一道數(shù)學(xué)例題的教學(xué)與反思

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃 數(shù)學(xué)例題 教學(xué)反思

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）12B-0046-02

新課程改革要求教師在教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動性，引導(dǎo)學(xué)生通過合作與交流、探索與發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如何才能達(dá)到這個要求？我們在教學(xué)實際中常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思考問題時由于知識理解片面、方法欠妥、邏輯不嚴(yán)密，難免出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤。教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識錯誤，自己找到解決問題的方法。

筆者在高二學(xué)習(xí)線性規(guī)劃時曾設(shè)計這樣的一道例題：設(shè)1≤x+y≤2，-1≤x-y≤3，求2x+3y的取值范圍。做題時，先讓學(xué)生思考兩分鐘，再進(jìn)行師生互動。

教師：請做完此題的A同學(xué)把解題過程寫在黑板上。

學(xué)生A在黑板上寫下如下解題過程：

教師：其他同學(xué)有誰與他的做法一樣，請舉手。（發(fā)現(xiàn)有三分之一的學(xué)生舉起了手）

教師：哪位同學(xué)還有其他的解法？（接著請示意有另外解法的學(xué)生B把解題過程寫在黑板上）

學(xué)生B寫下：

同一道題，通過兩種解答過程得出不同的答案，于是學(xué)生討論起來。有的學(xué)生說A的解法中看不出任何錯誤，有的學(xué)生說B的解法過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、正確的。（討論進(jìn)行了幾分鐘）

教師：上面兩位同學(xué)做的哪個是對的，哪個是錯的呢？

學(xué)生C：其實這里的x、y不是獨立的兩個量，而是有聯(lián)系的兩個量，同學(xué)A的錯誤是把x、y分離開，割斷了它們的內(nèi)在聯(lián)系。

教師：分析得很有道理，基本上說出了錯誤的原因。（這時學(xué)生似乎還是知其然，不知其所以然）數(shù)學(xué)追求的是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚绻麤]有理論依據(jù)來說明問題的本質(zhì)，那么就是空口無憑。請大家想想如何從理論上說明A的解法中出現(xiàn)的錯誤呢？（時間約過了幾分鐘，學(xué)生仍然激烈地討論著，這時有學(xué)生站起來）

學(xué)生D：老師，我想到了一種解法，可以說明B的解法是正確的。

教師：請你說說。

學(xué)生D：這個問題屬于二元一次不等式問題，可以用線性規(guī)劃的方法做。

教師：這位同學(xué)的想法很好，現(xiàn)在請同學(xué)們用線性規(guī)劃的方法做。（請學(xué)生E在黑板上做）

學(xué)生E的板演如下：

顯然，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，）時取得最大值，經(jīng)過點B（2，-1）時取得最小值1，所以2x+3y的取值范圍是[1，]。

學(xué)生F：老師，從上面的解法中，我想到A的解法錯誤的原因了。

教師：談?wù)勀愕南敕ā?/p>

學(xué)生F：我認(rèn)為A同學(xué)在做題時把本來有聯(lián)系的兩個量分離開后，再用不等式性質(zhì)求解，從而擴(kuò)大了其取值范圍。錯誤原因也可以用線性規(guī)劃的方法來解析。

教師請學(xué)生F在黑板上邊寫邊解說論證的過程：

由A的解法可知約束條件：

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，）時取得最大值，經(jīng)過點B（0，-1）時取得最小值-3，所以2x+3y的取值范圍是[-3，]。

事實上，如圖3所示在同一坐標(biāo)系中，我們會發(fā)現(xiàn)[1≤x+y≤2

學(xué)生G：我們在學(xué)習(xí)《不等式》這章時，見過利用不等式性質(zhì)來求取值范圍的題型，比如：已知1≤x≤2， 2≤y≤3，求x+y，x-y的取值范圍。我們就受其影響，容易出現(xiàn)A的解法這樣的錯誤。

教師：還有哪位同學(xué)有不同的感受？

學(xué)生H：我們通過分析、解決問題，發(fā)現(xiàn)了可以利用線性規(guī)劃的方法求二元式子的取值范圍。

課后反思：學(xué)生A的解題錯誤原因主要是沒有注意不等式性質(zhì)的條件不是充要條件。實際上備課時筆者預(yù)料會有這種情況，所以在教學(xué)中，教師要認(rèn)真鉆研教材，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和習(xí)慣，估計學(xué)生學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)知識時可能發(fā)生哪些錯誤，從而有針對性地引導(dǎo)學(xué)生從自己的認(rèn)識角度，根據(jù)自己掌握的數(shù)學(xué)知識去找錯、識錯和改錯。學(xué)生往往因缺乏對問題的全面考慮而造成解題不完整和解題錯誤的情況較為普遍，為幫助學(xué)生學(xué)會全面、周密地思考問題，在教學(xué)中我們應(yīng)注意選擇一些合適的內(nèi)容和習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。從學(xué)生D、學(xué)生E、學(xué)生F的解題思路可以看到，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師與學(xué)生的交流大部分是通過逐個發(fā)現(xiàn)和逐個解決問題來實現(xiàn)的。學(xué)生解決問題的過程往往不是一帆風(fēng)順的，思維出現(xiàn)磕磕碰碰甚至被卡殼是常事，這時就需要教師認(rèn)真分析學(xué)生遇到的困難，適時點撥學(xué)生，幫助學(xué)生突破障礙，讓學(xué)生體會成功的喜悅，獲得寶貴的解題經(jīng)驗和教訓(xùn)。這樣，學(xué)生就能提高分析、解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。另外，本課還有一個成功之處，就是讓學(xué)生通過獨立思考、討論、回答問題和進(jìn)行板演等形式積極投入學(xué)習(xí)，充當(dāng)課堂教學(xué)中的主角，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。