“一點(diǎn)”的新定義：從“數(shù)”的關(guān)聯(lián)，到“形”的變構(gòu)
——2022年南通市中考新定義壓軸題的命制與再思考*

徐 強(qiáng)

(江蘇省南通市海門區(qū)中小學(xué)教師研修中心 226100)

2022年南通市中考數(shù)學(xué)試卷在保留南通市歷年中考數(shù)學(xué)命題“立足基礎(chǔ)，注重能力，注重對數(shù)學(xué)的本質(zhì)和學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查”等特色的同時(shí)，又按照教育部、江蘇省的評估報(bào)告提出的意見和近期頒發(fā)的教改、課改文件的新要求進(jìn)行了優(yōu)化，降低絕對難度，提高相對難度，創(chuàng)新相應(yīng)核心知識的考查方式，充分體現(xiàn)“兩考合一”的功能，嚴(yán)格落實(shí)“雙減”要求，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用．現(xiàn)將該卷中一道“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義壓軸題的命制過程與反思拓展整理成文，與同行分享．

1 命制過程

1.1 立足“原則”，確定方向

按照“在傳承中求創(chuàng)新，在穩(wěn)定中求發(fā)展”的壓軸題命題原則，繼續(xù)構(gòu)建“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義壓軸題，形成一道對函數(shù)單元整體考查、適度兼顧幾何知識的函數(shù)綜合題，但適當(dāng)降低“概念理解”等絕對難度，難度系數(shù)為0.35～0.45．

(1)考查的內(nèi)容領(lǐng)域與試題背景

全卷最后一題的內(nèi)容領(lǐng)域?yàn)榫C合與實(shí)踐，試題背景為“一點(diǎn)”新定義的數(shù)學(xué)情境，其情境表述方向?yàn)椤昂瘮?shù)圖象上點(diǎn)的特征”的描述．

(2)考查的主干知識與能力維度

考查的主干知識為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能力維度為理解概念、問題解決．

(3)考查的思想方法與核心素養(yǎng)

著重考查分類討論思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，突出考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

1.2 研透“傳承”，分析遷移

(1)分析特點(diǎn)

命題組從2019年、2021年南通市中考第26題代數(shù)新定義出發(fā)，分析其定義的特點(diǎn)．

(2019年南通中考第26題)定義：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，則稱點(diǎn)M(x，y)為“線點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(0，-2)和(-2，0)是“線點(diǎn)”．

已知：在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(m，n)．

(1)P1(3，1)和P2(-3，1)兩點(diǎn)中，點(diǎn)是“線點(diǎn)”；

(2)若點(diǎn)P是“線點(diǎn)”，用含t的代數(shù)式表示mn，并求t的取值范圍；

(3)若點(diǎn)Q(n，m)是“線點(diǎn)”，直線PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，當(dāng)|∠POQ-∠AOB|=30°時(shí)，直接寫出t的值．

試題解讀 這道“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義題聚焦一點(diǎn)中橫、縱坐標(biāo)“數(shù)”的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化了代數(shù)推理變形的水平，從命題的角度來說是一種創(chuàng)新，從“新定義”的提出到“問題的設(shè)置”的命制過程凝聚了命題組全體成員的集體智慧，清晰呈現(xiàn)了“閱讀—理解—轉(zhuǎn)化”的模式，充分體現(xiàn)了“式”中思法、“圖”中求道的味道，是一道很好的考查“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的創(chuàng)新試題[1]．

(1)分別判斷函數(shù)y=x+2，y=x2-x的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.

(3)若函數(shù)y=x2-2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W2．當(dāng)W1，W2兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

試題解讀 這道“一點(diǎn)”的代數(shù)新定義題仍體現(xiàn)一點(diǎn)中橫、縱坐標(biāo)“數(shù)”的關(guān)聯(lián)，一方面盡管弱化了關(guān)系，使橫、縱坐標(biāo)間的“數(shù)”的關(guān)聯(lián)更為簡潔，但整合考查了三大函數(shù)圖象及性質(zhì)，從命題的角度來說又是一種創(chuàng)新；另一方面盡管新定義的表述很容易理解，并不在概念的理解上“為難”學(xué)生，但問題設(shè)置有著很好的區(qū)分選拔功能，同時(shí)也承載著明確的教學(xué)導(dǎo)向，如最后一問借助數(shù)形結(jié)合分析拋物線與直線的位置關(guān)系，需要精確畫圖、臨界分析，解題教學(xué)時(shí)教師可帶領(lǐng)學(xué)生全面分析出新函數(shù)圖象上“等值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

基于以上“傳承”的思考，命題組對定義內(nèi)容與方式進(jìn)行了歸納，不難發(fā)現(xiàn)：兩年的側(cè)重點(diǎn)盡管有所差異，但均是“定義一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系”，即“數(shù)”的關(guān)聯(lián)．

(2)遷移構(gòu)思

基于命題方向的要求，今年仍保持從“函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征”描述定義，為此，命題組從函數(shù)圖象上點(diǎn)的“數(shù)”的關(guān)聯(lián)出發(fā)，構(gòu)思定義：函數(shù)圖象上的點(diǎn)到橫軸的距離等于1；函數(shù)圖象上的點(diǎn)到橫軸的距離不大于1；函數(shù)圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離同時(shí)等于1；函數(shù)圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離同時(shí)不大于1；……

(3)形成初稿

(ii)若一次函數(shù)y=mx-3m+2的圖象上存在唯一一個(gè)“近軸點(diǎn)”，求m的值.

(iii)若二次函數(shù)y=-(x-n)2+3n2-6n+2的圖象上存在“近軸點(diǎn)”，結(jié)合圖象求n的取值范圍．

分析 第1稿是在“傳承”中順勢而為，保留了2021年的定義方式，聚焦“定義”改變了設(shè)問方式．有利于考查學(xué)生對“新定義”的概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達(dá)與應(yīng)用，注重考查學(xué)生的思維過程，避免死記硬背、機(jī)械刷題[2]．并列式三小問，難度遞增，以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識函數(shù)(反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì))主題為載體，分別考查了抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和空間觀念等，總體符合命題方向．

1.3 尋求“創(chuàng)新”，變構(gòu)試題

“一點(diǎn)”的新定義創(chuàng)新點(diǎn)在哪兒？

(1)從“數(shù)”的關(guān)聯(lián)，到“形”的變構(gòu)

在對第一稿的打磨中發(fā)現(xiàn)定義中的“近軸點(diǎn)”所屬區(qū)域相對固定，即在以原點(diǎn)為中心，邊長為1，且邊平行于坐標(biāo)軸的正方形的區(qū)域內(nèi)．學(xué)生只需找出函數(shù)與正方形的位置即可順利求解．作為全卷最后一題的壓軸題，應(yīng)承載著區(qū)分選拔功能．顯然，本題的難度不足以承載選拔功能，起不到把關(guān)作用，不能讓優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出．

新定義中關(guān)鍵的是“正方形”，“形”的變構(gòu)的方向一是改變“形”的形狀，即改變“到兩坐標(biāo)軸的距離”的大小，如函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)到橫軸的距離不大于1，同時(shí)該點(diǎn)到縱軸的距離不大于2，此時(shí)“形”變?yōu)椤熬匦巍?；“形”的變?gòu)的方向二是改變“形”的大小，即改變數(shù)值“1”的大小，如“1”可以變?yōu)椤?”“3”“4”……

基于以上思考，命題組在初稿的基礎(chǔ)上，把“到兩坐標(biāo)軸的距離同時(shí)小于或等于1”變成“到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n”，讓正方形的邊長從定量到變量，增加試題區(qū)分度和難度．第2稿如下：

分析 此稿在初稿的基礎(chǔ)上，內(nèi)涵更為豐富，但發(fā)現(xiàn)此時(shí)命名為“近軸點(diǎn)”不太合適，基于形的變化特點(diǎn)，于是將之改名為“n階方點(diǎn)”．試題第3稿如下：

分析 定稿語言更為簡潔，“n階方點(diǎn)”與舉例更具啟發(fā)性，很好地滲透了特殊與一般的關(guān)系，也給人耳目一新之感！

(2)從“形”的變化，到再構(gòu)試題“問題”

以上定義中關(guān)鍵的是“正方形區(qū)域的大小”隨n(n≥0)大小的變化而變化，基于此變化，命題組再構(gòu)求解的“問題”，第(1)問通過“1階方點(diǎn)”考查反比例函數(shù)；第(2)問通過“2階方點(diǎn)”考查一次函數(shù)；第(3)問通過“n階方點(diǎn)”考查二次函數(shù)，結(jié)果如下：

(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax-3a+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；

(3)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-n)2- 2n+1圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．

2 反思拓展

2.1 導(dǎo)向：教學(xué)無需大量機(jī)械訓(xùn)練

作為全卷最后一題(也稱壓軸題)，仍聚焦新定義的理解與問題解決，仍以三大函數(shù)圖象及性質(zhì)的內(nèi)容考查為主，適當(dāng)兼顧幾何知識，不僅很好地傳承了南通市“新定義”的命題風(fēng)格，又在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行了較好的創(chuàng)新．這種“順勢而為”的命題方法，對落實(shí)“雙減”要求有著較好的教學(xué)導(dǎo)向，不給通過大量機(jī)械訓(xùn)練或參加校外培訓(xùn)的考生提供任何答題的便利，學(xué)生只要在課內(nèi)學(xué)好學(xué)足即可．更多需要教師重視日常的解題教學(xué)，要“以題理法”，強(qiáng)化“新定義”的思維方式，從“數(shù)”的關(guān)聯(lián)，到“形”的變構(gòu)，“以不變應(yīng)萬變”.如本題定義理解教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從特殊的“數(shù)”聯(lián)想特殊的“形”，從特殊的“形”聯(lián)想特殊的“數(shù)”，從而數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般理清“定義”的本質(zhì)；問題解決教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生畫圖，借助數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)圖象與正方形區(qū)域的位置關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生在變化中尋求不變，臨界分析出函數(shù)圖象上“n階方點(diǎn)”的個(gè)數(shù)及存在的條件．

2.2 破解：教學(xué)要從一題到一類

函數(shù)圖象上“一點(diǎn)”的新定義是有規(guī)律可循的，筆者以為教學(xué)時(shí)適度滲透“如何構(gòu)想的方法”，不斷強(qiáng)化多題歸一、舉一反三，培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性，這樣才能使學(xué)生從“機(jī)械操作”走向“理性思維”，從而有效突破“一遇陌生問題就一籌莫展”的軟肋．“一點(diǎn)”的新定義，基本類型有：

類型1 若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)的比等于n(n≥0)的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“n倍點(diǎn)”(如2021南通市中考第26題，即n=1)．

類型2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若一個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)P(x，y)滿足x=ky+m，y=kx+m，且k≠0，x≠y，則稱點(diǎn)P為這個(gè)函數(shù)圖象的“線點(diǎn)”(如2019南通中考第26題)．

(1)下列三個(gè)函數(shù)中，圖象的“1段點(diǎn)”存在的有.(填序號)

(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+3m+3圖象的“2段點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求m的值.

(3)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-a+1)2-2a+2圖象的“a段點(diǎn)”一定存在，請直接寫出a的取值范圍．

顯然，函數(shù)圖象上“一點(diǎn)”的新定義盡管類型有所不同，但其命題的手法一般都是構(gòu)建橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，“形”的變構(gòu)是關(guān)鍵，如點(diǎn)M(x，y)—定義x，y之間的數(shù)量關(guān)系—定“形”．其考查的核心知識為數(shù)式變形，函數(shù)與方程及特殊的三角形、四邊形的性質(zhì)．其注重考查的核心素養(yǎng)是代數(shù)推理素養(yǎng)——先思后變，運(yùn)算推理，把握規(guī)律，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，考查函數(shù)眼光；幾何直觀素養(yǎng)——先畫后算，數(shù)形結(jié)合，生成方法，關(guān)注學(xué)生思維的層次與遷移，考查建模能力[1]．

2.3 拓展：再構(gòu)可從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”

“一點(diǎn)”新定義的再構(gòu)可以從“靜態(tài)”一個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)存在關(guān)聯(lián)定義，走向“動(dòng)態(tài)”關(guān)于一點(diǎn)的變換的定義．

拓展1：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若一個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)P(x，y)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)Q恰好也落在該函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)P(x，y)為該函數(shù)圖象的“內(nèi)旋點(diǎn)”.

(1)下列函數(shù)中，存在“自對映點(diǎn)”的函數(shù)是.(填寫序號)

(2)函數(shù)y=2x2+3x-6的圖象上是否存在“自對映點(diǎn)”，若存在，求“自對映點(diǎn)”坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

變式1 將上題橫線處改為“關(guān)于(1，1)對稱的點(diǎn)”；

變式2 將上題橫線處改為“關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)”．

通過“拓展”可見，命題并不神秘，關(guān)鍵還是要在研究中抓住變中不變的構(gòu)題要素，如拓展的本質(zhì)是“函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱、關(guān)于(1，1)對稱、關(guān)于y=x對稱的兩個(gè)點(diǎn)”，基于此可以歸于一類“函數(shù)圖象上關(guān)于某某對稱的兩個(gè)點(diǎn)”，如此，對試題命制角度的再思考，在重構(gòu)中呈現(xiàn)“結(jié)構(gòu)化”思維，在遷移運(yùn)用中讓學(xué)生不斷增進(jìn)思維的靈活性，教學(xué)也就從簡單的“模仿”走向了本質(zhì)的“思考”，必將提高教學(xué)的針對性和效益．

3 結(jié)束語

“雙減”政策下用好試題資源，解讀試題“來路、思路與去路”的命制過程，研究試題命制的“有章有法”“有形有路”是“減負(fù)增效”的路徑之一，也是提高作業(yè)質(zhì)效管理的需要．這不僅可以加速提升教師解題、研題、命題、教題的水平與能力，優(yōu)化解題教學(xué)，而且可以大大增強(qiáng)日常教學(xué)教考銜接度，提高選題的精準(zhǔn)性、作業(yè)的針對性，助推教學(xué)達(dá)成的效果．