高中數(shù)學解題反思的探討

【摘要】學生反思性學習的形成要靠教師正確的引導和培養(yǎng)，才能讓學生逐步形成一種反思的意識 和習慣，并在學習中自覺地、積極地進行反思．課堂教學是教師與學生溝通、交流的主要途徑，是培養(yǎng)學生反思習慣的重要時機．

【關鍵詞】 高中數(shù)學 解題 反思

反思是數(shù)學思維活動的核心和動力。解題反思就是對解題活動的反思，它是對解題活動深層次的再思考，不僅僅是對數(shù)學解題學習的一般性回顧和重復，而是深究數(shù)學解題活動中所涉及的知識、方法、思路和策略等，具有較強的科學研究性質。解題反思是透過精選有限的幾道數(shù)學題的解析去學會和領悟那種解無數(shù)道題的數(shù)學內在相關關系——即方法、技巧——數(shù)學機智，其目的是認識數(shù)學問題的深層次結構及問題本質．最終提高學生的數(shù)學能力。

如何在有限的時間內提高數(shù)學的解題效率?依據(jù)多年的教學經驗，我認為引導學生進行解題反思至關重要．解題反思是指從新的角度，多層次、多方位地對問題及解決問題的思維過程進行分析和思考，從而深化對問題的理解．那么，解題后該反思什么呢?

一、反思數(shù)學的思想和方法

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓所在．在數(shù)學學習中對數(shù)學思想方法的領悟、掌握和運用十分重要。由于數(shù)學思想方法和具體的表層知識相比，更加抽象和概括。而且具有隱蔽性，因此，這個認識過程具有長期性和復雜性．這就決定了領悟數(shù)學思想方法必須靠反思．并在反思過程中通過對具體方法的分析、提煉和概括而成。

教師：此題是一道融解析幾何、函數(shù)、方程、不等式、導數(shù)于一體的綜合題，研究的核心問題么?在探求解的過程中，運用了哪些數(shù)學思想方法?

學生：此題的研究核心是函數(shù)問題，主要運用了數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想、分類討論思方程的思想及類比思想。

教師：同學們在探究解法的過程中，搭建起雙基的知識網絡，通過反思解法和解題策略，總結了數(shù)學的思想方法，解題思路更開闊，解題效率也更高。

顯然。數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想及函數(shù)與方程的思想、類比思想相結合使得問題解決簡潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學思想方法的獨特作用。在解題之后主動對解題過程進行反思，分析具體方法背后所隱藏的數(shù)學思想方法。并對具體的方法進行／Jn-c。從中提煉出更一般的數(shù)學思想方法，并長期堅持下去。逐步加深對數(shù)學思想方法概括性的認識，以便靈活運用，有利于數(shù)學思想方法的領悟。

二、反思的目的是挖掘題目本質

解題反思不僅是解題過程和結果的正誤、方法的優(yōu)劣、題目的推廣等．還要從思維視角引導學生反思解題所用的知識、方法，并尋求它們之間的聯(lián)系，把握解題的思維起點、層次和規(guī)律，探究問題的本質。通過記反思解題日記的形式，及時回顧、總結所學的知識，加深對題目本質的認識．收集一些自己曾經做錯或不會做的題目，寫出當時的解題思路和解題過程，并附上正確的答案．比較自己當初的想法和正確解答．進行錯因分析，并嘗試將其歸類、推廣和引申。在解題教學中．筆者依據(jù)自身的教學經驗及優(yōu)秀教學的教學經驗，粗淺的歸納出以下幾點：

(1)所研究問題和以前的哪些問題是相類似的?

(2)解題思路中關鍵的是哪幾步?自己在探索思路的形成過程中有哪些成功與失敗的地方?

(3)哪一種方法最基本、最典型?哪一種最簡便?哪一種更巧妙?

(4)解題過程是否正確、圓滿?有無增、漏、錯、等情況?

(5)若解答正確．能否總結你的解題思路、解題策略、解題方法?

(6)命題是否進行變式、引申和推廣?命題的逆命題是否成立?

(7)解題中運用了哪些數(shù)學思想方法?

(8)以前是否見過相同或類似的題?這些題的本質特征是什么?你能找到解這類題的通法嗎?

(9)通過做這道題，你的收獲是什么?你注意到哪些問題?

通過反思讓學生明確數(shù)學思想方法在解題中的作用。培養(yǎng)其思維的深刻性。

三、在習題講評時引導學生反思

養(yǎng)成解題后反思的習慣是掌握解題方法的關鍵環(huán)節(jié)，教師在講解習題后應重視對解題思路和方法的反思，反思自己的思維過程，反思知識點和解題技巧，反思多種解法的優(yōu)劣，反思各種方法的縱橫聯(lián)系，適時地組織誘導學生展開想象，題設條件能否減弱，結論能否加強， 問題能否推廣，等等，從而培養(yǎng)學生解題后反思的習慣，達到舉一反三的效果． 例如對于習題“已知關于．r的一元二次方程．T一m +2 m—l 一0的兩個實數(shù)根的平方和為 2 3 ，求 的值”，學生往往在解該題時僅利用一元二次方程根與系數(shù)的關系解得的值為“7或一3 ”， 就認為結束了。這時教師應指導學生反思一元二次方程根與系數(shù)的關系是在方程有根的情 況下討論的，必須考慮 △是否大 0，從而讓學生通過反思牢記凡運用方程根與系數(shù)的關系解題時必須確保方程根的判別式 △要大于0這一條件．

四、思維定勢的破解需要反思。

學生的解題過程實質上是對原有的認知，知識和方法的重新加工，組織的過程，使解題時學生經常機械地照搬過去的經驗去解決類似的問題，缺乏思維的靈活性，從而導致解題迷?；蚴д`。

例2 ：已知集合 x ∈R l a x ％2 x + l = 0 } 恰有一個元素，求a的取值范圍。

此題學生非常容易出錯， 因為學生看到條件立刻想到一元二次方程， 寫出A= 0 ， 則 4 — 4 a = O ，即 a = l 。上述解題過程就是由于學生的思維定勢造成的， 沒有認真分析方程的形式，最高次項系數(shù)為參數(shù)時，未能考慮參數(shù)是否為O ，從而學生沒能分類討論。

正確解法：

當 a = O時，2 x + 1 = 0 ， 即X - - - - 一了1 ，滿足題意；

當 a ~O時，△= 0 ，4 — 4 a = O ， 即a = l ，此時x一1，滿足題意。

通過對該題的反思，要讓學生認識到最高次項含參數(shù)的方程，一定要考慮參數(shù)是否為0。

如再讓學生練習一個，例“集合 A = { 1 ，2 } ，B = { x l a x = l } ，若 B A，求 a 的取值范圍”。 在教學中，教師應能不失時機地抓住學生在解題中由于思維的不嚴謹、對概念理解的不深刻、考慮問題的不全面而導致的錯誤結果，而有意識地啟發(fā)、引導學生對解題結果的正誤作進一步思考。

總之，一類數(shù)學問題，其解法往往是有規(guī)律可循的。要想減輕學生負擔，讓學生從題海中解脫出來，必須教會從解題中及時歸納總結其基本的解題規(guī)律，以達到舉一反三，尋找知識交匯點，構造有一定深度和廣度的數(shù)學問題，挖掘問題的背景和內核，設置適當?shù)膯栴}情境．充分暴露學生的解題思維過程．就可以引導學生對解題思路的探求、解題方法的提煉、解法本身所存在的規(guī)律、解題中所犯的錯誤進行反思，通過分析已經解過的題去領悟解題思想，通過解題思想去駕馭并活化數(shù)學知識和方法，增強學生數(shù)學知識的分析和應用能力，起到舉一反三的作用。