房地產(chǎn)投資決策的期權(quán)博弈分析

摘 要：近年來隨著房地產(chǎn)行業(yè)競爭的日益加劇，基于房地產(chǎn)企業(yè)核心競爭力的戰(zhàn)略投資越來越引起房地產(chǎn)企業(yè)的重視。在一些資產(chǎn)雄厚的企業(yè)中，一家房地產(chǎn)公司可以同時對幾個項目進行投資，這就需要企業(yè)充分考慮內(nèi)部資金的合理分配，項目的投資順序等系列投資決策問題，以使企業(yè)獲得的綜合效益最大。引用期權(quán)博弈理論對房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部的項目投資決策進行研究，在深入剖析房地產(chǎn)開發(fā)項目所具有的期權(quán)特性的基礎(chǔ)上，建立房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部雙項目投資期權(quán)博弈模型。此外，我們還將利用變分法對模型的最優(yōu)解進行討論，從而為房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部多項目投資提供最優(yōu)化策略建議。

關(guān)鍵詞：房地產(chǎn)投資；戰(zhàn)略投資；期權(quán)博弈；變分法；最優(yōu)策略

中圖分類號：F127 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2012）35-0060-04

1 問題提出

近年來房地產(chǎn)項目投資決策已經(jīng)成為眾多房地產(chǎn)開發(fā)商所關(guān)注的熱點。目前，我國房地產(chǎn)投資在評估新的項目的時候，主要有兩類投資決策方法。第一類是傳統(tǒng)的投資方法，目前使用比較廣泛。它主要是采用傳統(tǒng)的貼現(xiàn)現(xiàn)金流法來評估整個項目的價值，但因為這種方法是一種比較靜態(tài)而且剛性的評價方法，忽略了未來收益的不確定性和項目實施過程中的管理彈性價值，以及投資時機的選擇，因此，在許多情況下，缺少對投資項目價值的客觀真實評價，從而導(dǎo)致決策的失誤，錯過合適的投資機會。第二類是1991年Smets[1]提出的期權(quán)博弈理論投資方法，在1993年，Smit和Ankum[2]建立了第一個離散型的期權(quán)博弈模型。此這種方法將Hayes和Abernathy[3]，Hayes和Garvin[4]， Stewart Myers[5]提出的實物期權(quán)理論與博弈論結(jié)合起來，他們通過把期權(quán)定價結(jié)合到各種博弈模型中，確立了間斷時間期權(quán)博弈的標(biāo)準(zhǔn)分析模式。Williams（1993）[6]和Grenadier（1996） [7]是最早結(jié)合實物期權(quán)和博弈論來分析房地產(chǎn)開發(fā)實際問題的論文。Williams（1993）開發(fā)了一種投資時機的均衡模型，該模型考慮了開發(fā)商期權(quán)執(zhí)行對已開發(fā)和未開發(fā)房地產(chǎn)新供給的內(nèi)生影響。Grenadier首次將期權(quán)博弈模型應(yīng)用到房地產(chǎn)市場中，考察了投資期權(quán)的策略執(zhí)行問題。期權(quán)博弈評價的基本思想是在項目價值可行性判別這一目標(biāo)下，全面考慮影響項目價值的因素，確定出不確定性環(huán)境中的項目價值函數(shù)、基于主體策略互動的項目均衡價值組合，并最終判別項目可行性的條件和最優(yōu)化的組合。這種方法的一個優(yōu)點就是正視了投資項目中存在的不確定性，并將管理彈性價值和戰(zhàn)略價值也作為影響投資的因素加以考慮，因而更加科學(xué)。

房地產(chǎn)投資是整個房地產(chǎn)發(fā)展的重要動力和引擎。由于房地產(chǎn)業(yè)具有投資資金大，開發(fā)周期長，不確定性大等特點，而期權(quán)博弈理論正是為適應(yīng)這種類型的項目投資而迅速發(fā)展起來的，它綜合考慮了市場的不確定性，不完全信息，競爭者的反應(yīng)等因素，并根據(jù)這些因素設(shè)置相應(yīng)的變量，建立一個包含有博弈論思想的模型，為投資決策者提供了更加科學(xué)的理論基礎(chǔ)。然而，房地產(chǎn)企業(yè)除了面臨與競爭對手之間的項目決策，他們更多的會面臨對企業(yè)內(nèi)部多個項目進行投資的問題。當(dāng)企業(yè)資金充足時，需要考慮各項目的投資額，從而實現(xiàn)最小的投入獲得最大的收益；當(dāng)企業(yè)資金不足時，多個項目便不能同時投入市場，需要求出各個項目投入市場的最佳時間，制定有限資金的合理分配方案，以使企業(yè)獲利最大。

另外，我們知道房地產(chǎn)項目投資決策問題總體上屬于系統(tǒng)控制和動態(tài)優(yōu)化問題，對于此類問題我們常用動態(tài)規(guī)劃的方法進行研究。動態(tài)規(guī)劃方法是解決多階段決策以及一大類線性、非線性規(guī)劃問題的有效方法，對于某些離散性的控制問題，它是有效的方法，但對于連續(xù)型的控制問題，動態(tài)規(guī)劃方法使用起來并不方便。而房地產(chǎn)開發(fā)項目資金安排的控制則恰屬于系統(tǒng)控制中的連續(xù)型控制問題，解決這種連續(xù)型的最優(yōu)控制問題的可行方法之一是變分法，它是解決一大類泛函極值的有效方法。變分法是研究泛函極值的一種方法，在力學(xué)、物理學(xué)、光學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、信息論與自動控制論等諸多方面有廣泛應(yīng)用。泛函是指一個因變量，其值取決于一個或多個函數(shù)，這一個或多個函數(shù)是泛函的“自變量”，而泛函就是這些函數(shù)的“函數(shù)”，這些“自變量”往往是一元或多元函數(shù)。變分問題就是求泛函極值問題，它有很多種，但最后的求解都可以歸結(jié)為解歐拉方程的邊值問題。極值原理的應(yīng)用又使變分法在此類最優(yōu)控制問題上的研究更具有可行性。

對于房地產(chǎn)開發(fā)項目的資金分配問題，陳偉和于福海[8]曾應(yīng)用變分法將生產(chǎn)性和營銷性的資金投入比例問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并求出最優(yōu)解，從而得到使開發(fā)商獲得最大收益的決策方案。本文引入期權(quán)博弈理論來研究房地產(chǎn)企業(yè)多項目戰(zhàn)略投資最佳時間組合和不同項目資金分配的問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用變分法求解，從而為房地產(chǎn)企業(yè)項目投資提供最優(yōu)策略建議。

2 模型描述

在期權(quán)博弈理論的投資戰(zhàn)略中，假設(shè)房地產(chǎn)投資的風(fēng)險是中性的，使用無風(fēng)險貼現(xiàn)率，企業(yè)的逆需求函數(shù)為：

P（t）=Y（t）D（NA，NB）

這里Y（t）是符合幾何布朗運動（取值永遠(yuǎn)不小于）的隨機需求沖擊因子（反映著市場需求的隨機變化性）。

dY（t）=αY（t）dt+δY（t）dz

上式中：α——飄移項；

δ——資產(chǎn)價格的變動率；

dz——維納增量；

如果經(jīng)營成本為0，則P（t）可被解釋為利潤流。根據(jù)期權(quán)博弈理論，在相應(yīng)的時間點是否進行投資，還存在著一個投資臨界值，當(dāng)Y小于投資臨界值YF時，說明市場需求狀況不佳，企業(yè)不進行投資；當(dāng)Y大于YF時，企業(yè)會進行投資。

下面我們將以房地產(chǎn)企業(yè)對兩個項目投資為例，多個項目的投資可以類比實施 。假設(shè)一家房地產(chǎn)公司在同一時間拍下兩個項目A和B。根據(jù)期權(quán)博弈公式可知D（NA，NB）是確定的市場需求參數(shù)，它取決于公司對兩個項目的投資情況NK，其中k∈{A，B}：當(dāng)NK=1時，對K 進行投資，當(dāng)NK=0時，對K 不進行投資，即D（NA，NB）的可能值為：

（1）D（0，0）表示項目A和項目B均不投資；

（2）D（1，0）表示項目A先進行投資并成為領(lǐng)導(dǎo)者，項目B暫不投資并成為跟隨者；

（3）D（0，1）表示項目B先進行投資并成為領(lǐng)導(dǎo)者，項目A暫不投資并成為跟隨者；

（4）D（1，1）表示項目A和項目B同時進行投資。

對于第（1）種情況， 我們擬設(shè)定成品房收益率高于地皮增值收益率，且企業(yè)沒有出現(xiàn)資金鏈斷裂等極端狀態(tài)，則（1）種情況發(fā)生的可能性很小，基本符合當(dāng)前房地產(chǎn)市場的項目投資開發(fā)的實際。此外，2012年6月1日國土資源部第53號令規(guī)定：土地未動土開發(fā)滿一年，按照土地出讓或者劃撥價款的20%征繳土地閑置費；土地未動土開發(fā)滿兩年，無償收回國有建設(shè)用地使用權(quán)。這就更加減少了房地產(chǎn)企業(yè)土地招牌掛成功后的土地閑置率。

對于第（2）和第（3）種情況，我們可以把它們看成是同一種方案：在企業(yè)資金有限的情況下，兩個項目針對自己所要投入市場的情況，分先后順序進入各自的市場。這就需要企業(yè)先對市場進行考察，并求出兩個項目進入各自市場的最佳時間，先進入市場的稱為領(lǐng)導(dǎo)者，另一個稱為跟隨者。下面將對以上兩種情況進行分析。

D（1，0）表示此時的A為領(lǐng)導(dǎo)者，B為跟隨者。此種情況下，可以看成起初項目將公司的資金壟斷，只用來滿足對自己的投資，當(dāng)投資到一定時期時，由于對樓盤的營銷活動等因素，會有業(yè)主前來購房，這樣就會有一定的資金回流，未來收益又將作用于企業(yè)投資戰(zhàn)略決策，即將公司內(nèi)現(xiàn)存的部分資金投入到對項目B的建設(shè)中，接下來是項目A和項目B以不同的進度同時進行開發(fā)。項目A處于壟斷階段時，其利潤流為YD（1，0），當(dāng)在t=t1處時，利潤跌至YD（1，1）。在此問題中，我們重在解決跟隨者進行項目投資的時間，從而實現(xiàn)兩個項目的總收益最大化。

對于第（4）種情況，需要我們同時對兩個項目進行投資。這就需要我們確定每個項目的投資額分配，該投資額的確定，與兩個項目總效用的折現(xiàn)率控制。

3 模型建立與最優(yōu)解討論

基于期權(quán)博弈對上述房地產(chǎn)企業(yè)內(nèi)部雙項目投資的四種情況深入分析，我們將分D（1，0）（或D（0，1））和D（1，1）兩類建立房地產(chǎn)企業(yè)對內(nèi)部項目投資的期權(quán)博弈模型，同時，我們還利用變分法對模型的最優(yōu)解進行討論。

（1）D（1，0）（或D（0，1））投資模型

利用資產(chǎn)組合復(fù)制方法，確定領(lǐng)導(dǎo)者的壟斷價值為M（Y），則領(lǐng)導(dǎo)者的價值L（Y）可以表示為：

L（Y）=M（Y）-I （I為投資沉沒成本）

其中M（Y）滿足以下貝爾曼偏微分方程[9-10]：

該方程的解是由一個齊次解

，加上方程的一個特解，其中β1和β2是特征方程的兩個根。其中：

根據(jù)上述貝爾曼偏微分方程，初始條件：M（0）=0，價值匹配條件：M（Y）=V（YF）-I，平滑粘貼條件：MY（YF）=VY（YF），求解得：

因此，當(dāng)Y

當(dāng)YYF時，

領(lǐng)導(dǎo)者進行投資的最佳時間為：

D（0，1）表示此時的為領(lǐng)導(dǎo)者，A為跟隨者。項目B處于壟斷階段時，其利潤流為YD（0，1），當(dāng)在t=t1處時，利潤跌至YD（1，1）。利用資產(chǎn)組合復(fù)制方法，確定跟隨者的項目期權(quán)價值F（Y）滿足貝爾曼偏微分方程：

求得跟隨者的項目價值為：

其中，

投資閾值：

因此，跟隨者的價值可以表示為：

當(dāng)Y

當(dāng)YYF時

跟隨者進行投資的最佳時間為：。

接下來討論資金的分配問題：首先，開發(fā)商手中有固定資金l（t），設(shè)先開發(fā)的項目設(shè)為i（i=1，2），且兩項目的產(chǎn)品是相同的。對第二個項目進行投資的時刻設(shè)為Tj（j=F，L）。現(xiàn)在將資金的一部分li（t）安排到項目i的投資中，在此期間會用這部分資金對項目i進行工程建設(shè)和項目營銷，通過開展各種營銷活動，提高樓盤的知名度及銷售業(yè)績，加快資金周轉(zhuǎn)及投入資金的回收，假設(shè)Tj時刻回收回來的資金為Ic（t），然后將開發(fā)商起初剩余的資金l（t）-li（t）和lc（t）都安排到第二個項目的投資中，后面將用ω（t）代替ω（t）=l（t）-li（t）+lc（t） 。設(shè)第一個項目的工程完成量函數(shù)為c1（t）=f（li（t）），工程完成量的效用為u（c1）。效用[11]是西方經(jīng)濟學(xué)中的概念，類似于商品或服務(wù)的使用價值，是商品或服務(wù)為消費者帶來的某種滿足，在本文中，效用可理解為項目的資金投入為房地產(chǎn)商帶來的直接利益。設(shè)第二個項目完成量函數(shù)為c2（t）=g（ω（t）），工程完成量的效用為u （cB）。開發(fā)商在t時間段內(nèi)創(chuàng)造或回收價值的速度[8]為

V（c1，c2）=u（c1（t））+u（c2（t））

將t時間段項目創(chuàng)造的總價值換算為獲準(zhǔn)預(yù)售時刻的現(xiàn)值，則為

e-rtV（c1，c2），0

r為折現(xiàn)率。則在[0，T]內(nèi)，開發(fā)商獲得的全部效用折現(xiàn)后就是

綜上，可得到如下的數(shù)學(xué)模型：

設(shè)拉格朗日乘子為，則拉格朗日函數(shù)為

歐拉方程是：

解方程得：

（2）D（1，1）投資模型

針對第（4）種情況：假設(shè)在t時間段內(nèi)，開發(fā)商共有資金l（t），其中l(wèi)A（t）安排到項目A，lB（t）安排到項目B。設(shè)項目A的完成量函數(shù)為

cA（t）=f（lA（t））

項目完成量的效用為u（cA）。由于兩個項目是由同一家公司投資的，所以在對外宣傳上會有相互影響，因此不妨設(shè)項目的完成量與項目的完成量成正比，即af（lA（t）），則項目B的完成量函數(shù)為cB（t）=af（lA（t）），項目完成量的效用為u（cB），開發(fā)商在t時間段內(nèi)創(chuàng)造或回收價值的速度為

V（cA，cB）=u（cA（t））+u（cB（t））

將t時間段項目創(chuàng)造的總價值換算為獲準(zhǔn)預(yù)售時刻的現(xiàn)值，則為

e-rtV（cA，cB），0

r為折現(xiàn)率。則在[0，T]內(nèi)，開發(fā)商獲得的全部效用折現(xiàn)后就是

綜上，可得到如下的數(shù)學(xué)模型：

設(shè)拉格朗日乘子為，

則拉格朗日函數(shù)為

歐拉方程是：

解方程得：

.

在實際應(yīng)用中，將相關(guān)數(shù)據(jù)分別代入以上兩個歐拉方程的最終解并進行比較，便可得出哪一種決策方案是在給定的條件下最優(yōu)的。

4 結(jié)論

本文基于期權(quán)博弈理論及變分法原理，分析了企業(yè)內(nèi)部同時拿下兩塊地皮后，如何在有限的資金條件下，引用期權(quán)博弈理論做出合理的投資決策，應(yīng)用變分法將決策轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最后得到使房地產(chǎn)商獲得最大收益的最優(yōu)解。此種分析方法也可適用于多個項目，因此，其觀點結(jié)論對于當(dāng)前房地產(chǎn)開發(fā)商投資實踐活動具有一定的理論指導(dǎo)和實際意義。