研究生招生指標(biāo)分配研究

【摘要】 本文參照財(cái)富分配的基尼系數(shù)定義招生人數(shù)分配公平度，保證公平度在合理范圍內(nèi)，建立學(xué)科綜合實(shí)力最大化的線性規(guī)劃模型，求出綜合實(shí)力最大的分配方案；進(jìn)一步考慮學(xué)生與教師的雙向選擇，利用學(xué)生對(duì)教師研究方向的偏好程度，建立學(xué)生與教師研究方向之間的二部圖，以分配效益為二部圖權(quán)重，建立二者之間最優(yōu)匹配模型，利用Kuhn-Munkras算法求解最大效益的分配方案；由于招生數(shù)量受招生單位培養(yǎng)能力、師資力量、科研水平多因素影響，因此，參考已存在的專(zhuān)家打分，利用層次分析方法確定各學(xué)科的權(quán)重，求出各學(xué)科的分配人數(shù)。

【關(guān)鍵詞】 公平度 線性規(guī)劃 二部圖 Kuhn-Munkras算法 層次分析

一、問(wèn)題提出

高等學(xué)校研究生招生指標(biāo)分配問(wèn)題，對(duì)研究生的培養(yǎng)質(zhì)量、學(xué)科建設(shè)和科研成果的取得有直接影響。研究生招生指標(biāo)分配主要根據(jù)指導(dǎo)教師的數(shù)量以及教師崗位進(jìn)行分配。其中教師崗位分為七個(gè)崗位等級(jí)（一級(jí)崗位為教師的最高級(jí)，七級(jí)崗為具備碩士招生資格的最低級(jí)）。本文綜合考慮教師的學(xué)科方向、科研經(jīng)費(fèi)、發(fā)表論文數(shù)、專(zhuān)利數(shù)、獲獎(jiǎng)數(shù)、獲得優(yōu)秀論文獎(jiǎng)數(shù)量等多方面因素進(jìn)行更加科學(xué)全面的分配。

二、線性規(guī)劃模型

1、問(wèn)題分析

考慮到學(xué)科的特點(diǎn)和學(xué)科發(fā)展的需要，進(jìn)行差異分配，招生數(shù)量分配懸殊會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的分配不公平問(wèn)題；招生數(shù)量分配嚴(yán)格平均會(huì)阻滯科技實(shí)力發(fā)展；因此需要給出公平度的度量，使得公平度在可接受范圍內(nèi)。差異分配的主要目的是使得學(xué)科綜合實(shí)力達(dá)到最高，因此需要建立學(xué)科綜合實(shí)力的度量，求出在公平度約束下的最大綜合實(shí)力。

2、模型建立

（1）建立學(xué)科綜合實(shí)力的度量。建立學(xué)科綜合實(shí)力的度量主要是為了分配招生數(shù)量，因此所求優(yōu)化變量為招生數(shù)量xi（i=1…11）代表每個(gè)學(xué)科的招生數(shù)量；以每個(gè)學(xué)科的貢獻(xiàn)率wi（i=1…11）代表每個(gè)學(xué)科的貢獻(xiàn)率為權(quán)重。因此，學(xué)科綜合實(shí)力為wixi。優(yōu)化目標(biāo)：maxwixi。

（2）建立學(xué)科綜合綜合公平度的度量。借鑒經(jīng)濟(jì)學(xué)基尼系數(shù)對(duì)財(cái)富對(duì)人均的分配的公平度的度量思想，以下建立招生人數(shù)對(duì)學(xué)科的分配的公平度的度量。嚴(yán)格的公平是招生人數(shù)按照各個(gè)學(xué)科老師人數(shù)所占百分比進(jìn)行分配；嚴(yán)格的不公平是分配全部招生名額給一個(gè)專(zhuān)業(yè)的一個(gè)教師?；谝陨蟽煞N極端情況得到分配曲線：r=f（p）（借鑒勞倫茨曲線），r表示各專(zhuān)業(yè)招生人數(shù)百分比，p表示各專(zhuān)業(yè)教師人數(shù)百分比。函數(shù)關(guān)系曲線見(jiàn)圖1。

當(dāng)分配曲線弧度越大表示分配越不公平，反之，越接近曲線r=p則越公平。設(shè)實(shí)際分配曲線和分配絕對(duì)平等曲線之間的面積為A，實(shí)際收入分配曲線右下方的面積為B。則公平度G=。如果A為零，G為零，表示招生人數(shù)分配完全公平；如果B為零則系數(shù)為1，分配絕對(duì)不平等。該系數(shù)可在零和1之間取任何值。分配越是趨向平等，曲線的弧度越小，公平度也越小，反之，分配越是趨向不平等，曲線的弧度越大，那么公平度數(shù)也越大。因此G可以作為公平度。

3、模型計(jì)算

（1）公平度計(jì)算。G=，下三角面積為A+B=S=，A=S-f（p）dp。f（p）dp表示右下角的面積具體計(jì)算采用數(shù)值積分的離散算法。按分配招生人數(shù)由低到高順序排隊(duì)，分為教師人數(shù)相等的n組，從第1組到第i組教師人數(shù)累計(jì)分配招生人數(shù)占全部教師總分配招生人數(shù)的比重為Wi，則f（p）dp=si。si表示將曲線分割的每個(gè)小梯形的面積si=。推導(dǎo)出公平度計(jì)算公式：

G=1-（2Wi+1）

Wk=（xi為分配的招生人數(shù)）

（2）每個(gè)學(xué)科的貢獻(xiàn)率wi（i=1…11）的計(jì)算公式：學(xué)科A貢獻(xiàn)率=，貢獻(xiàn)A的貢獻(xiàn)=giqi。gi表示學(xué)科內(nèi)部各主要項(xiàng)的貢獻(xiàn)，qi表示學(xué)科內(nèi)部各主要項(xiàng)的貢獻(xiàn)權(quán)重。學(xué)科內(nèi)部各主要項(xiàng)包括項(xiàng)目到賬經(jīng)費(fèi)合計(jì)，論文篇數(shù)合計(jì)，申請(qǐng)專(zhuān)利數(shù)合計(jì)，獲得獎(jiǎng)勵(lì)個(gè)數(shù)合計(jì)，獲得優(yōu)秀碩士論文篇數(shù)五項(xiàng)指標(biāo)。學(xué)科內(nèi)部各主要項(xiàng)貢獻(xiàn)=，學(xué)科內(nèi)部各主要項(xiàng)貢獻(xiàn)權(quán)重=。

公平度尺度（借鑒基尼系數(shù)）：絕對(duì)平均 公平度<0.2比較平均 0.2<公平度<0.3相對(duì)合理 0.3<公平度<0.4差距很大 0.4<公平度

由此建立以下單目標(biāo)線性規(guī)劃模型：

MAXwixi

OPT.G=1-（2Wi+1）<0.4Wk=

？圳（n-i-c）xi-cxn>0c=0.3n-0.5

三、二部圖匹配模型

1、模型分析

由于學(xué)生對(duì)教師研究方向的偏好屬于模糊概念，因此利用模糊數(shù)學(xué)隸屬度思想，量化學(xué)生i對(duì)方向j的偏好程度。以0表示該學(xué)生i對(duì)研究方向j沒(méi)有任何偏好；以1表示該學(xué)生i對(duì)研究方向j有絕對(duì)偏好；以0—1之間的數(shù)據(jù)表示該學(xué)生i對(duì)研究方向j的偏好程度aij。

2、模型量化

模型中招生數(shù)量的分配效益主要是基于假設(shè)：學(xué)生興趣程度決定學(xué)生未來(lái)研究發(fā)展的高度因此，效益=學(xué)生對(duì)該方向偏好程度×該方向重要性。研究方向的重要性由各領(lǐng)域?qū)＜覍?duì)該學(xué)科各個(gè)方向給出分?jǐn)?shù)，采用層次分析法給出該方向的權(quán)重向量W=[w1，w2…wn]（假設(shè)該學(xué)科有n個(gè)研究方向）。

3、模型建立

定義：G=是二部圖，其中V=X×Y，X=[x1，…xn]為學(xué)生集合，Y=y1，…yn為研究方向集合。定義（rij）mn為效益矩陣，其中rij=aij×wj。該矩陣學(xué)生對(duì)該方向的偏好程度和研究方向的重要性的乘積，反映了該學(xué)生未來(lái)在該方向上會(huì)產(chǎn)生的效益。用rij表示頂點(diǎn)xi與yi上的邊的權(quán)值。至此可以將學(xué)生人數(shù)的分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二部圖的最佳匹配問(wèn)題。

4、Kuhn-Munkras算法

KM算法求的是完備匹配下的最大權(quán)匹配：在一個(gè)二分圖內(nèi)，左頂點(diǎn)為X，右頂點(diǎn)為Y，現(xiàn)對(duì)于每組左右連接xiyi有權(quán)wij，求一種匹配使得所有wij的和最大。該算法是通過(guò)給每個(gè)頂點(diǎn)一個(gè)標(biāo)號(hào)（叫做頂標(biāo)）來(lái)把求最大權(quán)匹配的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求完備匹配的問(wèn)題的。設(shè)頂點(diǎn)xi的頂標(biāo)為A[i]，頂點(diǎn)yi的頂標(biāo)為B[j]，頂點(diǎn)xi與yi之間的邊權(quán)為wij。在算法執(zhí)行過(guò)程中的任一時(shí)刻，對(duì)于任一條邊（i，j），A[i]+B[j]>=wij始終成立。由二分圖中所有滿足A[i]+B[j]>=wij的邊（i，j）構(gòu)成的子圖（稱(chēng)做相等子圖）有完備匹配，那么這個(gè)完備匹配就是二分圖的最大權(quán)匹配。

四、層次分析法

1、模型假設(shè)和相關(guān)定義

（1）模型假設(shè)。所有指標(biāo)準(zhǔn)確反映了招生單位各個(gè)院系真實(shí)的招生能力；每位專(zhuān)家給出的評(píng)價(jià)權(quán)重是客觀的；分配給招生單位各院系的招生計(jì)劃數(shù)只與所計(jì)算出的權(quán)重有關(guān)；采用1～9標(biāo)度法，表示元素ui與元素uj的相對(duì)重要性aij，且aij=，，…，1，2，…9，aij值越大，則元素ui比元素uj越重要。

（2）相關(guān)定義。定義1權(quán)重：在遞階層次結(jié)構(gòu)中，設(shè)上一層元素C為準(zhǔn)則，則其所支配的下一層元素u1，u2，…un對(duì)于準(zhǔn)則C相對(duì)重要程度即權(quán)重，其中，n為元素個(gè)數(shù)。定義2判斷矩陣：綜合考慮某一層中的各元素，對(duì)元素作兩兩相對(duì)比較，得到的矩陣為判斷矩陣，表示為：

A=（aij）n×n=a11 a12 … a1na21 a22 … a1n… … … …an1 an2 … ann

其中，aij表示元素ui相對(duì)于元素uj的重要程度，按1～9標(biāo)度法對(duì)重要性程度賦值。判斷矩陣A具有下列性質(zhì)，即aij>0，aij=1/aji，aii=1（i，j=1，2，…，n）。定義3完全一致性：若判斷矩陣A=（aij）n×n滿足aij=aik×akj（i，j，k=1，2，…，n），稱(chēng)矩陣A具有完全一致性。若矩陣具有完全一致性，則表明專(zhuān)家對(duì)某一層各元素進(jìn)行兩兩比較時(shí)，其判斷保持一致。定義4滿意一致性：當(dāng)層次總排序隨機(jī)一致性比例CR=<0.1時(shí)，即為達(dá)到滿意一致性，其中，CI=，為層次總排序一致性指標(biāo)，RI為層次總排序平均隨機(jī)一致性指標(biāo)；？姿max為判斷矩陣的最大特征值；m為判斷矩陣A的階數(shù)。在實(shí)際決策中，專(zhuān)家只能進(jìn)行估計(jì)判斷，不可能保證給出的判斷矩陣具有完全一致性，滿意一致性用于檢驗(yàn)專(zhuān)家判斷思維的一致性。

2、基于層次分析法的招生計(jì)劃分配模型

（1）構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)。影響招生計(jì)劃分配的因素眾多，僅用一個(gè)函數(shù)不足以表達(dá)它們之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，因此必須將這些因素劃分成多個(gè)層次，逐層進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。本文將招生計(jì)劃分配模型分為3層，第1層次為目標(biāo)層A，即對(duì)各院系的全日制碩士研究生的招生計(jì)劃數(shù)進(jìn)行合理配置；第2層次為準(zhǔn)則層B，包括培養(yǎng)能力、師資力量、科研水平、教育水平、就業(yè)及政策等，從總體反映各院系招生能力的強(qiáng)弱；第3層次為指標(biāo)層C，共有12個(gè)具有代表性的指標(biāo)分別對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則層B中各因素。建立遞階層次結(jié)構(gòu)后，確定上下層元素之間的隸屬關(guān)系。

（2）構(gòu)造判斷矩陣。構(gòu)造判斷矩陣KA-B，KB-C，KB-C，KB-C和KB-C分別表示相應(yīng)的準(zhǔn)則層B對(duì)目標(biāo)層A，指標(biāo)層C對(duì)準(zhǔn)則層B1，B2，B3，B4和B5的兩兩比較判斷。

（3）一致性檢驗(yàn)。計(jì)算判斷矩陣的評(píng)價(jià)指標(biāo)，得到各影響因素的權(quán)重，其中，CR<0.1，表明各判斷矩陣具有滿意一致性。

3、模型應(yīng)用

（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理。通過(guò)調(diào)研和收集相關(guān)資料、專(zhuān)家評(píng)分等途徑，獲取高校各學(xué)科12個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)。因定量與定性指標(biāo)的量綱不同，使得不同指標(biāo)的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)問(wèn)變化幅度差異懸殊，因此，應(yīng)用層次分析模型前，須對(duì)指標(biāo)矩陣DIJ進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。

（2）模型檢驗(yàn)。采用層次分析模型，計(jì)算高校各學(xué)科招生的權(quán)重，再將其與招生計(jì)劃總數(shù)進(jìn)行乘積運(yùn)算，得出全日制碩士研究生招生計(jì)劃制定中分配給各院系的招生計(jì)劃數(shù)。實(shí)證表明，層次分析法可以將決策者的主觀判斷與政策經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)入模型，加以量化處理，對(duì)定性和定量指標(biāo)進(jìn)行有效權(quán)衡。模型實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于全日制碩士研究生招生過(guò)程中存在政策變化等不確定因素，實(shí)際錄取時(shí)需根據(jù)具體情況，對(duì)各院系招生人數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，因此，可能導(dǎo)致個(gè)別學(xué)科實(shí)際招生數(shù)與模型計(jì)算結(jié)果間存在不可避免的差異。

五、結(jié)語(yǔ)

最優(yōu)效益模型充分考慮了學(xué)生的興趣愛(ài)好以及科研方向的重要性，統(tǒng)籌兼顧到學(xué)生日后發(fā)展以及國(guó)家發(fā)展需要，達(dá)到綜合效益最優(yōu)；最優(yōu)效益模型利用了現(xiàn)有成熟算法計(jì)算，程序化非常利于快速擴(kuò)展應(yīng)用。

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