淺談數(shù)列求和
2012-12-31 00:00:00王聯(lián)華
學(xué)園 2012年24期
【摘 要】本文筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點和高考中的難點，詳細(xì)介紹了數(shù)列求和的常用方法：公式法、乘比錯位相減法、分組求和法、倒序相加法和倒序相乘法、裂項相消法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法等。
【關(guān)鍵詞】數(shù)列求和 常用方法 高考難點 高考教學(xué)
【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）24-0149-01
數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的一個重點，也是高考的難點，縱觀山西省近幾年高考數(shù)學(xué)的最后一題，都是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、二項式等知識聯(lián)系在一起，以它的復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特征成為高考的壓軸題，因此搞好數(shù)列求和的學(xué)習(xí)是非常重要的，經(jīng)過整理，常見的數(shù)列求和的方法有四種：
一 常用公式法
直接利用公式求和是數(shù)列求和最基本的方法。常用的數(shù)列求和公式有：
Sn= =na1+ d （ 為等差數(shù)列）
Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）
（ 為等比數(shù)列）
二 乘比錯位相減法
對于數(shù)列 ，若an=bn·cn且數(shù)列 、 分別是等
差數(shù)列、等比數(shù)列時，求該數(shù)列 前n項和時，可用該方法。
例1：求和Sn= + + + +… 。
設(shè)an= =n· ，其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)
列，公比為 ，利用錯位相減法求和。
兩端同乘以 ，再兩式相減得：Sn=2- - 。
說明：乘比錯位相減法實際上是把一個數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題。
三 分組求和法
對于數(shù)列 ，若an=bn± 且數(shù)列 、 …都能
求出其前n項的和，則在求 前n項和時，可采用該法。
例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。
解：設(shè)an= =1-10-n
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
=n- （1-10-n）
四 倒序相加法和倒序相乘法
1.倒序相加法
在教材上推導(dǎo)等差數(shù)列 前n項和Sn的公式：Sn=
使用的就是該法，推導(dǎo)過程參看教材。
例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。
解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）
S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）
由（1）+（2）得：S= 。
例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。
解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì) = ，將Sn倒序?qū)憺椋篠n=n +（n-1） + 。
以上兩式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。
因此，Sn=n·2n-1。
2.倒序相乘法
例5：已知a、b為兩個不相等的正數(shù)，在a、b之間插入n個正數(shù)，使它們構(gòu)成以a為首項，b為末項的等比數(shù)列，求插入的這n個正數(shù)的積pn。
解：設(shè)插入的這n個正數(shù)為a1、a2、a3…an，且數(shù)列a1、a2、a3…an、b成等比數(shù)列。
則：ab=a1·an=a2·an-1=…
∵ pn=a1·a2·a3…an （3）
又pn=an·an-1·an-1…a1 （4）
由（3）×（4）得： =（a1an）（a2 an-1）…（an a1）（ab）n。
因此， 。
〔責(zé)任編輯：李繼孔〕
