例析二次函數(shù)最值問(wèn)題的錯(cuò)誤類(lèi)型

摘 要： 二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，關(guān)于二次函數(shù)最值問(wèn)題及其應(yīng)用也是中考常見(jiàn)題型.本文對(duì)這類(lèi)題型常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析討論，對(duì)癥下藥，尋找解決策略.

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 最值問(wèn)題 常見(jiàn)錯(cuò)誤

有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像是初三升中考試的必考知識(shí)點(diǎn).數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常會(huì)有這樣的經(jīng)歷，許多學(xué)生在解決二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)會(huì)反復(fù)出現(xiàn)相似的錯(cuò)誤.面對(duì)這些常見(jiàn)錯(cuò)誤，大家可能會(huì)用“粗心大意”或是“思維呆板”來(lái)解釋.但深入分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些錯(cuò)誤都存在著一定的根源.

課堂上通常會(huì)選擇大量的相關(guān)題型訓(xùn)練來(lái)達(dá)到鞏固知識(shí)方法的目的，但效果甚微.筆者認(rèn)為，消除錯(cuò)誤的關(guān)鍵是要幫學(xué)生剖析清楚錯(cuò)誤的原因.再者，學(xué)生訓(xùn)練的題目不在于量多，而需教師精選典型題目，最好是在綜合應(yīng)用時(shí)選擇一兩道能集中反映各類(lèi)問(wèn)題的題目，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決讓學(xué)生有比較整體、綜合的認(rèn)識(shí)，從而獲得相應(yīng)的方法技能.下面通過(guò)一個(gè)具體的例子對(duì)學(xué)生在解決二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行探討.

例：若利用景區(qū)內(nèi)一堵長(zhǎng)為24米的墻和一卷長(zhǎng)120米的展布圍成矩形展覽區(qū)，怎樣設(shè)計(jì)可使展覽區(qū)的面積最大？

學(xué)生要著手解決這個(gè)問(wèn)題倒不是難事.通常有以下幾種解題思路：

正確解答：根據(jù)圖2的設(shè)計(jì)，x+（x-24）<120，得x<72，所以x∈[24，72）.展覽區(qū)面積S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，當(dāng)x=36時(shí)取得最大面積為1296平方米.

按照?qǐng)D1進(jìn)行設(shè)計(jì)矩形展覽區(qū)是由思維定勢(shì)引起的，根據(jù)題意學(xué)生不自覺(jué)地限定與墻平行的一邊AB≤24米，因此有了錯(cuò)誤一和錯(cuò)誤二.而錯(cuò)誤一的另一個(gè)典型錯(cuò)誤就是由于學(xué)生在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)常常忘記要結(jié)合實(shí)際對(duì)變量進(jìn)行討論.圖2的設(shè)計(jì)則考慮到了其他可能的實(shí)際情況，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)圖2的設(shè)計(jì)能保證展覽區(qū)取得最大面積.此設(shè)計(jì)方案同時(shí)也說(shuō)明了“在周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形的面積最大”這一結(jié)論.

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活.新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)題目也層出不窮，別有新意.然而，即使是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念和原理已熟練掌握，在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)由于沒(méi)能結(jié)合具體情況進(jìn)行討論仍然會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系和應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)各種與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的問(wèn)題情境，在培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的同時(shí)增強(qiáng)其對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).