計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐

摘要： 針對(duì)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)體會(huì)，提出了輕理論重應(yīng)用、從數(shù)學(xué)思想的高度整合課程內(nèi)容、充分利用課程教學(xué)平臺(tái)、適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史等教學(xué)改革措施。

關(guān)鍵詞： 離散數(shù)學(xué)； 教學(xué)改革； 課程教學(xué)平臺(tái)； 數(shù)學(xué)史

中圖分類號(hào)：O158 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1006-8228(2012)10-47-03

引言

離散數(shù)學(xué)是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系的學(xué)科，它在計(jì)算機(jī)理論研究及軟、硬件開發(fā)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1]。作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課，它不僅在后續(xù)課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、編譯原理等課程中有廣泛的應(yīng)用，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)格邏輯推理、抽象思維能力有十分重要的作用[2]。

離散數(shù)學(xué)概念多而抽象，教師在教學(xué)中往往會(huì)非常注重理論知識(shí)的講解，而忽略了應(yīng)用；學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往看不到離散數(shù)學(xué)的知識(shí)在計(jì)算機(jī)學(xué)科中的具體應(yīng)用，學(xué)習(xí)積極性也不高。另外，在人才培養(yǎng)方案的制定過程中，各個(gè)學(xué)校普遍壓縮了專業(yè)課程的學(xué)時(shí)數(shù)。以筆者所在學(xué)校為例，以前離散數(shù)學(xué)有64課時(shí)，從2008級(jí)開始已壓縮為48課時(shí)。課時(shí)非常緊張，教師需要在有限的課時(shí)內(nèi)高質(zhì)量地完成教學(xué)內(nèi)容，而如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率成為教學(xué)改革的關(guān)鍵。

近年來，針對(duì)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀，許多教師都在進(jìn)行各種各樣的教學(xué)改革[3，4]。本文結(jié)合筆者的教學(xué)體會(huì)，提出了輕理論重應(yīng)用，從數(shù)學(xué)思想的高度整合課程內(nèi)容，充分利用課程教學(xué)平臺(tái)，適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史等教學(xué)改革措施。

1 注重概念的理解與掌握，重視應(yīng)用

1.1 案例教學(xué)，注重概念的理解

現(xiàn)行的大多數(shù)離散數(shù)學(xué)教材，主要是從純數(shù)學(xué)理論角度講授基本內(nèi)容，這不利于學(xué)生的理解和掌握。離散數(shù)學(xué)中有很多定義、定理和規(guī)則，而課本的描述往往比較難懂。很多學(xué)生習(xí)慣于死記硬背數(shù)學(xué)概念，很容易產(chǎn)生枯燥和畏難情緒。因此，在教學(xué)過程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的完整理解，而不是只告訴學(xué)生結(jié)論。教師可以選取典型案例來說明抽象的理論知識(shí)，或者改用比較通俗的語(yǔ)言來描述抽象的概念，使學(xué)生在輕松愉快的情境中理解離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)，下面用幾個(gè)例子來說明。

例如，對(duì)于關(guān)系的對(duì)稱與反對(duì)稱的性質(zhì)，課文的定義如下：

在實(shí)際講解時(shí)，教師如果能從學(xué)生身邊的例子出發(fā)，再抽象出基本概念，學(xué)生就會(huì)對(duì)這些概念有更深刻的理解。比如，教師舉例說班級(jí)里的同學(xué)關(guān)系是對(duì)稱的，然后提問學(xué)生家庭里的父子關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系嗎·學(xué)生一聽這例子，就哈哈大笑，他們馬上明白父子關(guān)系是反對(duì)稱的關(guān)系。隨后學(xué)生就可以舉出許多例子，直線的平行關(guān)系是對(duì)稱的，數(shù)的整除關(guān)系是反對(duì)稱的。于是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生參與對(duì)這些例子的關(guān)系圖進(jìn)行分析，一起得出以下利用關(guān)系圖來判斷關(guān)系性質(zhì)的結(jié)果：

結(jié)論1 若G是關(guān)系R的關(guān)系圖，假如G的不同頂點(diǎn)之間有邊，若全是雙向邊，則關(guān)系R是對(duì)稱的；若全是單向邊，則關(guān)系R是反對(duì)稱的；假如G的不同頂點(diǎn)之間沒有邊，則關(guān)系R既是對(duì)稱也是反對(duì)稱的。

在講解三個(gè)特殊關(guān)系時(shí)，教師可以以班級(jí)學(xué)生為例，學(xué)生就不難理解特殊關(guān)系的相關(guān)定義了。

離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法，弱化教學(xué)內(nèi)容體系的系統(tǒng)性與嚴(yán)密性。以實(shí)際問題為導(dǎo)入，以學(xué)生應(yīng)用為主題，突出應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，應(yīng)穿插介紹一些知識(shí)點(diǎn)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，將之與離散數(shù)學(xué)理論結(jié)合介紹給學(xué)生，使學(xué)生重視這一課程的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

該課程命題邏輯公式的等值演算和主合（析）取范式是教學(xué)重點(diǎn)，前者在開關(guān)電路中可以化簡(jiǎn)電路，后者在邏輯設(shè)計(jì)方面有廣泛的應(yīng)用。

例2 學(xué)校要安排課表，教語(yǔ)言課的教師希望將課程安排在第一或第三節(jié)，教數(shù)學(xué)課的教師希望將課程安排在第二或第三節(jié)，教原理課的教師希望將課程安排在第一或第二節(jié)。試問該如何安排課表，使得三位教師都滿意·

解：設(shè)l1，l2，l3，分別表示語(yǔ)言課排在第一、第二、第三節(jié)，設(shè)m1，m2，m3分別表示數(shù)學(xué)課排在第一、第二、第三節(jié)，設(shè)p1，p2，p3分別表示原理課排在第一、第二、第三節(jié)。于是三位教師都滿意的條件是：

于是，或?yàn)檎?，從而可得兩種不同的課程表排法。

另外，在講授平面圖時(shí)，教師可以介紹平面圖在染色問題、集成電路等方面的應(yīng)用。在講授代數(shù)系統(tǒng)時(shí)，教師可以布置關(guān)于密碼方面的案例，要求學(xué)生進(jìn)行破譯。教師可以布置課程大作業(yè)，要求學(xué)生圍繞離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用撰寫課程論文，這不但會(huì)培養(yǎng)學(xué)生基本的論文寫作規(guī)范和綜合素質(zhì)，更重要的是，能引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，使他們自覺地去學(xué)習(xí)、解決問題和創(chuàng)新。

2 “化零為整”，從數(shù)學(xué)思想的高度整合課程內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)主要包括數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、函數(shù)與映射、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論等教學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容從表面上看，內(nèi)容多且散，不同教材對(duì)這些章節(jié)的次序安排也各有不同。但通過歸納可以發(fā)現(xiàn)，離散數(shù)學(xué)是以集合、映射、運(yùn)算和關(guān)系為主線，各章節(jié)內(nèi)容聯(lián)系緊密，具有較強(qiáng)的邏輯性。所以教師要引導(dǎo)學(xué)生理清各章節(jié)之間的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)效率。

2.1 集合公式是數(shù)理邏輯公式在集合論中的應(yīng)用

顯然邏輯公式的合取運(yùn)算在集合論中表現(xiàn)為求交集的運(yùn)算。同理邏輯公式的析取和求非的運(yùn)算在集合論中分別表現(xiàn)為求并集和求補(bǔ)集的運(yùn)算。至于特殊公式0和1，在集合論里分別表現(xiàn)為空集和全集。因此集合恒等式是命題邏輯等值式在集合論中的應(yīng)用。

由于學(xué)生對(duì)集合公式比較熟悉，而且公式直觀易懂，因此學(xué)生可以通過集合公式來記憶數(shù)理邏輯公式。

2.2 圖的同構(gòu)就是兩代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)的特例

盡管實(shí)際教學(xué)中不要求學(xué)生利用代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)來判別圖的同構(gòu)，但是教師應(yīng)該從理論的高度向?qū)W生介紹圖同構(gòu)就是代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)在圖論中的應(yīng)用。

類似的例子還有許多，這里不再一一贅述。

3 充分利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，增加師生互動(dòng)

3.1 教學(xué)手段現(xiàn)代化

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)利用多媒體教學(xué)，能使課堂容量增大，使講解更直觀、更清晰，特別是在圖論中應(yīng)用多媒體教學(xué)可以形象地生成不同形狀的圖形，可提高課堂教學(xué)效率。但是，教師不能用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)完全代替?zhèn)鹘y(tǒng)的授課方式，教師可以根據(jù)實(shí)際需要，在教學(xué)過程中靈活地、適當(dāng)?shù)貞?yīng)用板書，以起到其特有的點(diǎn)睛效果。例如對(duì)一些邏輯性較強(qiáng)的推理證明，應(yīng)該使用傳統(tǒng)的授課方式進(jìn)行教學(xué)。因此，傳統(tǒng)的教學(xué)方式與現(xiàn)代多媒體教學(xué)方式要有機(jī)地結(jié)合。

3.2 開發(fā)教學(xué)網(wǎng)站

高校擴(kuò)招后， 大部分學(xué)生在新校區(qū)學(xué)習(xí)，而教師的辦公和居住地往往在老城區(qū)，傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式使學(xué)習(xí)受到了時(shí)間、空間的限制。如學(xué)生課外自學(xué)遇到問題無法隨時(shí)找到教師；師生之間互動(dòng)差，缺乏自由溝通的良好環(huán)境等等。這些因素影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)效率，因此需要拓展教學(xué)模式，建設(shè)教學(xué)網(wǎng)站。

2009年，筆者開始建設(shè)基于Blackboard的離散數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)，課程平臺(tái)菜單如圖3所示。利用教學(xué)網(wǎng)站，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式更加靈活，學(xué)生可以根據(jù)需要下載教學(xué)課件、習(xí)題解答等課程資源，也可以參加在線測(cè)試和了解課程信息，教師可以組織課程討論和進(jìn)行在線答疑。離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課件既能輔助課堂教學(xué)，又便于學(xué)生進(jìn)行自主深化學(xué)習(xí)。

外國(guó)語(yǔ)學(xué)院的學(xué)生外語(yǔ)水平比較高，根據(jù)這一特點(diǎn)，網(wǎng)站也設(shè)置了雙語(yǔ)教學(xué)模塊，列出了離散數(shù)學(xué)常用術(shù)語(yǔ)的翻譯、國(guó)際知名大學(xué)的英文教材和相關(guān)學(xué)習(xí)網(wǎng)站等。通過三年的教學(xué)平臺(tái)實(shí)踐教學(xué)，取得了一定的效果。

另外，課程考核體系也需要改革，不能以單一的卷面考試作為標(biāo)準(zhǔn)，而是要結(jié)合平時(shí)作業(yè)、期中考試、課程小論文以及在線測(cè)試成績(jī)等多方面進(jìn)行綜合考核，注重學(xué)生的綜合素質(zhì)。

4 適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史，增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

通過數(shù)學(xué)史的介紹讓學(xué)生了解知識(shí)的產(chǎn)生根源，這對(duì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)大有裨益。

例如，教師可以用“七橋問題”引出圖論的起源，同時(shí)介紹數(shù)學(xué)家歐拉在圖論上的成果，學(xué)生就容易記住相關(guān)的歐拉圖的定義、判定條件。圖論中有幾種重要的特殊圖，可由“環(huán)游世界問題”引出哈密爾頓圖的起源；介紹與平面圖相關(guān)的“四色定理”的由來；可介紹一些圖論中懸而未決的問題，引發(fā)學(xué)生去思考。

在命題邏輯教學(xué)中，可以補(bǔ)充介紹“理發(fā)師悖論”等相關(guān)小故事，告訴學(xué)生這是當(dāng)時(shí)引起第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的“羅素悖論”，還可以介紹計(jì)算機(jī)最高獎(jiǎng)——圖靈獎(jiǎng)。在代數(shù)系統(tǒng)中可以補(bǔ)充介紹Hill密碼、糾錯(cuò)碼等。通過介紹離散數(shù)學(xué)中的典故、典型實(shí)例和歷史人物等有趣的內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生享受學(xué)習(xí)的樂趣，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

5 結(jié)束語(yǔ)

離散數(shù)學(xué)課程體系與教學(xué)內(nèi)容改革的基本原則是，注重課程體系與教學(xué)內(nèi)容的整體優(yōu)化；在傳統(tǒng)內(nèi)容中滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想與方法；加強(qiáng)應(yīng)用，重視離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的整合。

課程的教學(xué)改革是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，還需要長(zhǎng)期的改革實(shí)踐和探索。比如離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)課，它的實(shí)踐環(huán)節(jié)容易被忽略，事實(shí)上可以結(jié)合數(shù)學(xué)建模，開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力。離散數(shù)學(xué)增加實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性，有利于增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力[5]。如果能增加一些課時(shí)，我認(rèn)為應(yīng)在教學(xué)中逐步增加實(shí)踐環(huán)節(jié)，進(jìn)一步探索理論教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合的模式。

參考文獻(xiàn)：

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