng)作出美妙的圖案，“看見(jiàn)”自己的創(chuàng)意，積累操作計(jì)算機(jī)的經(jīng)驗(yàn)。這對(duì)于喜歡直觀學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，他們可以“看著”圖案變換，發(fā)出“原來(lái)如此”的感嘆；對(duì)于喜歡通過(guò)聽(tīng)覺(jué)來(lái)學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，計(jì)算機(jī)可以為他們提供一個(gè)討論的基礎(chǔ)，一起反思看到的東西。

案例1里，學(xué)生可以通過(guò)幾何畫板中畫圖、變換等功能輕松愉快地創(chuàng)作自己喜歡的雪花片，把心中的構(gòu)思、紙上的草圖變成計(jì)算機(jī)處理下的作品，讓計(jì)算機(jī)屏幕上布滿美妙的雪花片，看到自己的創(chuàng)意。同時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)改變操作步驟，感受雪花片動(dòng)態(tài)演變帶來(lái)的樂(lè)趣。

案例2的計(jì)算機(jī)環(huán)境是學(xué)生動(dòng)手制作旗幟的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，他們可以通過(guò)在幾何畫板中選擇需要的基本圖形，進(jìn)行顏色、大小、位置的調(diào)試，不斷檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)形成的圖案是否符合自己最初的想法。同時(shí)，學(xué)生在看著計(jì)算機(jī)“成像”的過(guò)程中可能會(huì)不斷產(chǎn)生新的想法，使創(chuàng)作出來(lái)的旗幟更加別致、更富意味。

2.3 讓學(xué)生在動(dòng)手操作中積累豐富的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不僅是制作雪花片和旗幟的最基本知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，而且是學(xué)生今后用圖形進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作，特別是進(jìn)行鑲嵌設(shè)計(jì)的必要基礎(chǔ)。鑲嵌就是在平面上平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)幾何對(duì)象，使之沒(méi)有空隙和重疊，它是“裝飾藝術(shù)中常見(jiàn)的圖案，我們的生活世界中普遍存在”[2]。

案例1主要讓學(xué)生熟悉計(jì)算機(jī)操作，熟悉幾何畫板軟件中需要應(yīng)用的各種功能，特別是基本圖形的構(gòu)建，平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)這三種幾何變換的操作；同時(shí)，學(xué)生在計(jì)算機(jī)的操作過(guò)程中會(huì)不斷地產(chǎn)生猜想，通過(guò)操作步驟的設(shè)計(jì)與調(diào)整驗(yàn)證自己的猜想，使看到的圖案越來(lái)越美妙。另外，讓學(xué)生先說(shuō)說(shuō)制作雪花片的步驟，再在計(jì)算機(jī)環(huán)境中邊創(chuàng)作邊記錄，最后全班交流創(chuàng)作過(guò)程，這樣不僅可以使學(xué)生在反復(fù)地說(shuō)、聽(tīng)、看中進(jìn)一步理解對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)的概念，而且可以讓學(xué)生積累計(jì)算機(jī)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展算法思維。

案例2的動(dòng)手操作不僅可以使學(xué)生進(jìn)一步熟悉計(jì)算機(jī)的操作，而且可以把計(jì)算機(jī)中模擬的操作應(yīng)用到實(shí)際的制作過(guò)程中，更好地感受美妙圖案是怎樣形成的，各種變換是如何實(shí)現(xiàn)在不變化幾何對(duì)象本身的情況下使其在空間里運(yùn)動(dòng)的。在旗幟的制作過(guò)程中，學(xué)生除了將圖形進(jìn)行翻轉(zhuǎn)、滑行和轉(zhuǎn)動(dòng)，還要進(jìn)行圖形的鑲嵌與覆蓋，這些都有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)和圖形之間的關(guān)系，從而更好地探索不規(guī)則圖形的面積。

參考文獻(xiàn)

[1]Moore S D.Bintz W P.Teaching geometry and measurement through literature[J].Mathematics Teaching in the Middle School，2002，8（2）：78-84.

[2]Pumfrey E，Beardon T.Art and mathematics-mutual enrichment[J].Micromath，2002，18（2）：21-26.